Giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ Bài tập Toán 9

5 Đánh giá

Giải hệ phương trình

1. Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ
2. Giải hệ phương trình
3. Bài tập giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ

Giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ được GiaiToan.com biên soạn bao gồm đáp án chi tiết cho từng bài tập giúp các bạn học sinh ngoài bài tập trong sách giáo khoa (sgk) có thể luyện tập thêm các dạng bài tập cơ bản và nâng cao để biết được cách giải các bài toán bằng cách lập hệ phương trình. Đây là tài liệu tham khảo hay dành cho quý thầy cô và các vị phụ huynh lên kế hoạch ôn tập học kì môn Toán 9 và ôn tập thi vào lớp 10. Mời các bạn học sinh và quý thầy cô cùng tham khảo tài liệu chi tiết!

1. Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ

+ Bước 1: Đặt điều kiện để hệ phương trình có nghĩa.

+ Bước 2: Đặt ẩn phụ thích hợp và đặt điều kiện cho ẩn phụ.

+ Bước 3: Giải hệ theo các ẩn phụ đã đặt (sử dụng phương pháp thế hoặc phương pháp cộng đại số).

+ Bước 4: Với mỗi giá trị ẩn phụ tìm được, tìm nghiệm tương ứng của hệ phương trình.

+ Bước 5: Kết luận nghiệm của hệ phương trình.

2. Giải hệ phương trình

Ví dụ 1: Giải các hệ phương trình dưới đây:

a) $\left\{ \begin{gathered} \left| {x - 1} \right| - 2 = - y \hfill \\ 3\left| {1 - x} \right| - 1 = 2y \hfill \\ \end{gathered} \right.$

b) $\left\{ \begin{gathered} \frac{2}{x} + \frac{3}{y} = 3 \hfill \\ \frac{1}{x} + \frac{2}{y} = 1 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

c) $\left\{ \begin{gathered} \frac{3}{{2x - y}} - \frac{6}{{x + y}} = - 1 \hfill \\ \frac{1}{{2x - y}} - \frac{1}{{x + y}} = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Hướng dẫn giải

a) Đặt $t = \left| {x - 1} \right|;\left( {t \geqslant 0} \right)$

Khi đó hệ (a) trở thành:

$\left\{ \begin{gathered} t + y = 2 \hfill \\ 3t - 2y = 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 2t + 2y = 4 \hfill \\ 3t - 2y = 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 5t = 5 \hfill \\ 3t - 2y = 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} t = 1\left( {tm} \right) \hfill \\ y = 1 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Với $t = 1 \Rightarrow \left| {x - 1} \right| = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = 2 \hfill \\ x = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y) = (2; 1) và (x; y) = (0; 1)

b) Điều kiện $x \ne 0;y \ne 0$

Đặt $m = \frac{1}{x};n = \frac{1}{y}\left( {m \ne 0;n \ne 0} \right)$

Khi đó hệ (b) trở thành:

$\begin{matrix} \left\{ \begin{gathered} 2a + 3b = 3 \hfill \\ a + 2b = 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 2m + 3n = 3 \hfill \\ 2m + 4n = 2 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \left( {2m + 4n} \right) - \left( {2m + 3n} \right) = - 1 \hfill \\ 2m + 4n = 2 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \left\{ \begin{gathered} n = - 1 \hfill \\ 2m - 4 = 2 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} m = 3 \hfill \\ n = - 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{matrix}$

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m = 3 \Rightarrow \frac{1}{x} = 3 \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{3}\left( {tm} \right)} \\ {n = - 1 \Rightarrow \frac{1}{y} = - 1 \Leftrightarrow y = - 1\left( {tm} \right)} \end{array}} \right.$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm $\left( {x;y} \right) = \left( {\frac{1}{3}; - 1} \right)$

c) Điều kiện $\left\{ \begin{gathered} 2x - y \ne 0 \hfill \\ x + y \ne 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 2x \ne y \hfill \\ x \ne - y \hfill \\ \end{gathered} \right.$

$\left\{ \begin{gathered} \frac{3}{{2x - y}} - \frac{6}{{x + y}} = - 1 \hfill \\ \frac{1}{{2x - y}} - \frac{1}{{x + y}} = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.\left( {II} \right)$

Đặt $a = \frac{1}{{2x - y}};b = \frac{1}{{x + y}}\left( {a \ne 0;b \ne 0} \right)$

Khi đó hệ (II) trở thành:

$\begin{matrix} \left\{ \begin{gathered} 3a - 6b = - 1 \hfill \\ a - b = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 3a - 6a = - 1 \hfill \\ a = b \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} - 3a = - 1 \hfill \\ a = b \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} a = \frac{1}{3} \hfill \\ b = \frac{1}{3} \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a = \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{1}{{2x - y}} = \frac{1}{3} \Rightarrow 2x - y = 3\left( * \right)} \\ {b = \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{1}{{x + y}} = \frac{1}{3} \Rightarrow x + y = 3\left( {**} \right)} \end{array}} \right. \hfill \\ \end{matrix}$

Từ (*) và (**), ta có hệ phương trình:

$\left\{ \begin{gathered} 2x - y = 3 \hfill \\ x + y = 3 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \left( {2x - y} \right) + \left( {x + y} \right) = 6 \hfill \\ x + y = 3 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = 2(tm) \hfill \\ y = 1(tm) \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y) = (2; 1)

Ví dụ 2: Giải các hệ phương trình sau:

a) $\left\{ \begin{gathered} \frac{5}{{x - 2}} - \frac{{2y - 4}}{{y - 3}} = 2 \hfill \\ \frac{{x + 2}}{{x - 2}} - \frac{2}{{y - 3}} = 4 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

b) $\left\{ \begin{gathered} \frac{2}{{x + y - 5}} + \frac{3}{{2x - y + 1}} = 2 \hfill \\ \frac{4}{{x + y - 5}} - \frac{3}{{2x - y + 1}} = 1 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

c) $\left\{ \begin{gathered} 2\left( {{x^2} - 2x} \right) + \sqrt {y + 1} = 0 \hfill \\ 3\left( {{x^2} - 2x} \right) - 2\sqrt {y + 1} = - 7 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Hướng dẫn giải

a) Điều kiện $\left\{ \begin{gathered} x - 2 \ne 0 \hfill \\ y - 3 \ne 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x \ne 2 \hfill \\ y \ne 3 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

$\begin{matrix} \left\{ \begin{gathered} \frac{5}{{x - 2}} - \frac{{2y - 4}}{{y - 3}} = 2 \hfill \\ \frac{{x + 2}}{{x - 2}} - \frac{2}{{y - 3}} = 4 \hfill \\ \end{gathered} \right.\left( {III} \right) \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \frac{5}{{x - 2}} - \frac{{2\left( {y - 3} \right) + - 2}}{{y - 3}} = 2 \hfill \\ \frac{{\left( {x - 2} \right) + 4}}{{x - 2}} - \frac{2}{{y - 3}} = 4 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \frac{5}{{x - 2}} - 2 + \frac{2}{{y - 3}} = 2 \hfill \\ 1 + \frac{4}{{x - 2}} - \frac{2}{{y - 3}} = 4 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{matrix}$

Đặt $m = \frac{1}{{x - 2}};n = \frac{1}{{y - 3}}\left( {m \ne 0;n \ne 0} \right)$

Hệ (III) trở thành:

$\left\{ \begin{gathered} 5m + 2n = 4 \hfill \\ 4m - 2n = 3 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 9m = 7 \hfill \\ 4m - 2n = 3 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} m = \frac{7}{9} \hfill \\ n = \frac{1}{{18}} \hfill \\ \end{gathered} \right.$

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m = \dfrac{7}{9} \Rightarrow \dfrac{1}{{x - 2}} = \dfrac{7}{9} \Rightarrow x - 2 = \dfrac{9}{7} \Leftrightarrow x = \dfrac{{23}}{7}} \\ {n = \dfrac{1}{{18}} \Rightarrow \dfrac{1}{{y - 3}} = \dfrac{1}{{18}} \Rightarrow y - 3 = 18 \Leftrightarrow y = 21} \end{array}} \right.$

Vậy hệ phương trình có nghiệm $\left( {x;y} \right) = \left( {\frac{{23}}{7};21} \right)$

b) $\left\{ \begin{gathered} \frac{2}{{x + y - 5}} + \frac{3}{{2x - y + 1}} = 2 \hfill \\ \frac{4}{{x + y - 5}} - \frac{3}{{2x - y + 1}} = 1 \hfill \\ \end{gathered} \right.$ (I), điều kiện $\left\{ \begin{gathered} x + y \ne 5 \hfill \\ 2x - y \ne - 1 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Đặt $a = \frac{1}{{x + y - 5}};b = \frac{1}{{2x - y + 1}}\left( {a \ne 0;b \ne 0} \right)$

Khi đó hệ (I) trở thành:

$\left\{ \begin{gathered} 2a + 3b = 2 \hfill \\ 4a - 3b = 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \left( {2a + 3b} \right) + \left( {4a - 3b} \right) = 3 \hfill \\ 4a - 3b = 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 6a = 3 \hfill \\ 4a - 3b = 1 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

$\left\{ \begin{gathered} a = \frac{1}{2} \hfill \\ 4.\frac{1}{2} - 3b = 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} a = \frac{1}{2} \hfill \\ b = \frac{1}{3} \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Với $a = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{1}{{x + y - 5}} = \frac{1}{2} \Rightarrow x + y - 5 = 2 \Leftrightarrow x + y = 7$ (1)

Với $b = \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{1}{{2x - y + 1}} = \frac{1}{3} \Rightarrow 2x - y + 1 = 3 \Leftrightarrow 2x - y = 2$ (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình

$\left\{ \begin{gathered} x + y = 7 \hfill \\ 2x - y = 2 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x + y = 7 \hfill \\ 3x = 9 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = 3 \hfill \\ y = 4 \hfill \\ \end{gathered} \right.\left( {tm} \right)$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y) = (3; 4)

c) $\left\{ \begin{gathered} 2\left( {{x^2} - 2x} \right) + \sqrt {y + 1} = 0 \hfill \\ 3\left( {{x^2} - 2x} \right) - 2\sqrt {y + 1} = - 7 \hfill \\ \end{gathered} \right.$ (I), điều kiện $y + 1 \geqslant 0 \Leftrightarrow y \geqslant - 1$

Đặt $a = {x^2} - 2x;b = \sqrt {y + 1} \left( {b \geqslant 0} \right)$

Hệ (I) trở thành:

$\left\{ \begin{gathered} 2a + b = 0 \hfill \\ 3a - 2b = - 7 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 4a + 2b = 0 \hfill \\ 3a - 2b = - 7 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 7a = - 7 \hfill \\ 3a - 2b = - 7 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} a = - 1 \hfill \\ b = 2\left( {tm} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Với $b = 2 \Rightarrow \sqrt {y + 1} = 2 \Leftrightarrow y + 1 = 4 \Leftrightarrow y = 3\left( {tm} \right)$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y) = (1; 3)

3. Bài tập giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ

Bài 1: Giải các hệ phương trình dưới đây:

a) $\left\{ \begin{gathered} \frac{x}{{x - 1}} + \frac{y}{{y - 1}} = 0 \hfill \\ \frac{{2x}}{{x - 1}} - \frac{y}{{y - 1}} = 6 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

b) $\left\{ \begin{gathered} 2{x^2} + {y^2} = 4 \hfill \\ 3{x^2} - {y^2} = 1 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Bài 2: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp đặt ẩn phụ:

a) $\left\{ \begin{gathered} \frac{4}{{2x + 1}} + \frac{9}{{y - 1}} = - 1 \hfill \\ \frac{3}{{2x + 1}} - \frac{2}{{y - 1}} = \frac{{13}}{6} \hfill \\ \end{gathered} \right.$	b) $\left\{ \begin{gathered} \frac{2}{{x + y - 1}} - \frac{1}{{x - y + 1}} = \frac{{ - 14}}{5} \hfill \\ \frac{1}{{x + y - 1}} - \frac{1}{{x - y + 1}} = \frac{{ - 13}}{5} \hfill \\ \end{gathered} \right.$
c) $\left\{ \begin{gathered} 2x + 4\left\| y \right\| = 14 \hfill \\ x - 5y = - 7 \hfill \\ \end{gathered} \right.$	d) $\left\{ \begin{gathered} \left\| x \right\| + 4\left\| y \right\| = 18 \hfill \\ 3\left\| x \right\| + \left\| y \right\| = 10 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Bài 3. Tìm nghiệm của hệ phương trình

a) $\left\{ \begin{gathered} \frac{2}{x} + \frac{5}{y} = 43 \hfill \\ \frac{7}{x} - \frac{3}{y} = 7 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

b) $\left\{ \begin{gathered} \frac{3}{{x - 1}} - \frac{2}{{y + 2}} = - 1 \hfill \\ \frac{3}{{x - 1}} + \frac{2}{{y + 2}} = 2 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

c) $\left\{ \begin{gathered} {x^2} + {y^2} = 13 \hfill \\ 3{x^2} - 2{y^2} = - 6 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

d) $\left\{ \begin{gathered} 3\sqrt x + 2\sqrt y = 16 \hfill \\ 2\sqrt x - 3\sqrt y = - 11 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

e) $\left\{ \begin{gathered} 5\left| {x - 1} \right| - 3\left| {y + 2} \right| = 7 \hfill \\ 2\sqrt {4{x^2} - 8x + 4} + 5\sqrt {{y^2} + 4y + 4} = 13 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

------------------------------------------------------------

Hy vọng tài liệu Giải hệ phương trình lớp 9 bằng cách đặt ẩn phụ giúp sẽ giúp ích cho các bạn học sinh học nắm chắc các giải hệ phương trình đồng thời học tốt môn Toán lớp 9. Chúc các bạn học tốt, mời các bạn tham khảo! Mời thầy cô và bạn đọc tham khảo thêm một số tài liệu liên quan: Lý thuyết Toán 9, Giải Toán 9, Luyện tập Toán 9, ...