Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt Phương trình hoành độ giao điểm

29 Đánh giá

Tìm m để d cắt p tại hai điểm phân biệt thỏa mãn điều kiện

A. Bài tập về parabol và đường thẳng lớp 9 có đáp án
B. Bài tập tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt thỏa mãn điều kiện

Tìm m để đường thẳng d cắt parabol P tại hai điểm phân biệt là một dạng toán thường gặp trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán. Tài liệu được GiaiToan.com biên soạn và giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô tham khảo. Nội dung tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh học tốt môn Toán lớp 9 hiệu quả hơn. Mời các bạn tham khảo.

A. Bài tập về parabol và đường thẳng lớp 9 có đáp án

Cho parabol (P): y = ax² (a ≠ 0) và đường thẳng (d): y = mx + n, (m ≠ 0). Khi đó

Hoành độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm của phương trình ax² = mx + n (_*)

Khi đó số giao điểm của (P) và (d) là số nghiệm của phương trình (_*):

Nếu (_*) vô nghiệm thì (P) và (d) không có điểm chung
Nếu (_*) có nghiệm kép thì (P) và (d) tiếp xúc nhau
Nếu (_*) có hai nghiệm phân biệt thì (P) và (d) cắt nhau tạo hai điểm phân biệt.

Ví dụ 1: Trên mặt phẳng Oxy cho parabol (P): $y = \frac{1}{2}{x^2}$ và đường thẳng (d): y = x – m (m là tham số)

a) Với m = 0 tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P) bằng phương pháp đại số

b) Tìm điều kiện của m để (d) và (P) cắt nhau tại hai điểm phân biệt

Hướng dẫn giải

a) Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là:

$\frac{1}{2}{x^2} = x \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 0} \\ {x = 2} \end{array}} \right.$

Với x = 0 thì y = 0

Với x = 2 thì y = 2

Vậy giao điểm của (d) và (P) khi m = 0 là (0; 0) và (2; 2)

b) Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là:

$\frac{1}{2}{x^2} = x - m \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 2m = 0$ (_*)

Để đường thẳng (d) và (P) cắt nhau tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (_*) có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow \Delta ' > 0 \Leftrightarrow m < \frac{1}{2}$

Vậy $m<\frac{1}{2}$ thì đường thẳng (d) và (P) cắt nhau tại hai điểm phân biệt.

Ví dụ 2: Cho parabol (P): y = - x² và đường thẳng (d): y = mx – 2 (với m là tham số)

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng d cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x₁, x₂ thỏa mãn điều kiện (x₁ + 2)(x₂ + 2) = 0

Hướng dẫn giải

Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là:

$- {x^2} = mx - 2 \Leftrightarrow {x^2} + mx - 2 = 0$

Ta có: $\triangle=m^2+8 >0$ nên d và (P) luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt

Theo Vi – et ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - m\\{x_1}.{x_2} = - 2\end{array} \right.$

Theo giả thiết ta có:

$\begin{matrix} \left( {{x_1} + 2} \right)\left( {{x_2} + 2} \right) = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow {x_1}{x_2} + 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 4 = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow - 2 + 2\left( { - m} \right) + 4 = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow m = 1 \hfill \\ \end{matrix}$

Vậy m = 1 thì đường thẳng d cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x₁, x₂ thỏa mãn điều kiện (x₁ + 2)(x₂ + 2) = 0

Ví dụ 3: Cho parabol (P) y = 1/2x² và đường thẳng y = 2x + m (m là tham số). Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng d cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x₁, x₂ thỏa mãn (x₁x₂ + 1)² = x₁ + x₂ + x₁x₂ + 3

Hướng dẫn giải

Phương trình hoành độ giao điểm (P) và (d) là

$\frac{1}{2}x^2=2x+m$

<=> $x^2-4x-2m =0$ (1)

Để d và P cắt nhau tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt

=> ∆' = (-2)² - 1.(- 2m) > 0

<=> 4 + 2m > 0 <=> 2m > - 4 <=> m > - 2

Ta có: x₁, x₂là hoành độ giao điểm của d và (P) nên x₁, x₂ là nghiệm của (1)

Theo định lí Vi - ét ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1} + {x_2} = 4} \\ {{x_1}{x_2} = - 2m} \end{array}} \right.$

Khi đó: (x₁x₂ + 1)² = x₁ + x₂ + x₁x₂ + 3

<=> (- 2m + 1)² = 4 - 2m + 3

<=> 4m² - 2m - 6 = 0

<=> m = -1 hoặc m = 3/2 (tmđk)

Vậy m = -1, m = 3/2 thì đường thẳng d cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x₁, x₂ thỏa mãn (x₁x₂ + 1)² = x₁ + x₂ + x₁x₂ + 3

Ví dụ 3: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P) y = - x² và đường thẳng (d): y = - 6x + m + 3. Tìm điều kiện của tham số m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A(x₁; y₁) và B(x₂; y₂) thỏa mãn y₁ + x₂ = 0

Hướng dẫn giải

Xét phương trình hoành độ giao điểm (P) và (d) ta có:

-x² = - 6x + m + 3

<=> x² – 6x + m + 3 = 0

∆’ = 3² – (m + 3) = 6 – m

Để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt thì ∆’ > 0

=> 6 – m > 0 => m < 6

Áp dụng định lí Vi – ét ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1} + {x_2} = 6} \\ {{x_1}.{x_2} = m + 3} \end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_2} = 6 - {x_1}} \\ {{x_1}.{x_2} = m + 3} \end{array}} \right.$

Ta có A, B thuộc (P) => $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {A\left( {{x_1}; - {x_1}^2} \right)} \\ {B\left( {{x_2}; - {x_2}^2} \right)} \end{array}} \right.$

Mặt khác ta có: y₁ + x₂ = 0

=> - x₁² + 6 – x₁ = 0

=> x₁ = 2 hoặc x₁ = - 3

+) Với x₁ = 2 => x₂ = 4

=> x₁. x₂ = 2 . 4 = 8

=> m + 3 = 8 => m = 5 (tm)

+) Với x₁ = - 3 => x₂ = 9

=> x₁. x₂ = - 3 . 9 = - 27

=> m + 3 = - 27 => m = - 30 (tm)

Ví dụ 4: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P): y = x² và đường thẳng (d): y = - 2(m – 1)x + 2m – m². Tìm điều kiện của tham số m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x₁; x₂ đối nhau.

Hướng dẫn giải

Xét phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P)

x² = - 2(m - 1)x - m² + 2m

=> x² + 2(m - 1)x + m² - 2m = 0

Để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại 2 điểm phân biệt

=> Δ' > 0

=> (m - 1)² - 1.(m² - 2m) > 0

=> m² - 2m + 1 - m² + 2m > 0

=> 1 > 0 (luôn đúng với mọi x thuộc R)

Do x₁; x₂ là hai số đối nhau nên ta có $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1} + {x_2} = 0} \\ {{x_1}.{x_2} <0} \end{array}} \right.$

Áp dụng định lí Vi – ét ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1} + {x_2} = 2m - 2} \\ {{x_1}.{x_2} = {m^2} - 2m} \end{array}} \right.$

=> $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m=1(tm)} \\ { 0< m<2} \end{array}} \right.$

Vậy m = 1 thì đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x₁; x₂ đối nhau.

B. Bài tập tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt thỏa mãn điều kiện

Bài 1: Cho Parabol (P): $y = \frac{1}{2}{x^2}$ và đường thẳng d: y = 2x + m (với m là tham số).

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng d cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x₁; x₂ thỏa mãn (x₁x₂ + 1)² = x₁ + x₂ + x₁x₂ + 3.

Xem lời giải chi tiết

Bài 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P) có phương trình y = 2x² và đường thẳng (d) có phương trình y = 2x + m (với m là tham số). Tìm điều kiện của m để parabol (P) cắt đường thẳng (d) tại hai điểm phân biệt. Gọi A(x₁; y₁); B(x₂; y₂) là hai giao điểm của parabol (P) và đường thẳng (d). Xác định m để (1 - x₁x₂)² + 2(y₁ + y₂) = 16.

Bài 3: Cho phương trình x² - 2(m + 1)x + m - 1 = 0 (m là tham số). Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁; x₂thỏa mãn 3x₁ + x₂ = 0.

Bài 4: Cho parabol (p) y = x² và đường thẳng d: y = mx - 2 (với m là tham số)

a) Vẽ parabol (P)

b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng d cắt (P) tại hai điểm phân biệt hoành độ x₁, x₂thỏa mãn (x₁ + 2)(x₂ + 2) = 0

Bài 5: Cho parabol (p) y = 2x² và đường thẳng d: y = x - m + 1 (với m là tham số)

a) Vẽ parabol (P)

b) Tìm tất cả các giá trị của m để (P) cắt (d) tại một điểm chung.

c) Tìm tất cả tọa độ các điểm thuộc (P) có hoành độ bằng hai lần tung độ.

Bài 6: Cho Parabol (P): $y=\frac{1}{2}x^2$ và đường thẳng $d:\ y=mx-\frac{1}{2}m^2+m+1$ .

a) Với m = 1, xác định tọa độ các giao điểm A, B của (d) và (P).

b) Tìm các giá trị của m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x₁, x₂ sao cho |x₁ - x₂| = 2.

Bài 7: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d): y = mx + 5.

a) Chứng minh đường thẳng (d) luôn đi qua điểm A(0; 5) với mọi giá trị của m.

b) Tìm tất cả các giá trị của m để đường thẳng (d) cắt parabol (P): y = x² tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là x₁; x₂ (với x₁ < x₂) sao cho |x₁| > |x₂|.

--------------------------------------------