Bài tập Toán 9 Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức √A^2 = A Căn thức bậc hai

9 Đánh giá

Chuyên đề Toán 9: Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức √A^2 = A

A. Lý thuyết cần nhớ
- 1. Căn bậc hai, căn bậc hai số học
- 2. Căn thức bậc hai
B. Bài tập căn thức bậc hai và hằng đẳng thức
D. Bài tập tự rèn luyện

Rút gọn biểu thức chứa căn thức được xem là dạng toán căn bản quan trọng trong chương trình Toán 9 và đề thi tuyển sinh vào lớp 10. Tài liệu dưới đây do đội ngũ GiaiToan.com biên soạn và chia sẻ giúp học sinh hiểu rõ hơn về căn thức bậc hai cũng như bài toán rút gọn biểu thức. Qua đó giúp các bạn học sinh ôn tập và rèn luyện cho kì thi tuyển sinh vào lớp 10 sắp tới. Mời các bạn học sinh và quý thầy cô cùng tham khảo!

Để tải tài liệu, mời ấn vào đường link sau: Bài tập Toán 9 Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức √A^2 = A

A. Lý thuyết cần nhớ

1. Căn bậc hai, căn bậc hai số học

- Căn bậc hai của một số không a à số x sao cho x² = a

- Số dương a có đúng hai căn bậc hai là hai số đối nhau, số dương kí hiệu là $\sqrt a$ , số âm kí hiệu là $-\sqrt a$

- Số 0 có đúng một căn bậc hau là số 0, ta viết $\sqrt 0 = 0$

- Với số dương a, số $\sqrt a$ được gọi là căn bậc hai số học của a

- Số 0 cũng được gọi là căn bậc hai số học của 0

- Với hai số không âm a và b ta có $a < b \Rightarrow \sqrt a < \sqrt b$

2. Căn thức bậc hai

Với A là một biểu thức đại số, ta gọi $\sqrt A$ là căn thức bậc hai của A

$\sqrt A$ xác định (hay có nghĩa) khi A ≥ 0

$\sqrt {{A^2}} = \left| A \right| \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {A{\text{ khi A}} \geqslant {\text{0}}} \\ { - A{\text{ khi A < 0}}} \end{array}} \right.$

B. Bài tập căn thức bậc hai và hằng đẳng thức

Dạng 1: Tìm điều kiện để biểu thức chứa căn có nghĩa

Ví dụ 1: Với giá trị nào của x thì mỗi biểu thức sau có nghĩa

a. $\sqrt {3x + 1}$

b. $\sqrt {\frac{{ - 2}}{{x + 1}}}$

c. $\sqrt {x - 2} + \frac{x}{{x + 2}}$

Hướng dẫn giải

a. Điều kiện xác định: $3x + 1 \geqslant 0 \Rightarrow 3x \geqslant - 1 \Rightarrow x \geqslant \frac{{ - 1}}{3}$

b. Điều kiện xác định: $\frac{{ - 2}}{{x + 1}} \geqslant 0{\text{ Do - 2 < 0}} \Rightarrow x + 1 < 0 \Rightarrow x < - 1$

c. Điều kiện xác định: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x - 2 \geqslant 0} \\ {x + 2 \ne 0} \end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x \geqslant 2} \\ {x \ne - 2} \end{array}} \right. \Rightarrow x \ge2$

Dạng 2: Rút gọn biểu thức, Tính giá trị của biểu thức

Phương pháp: Để tính toán các bài toán cần biến đổi và sử dụng thành thạo các dạng của các hằng đẳng thức đáng nhớ. Để đơn giản bài toán, các em có thể tham khảo thông qua ví dụ như sau:

Hằng đẳng thức đáng nhớ	Ví dụ tham khảo
${\left( {a + b} \right)^2} = {a^2} + 2ab + {b^2}$	$\sqrt {4 + 2\sqrt 3 } = \sqrt {3 + 2\sqrt 3 + 1} = \sqrt {{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2} + 2\sqrt 3 + {1^2}}$ $= \sqrt {{{\left( {\sqrt 3 + 1} \right)}^2}} = \left\| {\sqrt 3 + 1} \right\| = \sqrt 3 + 1$
${\left( {a - b} \right)^2} = {a^2} - 2ab + {b^2}$	$\begin{matrix} \sqrt {{x^2} - 4\sqrt {{x^2} - 5} + 3} = \sqrt {{x^2} - 5 - 4\sqrt {{x^2} - 5} + 8} \hfill \\ = \sqrt {{x^2} - 5 - 4\sqrt {{x^2} - 5} + {2^2} + 4} = \sqrt {{{\left( {\sqrt {{x^2} - 5} - 2} \right)}^2} + 4} \hfill \\ \end{matrix}$
${a^2} - {b^2} = \left( {a - b} \right)\left( {a + b} \right)$	$\dfrac{{1 - x}}{{\sqrt x + 1}} = \dfrac{{{1^2} - {{\sqrt x }^2}}}{{\sqrt x + 1}}$ $= \dfrac{{\left( {1 - \sqrt x } \right)\left( {1 + \sqrt x } \right)}}{{\sqrt x + 1}} = 1 - \sqrt x ;\left( {x \geqslant 0} \right)$
${a^3} - {b^3} = \left( {a - b} \right)\left( {{a^2} + ab + {b^2}} \right)$	$\begin{matrix} \dfrac{{x\sqrt x - 1}}{{\sqrt x - 1}} - \sqrt x = \dfrac{{\sqrt {{x^3}} - {1^3}}}{{\sqrt x - 1}} - \sqrt x \hfill \\ = \dfrac{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}}{{\sqrt x - 1}} - \sqrt x \hfill \\ = x + \sqrt x + 1 - \sqrt x = x + 1 \hfill \\ \end{matrix}$
${a^3} + {b^3} = \left( {a + b} \right)\left( {{a^2} - ab + {b^2}} \right)$	$\begin{matrix} \dfrac{{{x^2} + \sqrt x }}{{x - \sqrt x + 1}} = \dfrac{{\sqrt x \left( {x\sqrt x + 1} \right)}}{{x - \sqrt x + 1}} = \dfrac{{\sqrt x \left( {\sqrt {{x^3}} + {1^3}} \right)}}{{x - \sqrt x + 1}} \hfill \\ = \dfrac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {x - \sqrt x + 1} \right)}}{{x - \sqrt x + 1}} = \sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right) \hfill \\ \end{matrix}$
${\left( {a + b} \right)^3} = {a^3} + 3{a^2}b + 3a{b^2} + {b^3}$	${\left( {\sqrt a + 1} \right)^3} = a\sqrt a + 3a + 3\sqrt a + 1$
${\left( {a - b} \right)^3} = {a^3} - 3{a^2}b + 3a{b^2} - {b^3}$	${\left( {\sqrt a - 1} \right)^3} = a\sqrt a - 3a + 3\sqrt a - 1$

Dạng 3: Giải phương trình

Dạng phương trình	Ví dụ tham khảo
${A^2} = {B^2}$	${x^2} = 9 \Leftrightarrow {x^2} = {3^2} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 3} \\ {x = - 3} \end{array}} \right.$
$\sqrt A = \sqrt B \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {A \geqslant 0} \\ {A = B} \end{array}} \right.$	$\sqrt {3x - 1} = \sqrt {x + 2}$ Điều kiện xác định $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {3x - 1 \geqslant 0} \\ {x + 2 \geqslant 0} \end{array}} \right. \Leftrightarrow x \geqslant \frac{1}{3}$ $\begin{matrix} \Leftrightarrow 3x - 1 = x + 2 \hfill \\ \Leftrightarrow 2x = 3 \Leftrightarrow x = \dfrac{3}{2}\left( {tm} \right) \hfill \\ \end{matrix}$
$\sqrt A = B \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {B \geqslant 0} \\ {A = {B^2}} \end{array}} \right.$ B < 0 phương trình vô nghiệm	$\begin{matrix} \sqrt {1 - {x^2}} = x - 1 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{{20}{c}} {x - 1 \geqslant 0} \\ {1 - {x^2} = {{\left( {x - 1} \right)}^2}} \end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{{20}{c}} {x \geqslant 1} \\ {2{x^2} - 2x = 0} \end{array}} \right.} \right. \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{{20}{c}} {x \geqslant 1} \\ {2x\left( {x - 1} \right) = 0} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{{20}{c}} {x \geqslant 1} \\ {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 0} \\ {x = 1} \end{array}} \right.} \end{array}} \right. \hfill \\ \end{matrix}$ Vậy x = 1
$\left\| A \right\| = B \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{{20}{c}} {B \geqslant 0} \\ {\left[ {\begin{array}{{20}{c}} {A = B} \\ {A = - B} \end{array}} \right.} \end{array}} \right.$	$\begin{matrix} \sqrt {{x^2} + x + \dfrac{1}{4}} - 2x = 0 \Leftrightarrow \left\| {x + \dfrac{1}{2}} \right\| = 2x \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{{20}{c}} {2x \geqslant 0} \\ {\left[ {\begin{array}{{20}{c}} {x + \dfrac{1}{2} = 2x} \\ {x + \frac{1}{2} = - 2x} \end{array}} \right.} \end{array} \Leftrightarrow } \right.\left\{ {\begin{array}{{20}{c}} {x \geqslant 0} \\ {\left[ {\begin{array}{{20}{c}} {x = \dfrac{1}{2}\left( {tm} \right)} \\ {x = \dfrac{{ - 1}}{6}\left( l \right)} \end{array}} \right.} \end{array} \Leftrightarrow } \right.x = \dfrac{1}{2} \hfill \\ \end{matrix}$
$\left\| A \right\| = \left\| B \right\| \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {A = B} \\ {A = - B} \end{array}} \right.$	$\left\| {x + 1} \right\| = \left\| {2x + 5} \right\| \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{{20}{c}} {x + 1 = 2x + 5} \\ {x + 1 = - 2x - 5} \end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{{20}{c}} {x = - 4} \\ {x = - 2} \end{array}} \right.} \right.$
$\left\| A \right\| + \left\| B \right\| = 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {A = 0} \\ {B = 0} \end{array}} \right.$	$\begin{matrix} \left\| {{x^2} - 4} \right\| + \left\| {x + 2} \right\| = 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{{20}{c}} {{x^2} - 4 = 0} \\ {x + 2 = 0} \end{array}} \right. \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{{20}{c}} {\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right) = 0} \\ {x = - 2} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{{20}{c}} {\left[ {\begin{array}{{20}{c}} {x = 2} \\ {x = - 2} \end{array}} \right.} \\ {x = - 2} \end{array}} \right. \Rightarrow x = - 2 \hfill \\ \end{matrix}$
$\sqrt A + \sqrt B = 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {A = 0} \\ {B = 0} \end{array}} \right.$	Điều kiện xác định $x \geqslant - 5$ $\begin{matrix} \sqrt {{x^2} - 25} + \sqrt {x + 5} = 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{{20}{c}} {{x^2} - 25 = 0} \\ {x + 5 = 0} \end{array}} \right. \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{{20}{c}} {\left( {x - 5} \right)\left( {x + 5} \right) = 0} \\ {x = - 5} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \pm 5} \\ {x = - 5} \end{array}} \right. \Rightarrow x = - 5 \hfill \\ \end{matrix}$

D. Bài tập tự rèn luyện

Bài 1: Với giá trị nào của x thì mỗi biểu thức sau có nghĩa:

a. $\sqrt {2x - 1}$	b. $\frac{x}{{{x^2} - 4}} + \sqrt {x - 2}$	g. $\sqrt {25 - {x^2}}$
c. $\sqrt {9x - 2}$	d. $\sqrt {\frac{1}{{3 - 2x}}}$	h. $\sqrt {x\left( {x - 1} \right)}$
e. $\sqrt {\frac{{ - 2}}{{2x - 1}}}$	f. $\sqrt {{x^2} + 4}$	i $\sqrt {{x^2} - 5x + 6}$

Bài 2: Thực hiện các phép tính sau:

a. $\sqrt {{{\left( {2 - \sqrt 3 } \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {1 - \sqrt 3 } \right)}^2}}$	b. $\sqrt {{{\left( {5 - 2\sqrt 6 } \right)}^2}} - \sqrt {{{\left( {5 + 2\sqrt 6 } \right)}^2}}$
c. $\sqrt {{{\left( {\sqrt 2 + 1} \right)}^2}} - \sqrt {{{\left( {\sqrt 2 - 5} \right)}^2}}$	d. $\sqrt {17 - 12\sqrt 2 } + \sqrt {9 + 4\sqrt 2 }$
e. $\sqrt {6 - 4\sqrt 2 } + \sqrt {22 - 12\sqrt 2 }$	f. $\sqrt {\sqrt 5 - \sqrt {9 - \sqrt {29 - 12\sqrt 5 } } }$

Bài 3: Rút gọn các biểu thức sau đây:

a. $\sqrt {1 - 4x + 4{x^2}} - 2x$	b. ${a^2} + \sqrt {{a^4} - 8{a^2} + 16}$
c. $\frac{{\sqrt {{x^2} - 2x + 1} }}{{x - 1}};\left( {x > 1} \right)$	d. $2x - 1 - \frac{{\sqrt {{x^2} - 10x + 25} }}{{x - 5}}$
e. $\sqrt {{{\left( {x - 4} \right)}^2}} + \frac{{x - 4}}{{\sqrt {{x^2} - 8x + 16} }}$	f. $\sqrt {{x^2} + 2\sqrt {{x^2} - 1} } - \sqrt {{x^2} - 2\sqrt {{x^2} - 1} }$

Bài 5: Giải các phương trình sau:

a. $\sqrt {2x + 5} = \sqrt {1 - x}$	b. $\sqrt {x + 2\sqrt {x - 1} } = 2$
c. $\sqrt {{x^2} - 4x + 3} = x - 2$	d. $\sqrt {{x^2} - 2x + 1} = {x^2} - 1$
e. $\sqrt {1 - 12x + 36{x^2}} = 5$	f. $\left\| {3x + 1} \right\| = \left\| {x + 1} \right\|$
g. $\sqrt {9{x^2} - 12x + 4} - \sqrt {{x^2}} = 0$	h. $\sqrt {{x^2} - 1} - {x^2} + 1 = 0$

-----------------------------------------------------

----------> Bài liên quan:

Hy vọng tài liệu Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức sẽ giúp ích cho các bạn học sinh học nắm chắc các cách biến đổi biểu thức chứa căn đồng thời học tốt môn Toán lớp 9. Chúc các bạn học tốt, mời các bạn tham khảo! Ngoài ra mời thầy cô và học sinh tham khảo thêm một số tài liệu liên quan: Lý thuyết Toán 9, Luyện tập Toán 9, Giải toán 9, ...

Câu hỏi mở rộng củng cố kiến thức: