Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình dạng làm chung làm riêng Các bước giải bài toán làm chung làm riêng

31 Đánh giá

Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình Dạng làm chung làm riêng

1. Các bước giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình
2. Cách giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình
3. Bài tập giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình dạng làm chung làm riêng

Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình dạng làm chung làm riêng được GiaiToan biên soạn bao gồm đáp án chi tiết cho từng bài tập giúp các bạn học sinh ngoài bài tập trong sách giáo khoa (sgk) có thể luyện tập thêm các dạng bài tập cơ bản và nâng cao để biết được cách giải các bài toán bằng cách lập hệ phương trình. Đây là tài liệu tham khảo hay dành cho quý thầy cô và các vị phụ huynh lên kế hoạch ôn tập học kì môn Toán 9 và ôn tập thi vào lớp 10. Mời các bạn học sinh và quý thầy cô cùng tham khảo tài liệu chi tiết!

Tải file PDF tại đây: Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình dạng làm chung làm riêng

1. Các bước giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

Bước 1: Lập hệ phương trình:

+ Đặt ẩn và tìm điều kiện của ẩn (nếu có).

+ Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.

+ Lập hệ phương trình biểu diễn tương quan giữa các đại lượng.

Bước 2: Giải hệ phương trình.

Bước 3: So sánh với điều kiện và kết luận.

Nhận xét: Đối với bài toán hai người (hai đội) cùng làm chung - làm riêng để hoàn thành một công việc có hai đại lượng chính là năng suất của mỗi người (hoặc mỗi đội). Ta coi toàn bộ khối lượng công việc cần thực hiện là 1:

+ Năng suất công việc = 1/ thời gian

+ Năng suất chung = Tổng năng suất riêng

2. Cách giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

Ví dụ 1: Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình.

Hai đội công nhân cùng làm việc và hoàn thành trong 24 giờ. Nếu đội thứ nhất làm 10 giờ, đội thứ hai làm 15 giờ, thì cả hai đội làm được một nửa công việc. Tính thời gian mỗi đội làm một mình để xong công việc.

Hướng dẫn giải

Cách 1:

Gọi a, b lần lượt là số phần công việc mà đội I và đội II làm được trong 1h

Vì 2 đội cùng làm việc thì hoàn thành công việc trong 24h nên trong 1h cả 2 đội làm được $\frac{1}{{24}}$ công việc

$\Rightarrow a + b = \frac{1}{{24}}$ (1)
Trong 10h, đội I làm được 10a phần công việc, trong 15h đội II làm được 15b phần công việc.

Vì khi đó cả 2 đội làm được $\frac{1}{2}$ công việc nên:

$\Rightarrow 10a + 15b = \frac{1}{2}$ (2)

Từ (1) và (2) ta được hệ phương trình:

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a + b = \dfrac{1}{{24}}} \\ {10a + 15b = \dfrac{1}{2}} \end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a = \dfrac{1}{{40}}} \\ {b = \dfrac{1}{{60}}} \end{array}} \right.} \right.$

Vậy đội I làm trong 40h thì xong công việc, đội II làm trong 60h thì xong công việc.

Cách 2: Ta có thể gọi x, y (giờ) lần lượt là thời gian mỗi đội làm một mình để hoàn thành công việc.

Ví dụ 2: Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình
Hai người làm chung một công việc thì sau 20 ngày sẽ hoàn thành. Nhưng sau khi làm chung được 10 ngày thì người thứ nhất đi làm việc khác, người thứ hai vẫn tiếp tục công việc đó và hoàn thành trong 15 ngày. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người phải làm trong bao nhiêu ngày để hoàn thành công việc?

Hướng dẫn giải

Gọi số ngày người thứ nhất làm một mình hoàn thành công việc là x (ngày)

Số ngày người thứ làm một mình hoàn thành công việc là: y (ngày) (x, y > 0)

Một ngày người thứ nhất làm được số công việc là: $\frac{1}{x}$ (công việc)

Một ngày người thứ hai làm được số công việc là: $\frac{1}{y}$ (công việc)

Hai người làm chung một công việc thì sau 20 ngày sẽ hoàn thành. Ta có phương trình:

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{{20}}$ (1)

Khi làm chung được 10 ngày số công việc làm được là: $10\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} \right)$ (công việc)

Người thứ hai vẫn tiếp tục công việc còn lại và hoàn thành trong 15 ngày

Ta có phương trình: $10\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} \right) + \frac{{15}}{y} = 1$ (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{{20}}} \\ {10\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}} \right) + \dfrac{{15}}{y} = 1} \end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 60} \\ {y = 30} \end{array}} \right.} \right.$

Vậy người thứ nhất làm một mình xong công việc trong 60 ngày.

Ví dụ 3: Để hoàn thành một công việc, nếu hai tổ cùng làm chung thì hết 6 giờ. Sau 2 giờ làm chung thì tổ hai được điều đi làm công việc khác, tổ một tiếp tục làm và đã hoàn thành công việc còn lại trong 10 giờ. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi tổ sẽ hoàn thành công việc này trong thời gian bao nhiêu lâu?

Hướng dẫn giải

Gọi thời gian tổ một làm riêng và hoàn thành công việc là x (giờ) (x > 6)

Gọi thời gian tổ hai làm riêng và hoàn thành công việc là y (giờ) (y > 6)

Mỗi giờ tổ một làm được $\frac{1}{x}$ (công việc)

Mỗi giờ tổ hai làm được $\frac{1}{y}$ (công việc)

Biết hai tổ làm chung trong 6 giờ thì hoàn thành công việc nên ta có phương trình:

$\frac{6}{x} + \frac{6}{y} = 1$ (1)

Thực tế để hoàn thành công việc này thò tổ hai làm trong 2 giờ và tổ một làm trong 10 + 2 = 12 giờ

Khi đó ta có phương trình:

$\frac{{12}}{x} + \frac{2}{y} = 1$ (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{6}{x} + \dfrac{6}{y} = 1} \\ {\dfrac{{12}}{x} + \dfrac{2}{y} = 1} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 15} \\ {y = 10} \end{array}} \right.\left( {tm} \right)$

Kết luận: Nếu làm riêng công việc thì tổ một hoàn thành công việc trong 15 giờ và tổ hai hoàn thành công việc trong 10 giờ.

Ví dụ 4: Trong thời gian nghỉ vì dịch COVID - 19, lớp 9A chia làm hai đội thi làm đề ôn tập. Tháng thứ nhất tổng số đề ôn tập hai đội làm được là 1 230 đề. Sang tháng thứ hai, đội I làm vượt mức 25% và đội II vượt mức 20% so với tháng đầu. Do đó, tháng thứ hai cả hai đội làm được 1 506 đề ôn tập. Hỏi mỗi đội làm được bao nhiêu đề ôn tập trong tháng nghỉ COVID - 19 tháng thứ nhất.

Hướng dẫn giải

Gọi số đề cương đội I làm được trong tháng thứ nhất là x (đề cương) (điều kiện x > 0)

Gọi số đề cương đội II làm được trong tháng thứ nhất là y (đề cương) (điều kiện y > 0)

Vì trong tháng thứ nhất 2 đội làm được 1 230 đề cương

Suy ra ta có phương trình: x + y = 1 230 (1)

Sang tháng thứ hai đội 1 vượt mức 25% so với tháng đầu.

Khi đó trong tháng thứ hai đội 1 vượt mức: x . 25% = 0,25x (đề cương)

Sang tháng thứ hai đội 2 vượt mức 20% so với tháng đầu.

Khi đó trong tháng thứ hai đội 2 vượt mức: y . 20% = 0,2y (đề cương)

Do trong tháng thứ hai 2 đội làm được 1 506 đề cương

Tháng thứ hai 2 đội vượt mức 1 506 - 1 230 = 276 (đề cương)

Suy ra ta có phương trình: 0,25x + 0,2y = 276 (**)

Từ (*) và (**) ta có hệ phương trình:

$\begin{matrix} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x + y = 1230} \\ {0,25x + 0,2y = 276} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x + y = 1230} \\ {25x + 20y = 27600} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x + y = 1230} \\ {5x + 4y = 5520} \end{array}} \right. \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {5x + 5y = 6150} \\ {5x + 4y = 5520} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x + y = 1230} \\ {y = 630} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 600} \\ {y = 630} \end{array}} \right.\left( {tm} \right) \hfill \\ \end{matrix}$

Vậy tháng thứ nhất đội 1 làm được 600 đề cương, đội 2 làm được 630 đề cương.

Ví dụ 5: Hai người cùng làm chung một công việc hết 15 ngày. Năng suất trong 1 ngày của người thứ 2 bằng $\frac{2}{3}$ năng suất của người thứ nhất. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi người phải làm trong bao lâu mới làm xong công việc.

Hướng dẫn giải

Gọi thời gian làm việc một mình của người thứ nhất là x (ngày); (x > 0).

Suy ra năng suất làm việc trong một ngày của người thứ nhất là: $\frac{1}{x}$ (công việc).

Năng suất trong 1 ngày của người thứ 2 bằng $\frac{2}{3}$ năng suất của người thứ nhất.

Suy ra năng suất trong 1 ngày của người thứ 2 là: $\frac{2}{{3x}}$ (công việc).

Do hai người cùng làm chung công việc trong 15 ngày thì xong công việc. Ta có phương trình:

$\begin{matrix} 15.\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{2}{{3x}}} \right) = 1 \hfill \\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{x} + \dfrac{2}{{3x}} = \dfrac{1}{{15}} \hfill \\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{x}\left( {1 + \dfrac{2}{3}} \right) = \dfrac{1}{{15}} \hfill \\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{x}.\dfrac{5}{3} = \dfrac{1}{{15}} \hfill \\ \Leftrightarrow x = 25\left( {tm} \right) \hfill \\ \end{matrix}$

Vậy người thứ nhất làm một mình xong công việc trong 20 ngày, người thứ hai làm một mình xong công việc trong $\frac{{50}}{3}$ ngày.

Ví dụ 6: Hai máy ủi trong 12 giờ thì xan lấp được 1/10 khu đất. Nếu máy ủi thứ 1 làm một mình trong 42 giờ rồi nghỉ sau đó máy ủi thứ 2 làm một mình trong 22 giờ thì cả hai máy xan lấp được 25% khu đất đó. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi máy ủi xan lấp xong khu đất trong thời gian bao lâu?

Hướng dẫn giải

Một giờ cả hai máy xan được 1/120 khu đất.

Hai máy làm trong 22 giờ thì được 22/12= 11/60 khu đất

Vậy máy ủi thứ 1 làm trong 20 giờ thì được 1/4 - 11/60 = 1/15 khu đất

Do đó nếu làm một mình và lấp xong khi đất thì máy thứ 1 làm hết 15 . 20 = 300 giờ

=> Một mình máy hai làm được 1/120 - 1/300 = 1/200 do đó máy hai làm một mình và xan lấp xong khu đất hết 200 giờ.

Ví dụ 7: Hai vòi nước cùng chảy vào một bể nước sau 12 giờ thì đầy bể. Sau khi hai vòi chảy 8h thì người ta khóa vòi 1 lại còn vòi 2 tiếp tục chảy do tăng công suất lên gấp đôi nên vòi 2 chảy đầy phần còn lại của bể sau 3,5 giờ. Hỏi mỗi vòi chảy một mình trong bao nhiêu lâu thì đầy bể?

Hướng dẫn giải

Gọi thời gian hai vòi chảy một mình đầy bể lần lượt là x và y (giờ)

Điều kiện: x > 0, y > 0

Trong một giờ hai vòi chảy vào được 1/x + 1/y = 1/12 (1)

Mở 2 vòi trong 8 giờ và khóa vòi 1 lại ta có phương trình: 8/x + 15/y = 1 (2)

Theo bài ra ta có hệ phương trình: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{{12}}} \\ {\dfrac{8}{x} + \dfrac{{15}}{y} = 1} \end{array}} \right.$

Giải hệ phương trình ta được x = 28, y = 21

Vậy thời gian vòi 1 chảy một mình trong 28 giờ, thời gian vòi 2 chảy một mình trong 21 giờ thì đầy bể.

3. Bài tập giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình dạng làm chung làm riêng

Bài 1: Hai người cùng làm chung một công việc trong 12/5 giờ thì xong. Nếu mỗi người làm một mình thì người thứ nhất hoàn thành công việc ít hơn người thứ hai là 2 giờ. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi người phải làm trong bao nhiêu thời gian để xong công việc?

Bài 2: Hai người thợ cùng làm xong một công việc trong 16 giờ thì xong. Nếu người thứ nhất làm trong 3 giờ và người thứ 2 làm trong 6 giờ thì chỉ hoàn thành được 25% công việc. Hỏi nếu làm việc riêng thì mỗi người hoàn thành xong việc trong bao lâu?

Bài 3: Hai tổ công nhân cùng làm chung trong 12 giờ hoàn thành công việc đã định. Nếu họ làm chung trong 4 giờ thì tổ thứ nhất điều đi làm việc khác. Tổ hai vẫn làm tiếp công việc còn lại trong 10 giờ thì xong. Hỏi tổ thứ hai làm một mình một mình thì sau bao lâu hoàn thành công việc?

Bài 4: Hai đội xây dựng cùng làm chung một công việc đã định trong 12 ngày thì xong. Họ làm chung với nhau được 8 ngày thì đội 1 bị điều đi làm việc khác. Đội 2 vẫn tiếp tục làm. Do cải tiến kĩ thuật nên năng suất tăng gấp đôi. Vì vậy đội 2 đã hoàn thành trong 3,5 ngày. Hỏi mỗi đội làm một mình trong bao lâu thì xong công việc với năng suất bình thường.

Bài 5: Để hoàn thành một công việc, hai tổ phải làm chung trong 6 giờ. Sau 2 giờ làm chung thì tổ II được điều đi làm việc khác, tổ I đã hoàn thành công việc còn lại trong 10 giờ. Hỏi nếu mỗi tổ làm riêng thì sau bao lâu sẽ xong công việc đó.

Bài 6: Hai lớp 9A và 9B cùng tham gia lao động vệ sinh sân trường thì công việc được hoàn thành sau 1 giờ 20 phút. Nếu mỗi lớp chia nhau làm nửa công việc thì thời gian hoàn tất là 3 giờ. Hỏi nếu mỗi lớp làm một mình thì phải mất bao nhiêu thời gian?

Bài 7: Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình
Trong dịp tết trồng cây vừa qua số cây của tổ 1 trồng nhiều hơn số cây của tổ 2 là 5 cây. Tìm số cây mỗi tổ đã trồng biết rằng tổng số cây của tổ 1 và 2 lần số cây của tổ 2 là 71 cây.

Bài 8: Hai công nhân cùng sơn cửa cho một công trình trong 4 ngày thì xong công việc. Nếu người thứ nhất làm một mình trong 9 ngày rồi người thứ hai đến cùng làm tiếp trong 1 ngày nữa thì xong công việc. Hỏi mỗi người làm một mình thì bao lâu xong việc?

Bài 9: Hai vòi nước chảy cùng vào một bể không có nước thì trong 6 giờ đầy bể. Nếu vòi thứ nhất chảy trong 2 giờ, vòi thứ hai chảy trong 3 giờ thì được 2/3 bể. Hỏi mỗi vòi chảy trong bao lâu thì đầy bể? Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình.

Bài 10: Cho hai vòi nước cùng lúc chảy vào một bể cạn. Nếu chảy riêng từng vòi thì vòi thứ
nhất chảy đầy bể nhanh hơn vòi thứ hai 4 giờ. Khi nước đầy bể, người ta khóa vòi thứ nhất và
vòi thứ hai lại, đồng thời mở vòi thứ ba cho nước chảy ra thì sau 6 giờ bể cạn nước. Khi nước
trong bể đã cạn, mở cả ba vòi thì sau 24 giờ bể lại đầy nước. Hỏi nếu chỉ dùng vòi thứ nhất thì
sau bao lâu bể đầy nước.

Bài 11: Hai người dự định làm một công việc trong 12 giờ thì xong. họ làm với nhau được 8 giờ thì người thứ nhất nghỉ, còn người thứ hai vẫn tiếp tục làm. Do cố gắng tăng năng suất gấp đôi, nên người thứ hai đã làm xong công việc còn lại trong 3 giờ 20 phút. Hỏi nếu mỗi người thợ làm một mình với năng suất dự định ban đầu thì mất bao lâu mới xong công việc nói trên?

Bài 12: Để sửa một ngôi nhà cần một số thợ làm việc trong một thời gian quy định. Nếu giảm 3 người thì thời gian kéo dài 6 ngày, nếu tăng thêm 2 người thì thời gian sớm hơn 2 ngày. Hỏi theo quy định thì cần bao nhiêu thợ làm việc và làm trong bao nhiêu ngày. (Biết rằng khả năng lao động của mỗi công nhân đều như nhau).

------------------------------------------------------------

Tài liệu liên quan:

Download

113.001 lượt xem

Chia sẻ bởi:

Bảo Bình

Liên kết tải về

Link Download chính thức:

Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình dạng làm chung làm riêng Download

Tìm thêm: Toán 9 Chuyên đề Toán 9 Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

1 Bình luận

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Hải Nam Nguyễn Đình
Sao câu 1 là a + b = 1/24 tưởng 1/a + 1/b = 1/24 mà
Thích Phản hồi 0 19/04/23
- Lò luyện đan
  Đúng là: 1/a + 1/b = 1/24
  Thích Phản hồi 0 20/04/23