Giaitoan.com Toán 9 Chuyên đề Toán 9 thi vào 10

Cách giải hệ phương trình đẳng cấp Giải hệ phương trình

Nội dung
  • 3 Đánh giá

Hệ phương trình đẳng cấp

Giải hệ phương trình đẳng cấp là một dạng toán khó thường gặp trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán. Tài liệu được GiaiToan.com biên soạn và giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô tham khảo. Nội dung tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh học tốt môn Toán lớp 9 hiệu quả hơn. Mời các bạn tham khảo.

1. Hệ phương trình đẳng cấp

- Hệ phương trình đẳng cấp là những hệ chứa những yếu tố đẳng cấp hoặc các phương trình của hệ khi nhân hoặc chia thì tạo ra phương trình đẳng cấp

Ta thường gặp dạng hệ này dưới các dạng như sau:

\begin{matrix} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a{x^2} + bxy + c{y^2} = d} \\ {e{x^2} + gxy + h{y^2} = k} \end{array}} \right. \hfill \\ \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a{x^2} + bxy + c{y^2} = dx + ey} \\ {g{x^2} + hxy + k{y^2} = tx + py} \end{array}} \right. \hfill \\ \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a{x^2} + bxy + c{y^2} = d} \\ {g{x^3} + h{x^2}y + kx{y^2} = mx + ny} \end{array}} \right. \hfill \\ ............... \hfill \\ \end{matrix}

2. Cách giải hệ đẳng cấp

Phương pháp chung để giải hệ phương trình đẳng cấp là: Từ các phương trình của hệ ta nhân hoặc chia cho nhau để tạo ra phương trình đẳng cấp bậc n

{a_1}{x^m} + {a_k}{x^{n - k}}{y^k} + .... + {a_n}{y^n} = 0

Từ đó ta xét hai trường hợp:

y = 0 thay vào để tìm x

y khác 0 ta đặt x = ty thì thu được phương trình {a_1}{t^n} + {a_k}{t^{n - k}} + .... + {a_n} = 0

Giải phương trình tìm t sau đó thế vào hệ ban đầu để tìm x, y

3. Bài tập giải hệ phương trình đẳng cấp

Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau: \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x^3} = {y^3} + 2y + 8x} \\ {{x^2} - 3 = 3\left( {{y^2} + 1} \right)} \end{array}} \right.

Hướng dẫn giải

Biến đổi hệ phương trình như sau: \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x^3} + {y^3} = 8x + 2y} \\ {{x^2} + 3{y^2} = 6} \end{array}} \right.

Nhận thấy rằng nếu nhân chèo hai phương trình cua hệ ta được:

6\left( {{x^3} + {y^3}} \right) = \left( {8x + 2y} \right)\left( {{x^2} + 3{y^2}} \right) đây là phương trình đẳng cấp bậc 3

Từ đó ta có lời giải như sau:

Vì x = 0 không là nghiệm của hệ phương trình nên ta đặt y = tx. Khi đó hệ phương trình trở thành:

\begin{matrix} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x^3} - 8x = {t^3}{x^3} + 2tx} \\ {{x^2} - 3 = 3\left( {{t^2}{x^2} + 1} \right)} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x^2}\left( {1 - {t^3}} \right) = 2t + 8} \\ {{x^2}\left( {1 - 3{t^2}} \right) = 6} \end{array}} \right. \Rightarrow \dfrac{{1 - {t^3}}}{{1 - 3{t^2}}} = \dfrac{{t + 4}}{3} \hfill \\ \Rightarrow 3\left( {1 - {t^3}} \right) = \left( {t + 4} \right)\left( {1 - 3{t^2}} \right) \hfill \\ \Rightarrow 12{t^2} - t - 1 = 0 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {t = \dfrac{1}{3}} \\ {t = - \dfrac{1}{4}} \end{array}} \right. \hfill \\ \end{matrix}

Với t = \frac{1}{3} thay vào hệ phương trình ban đầu ta tìm được \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \pm 3} \\ {y = \pm 1} \end{array}} \right.

Với t = - \frac{1}{4} thay vào hệ phương trình ban đầu ta tìm được \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \pm \dfrac{{4\sqrt {78} }}{{13}}} \\ {y = \pm \dfrac{{\sqrt {78} }}{{13}}} \end{array}} \right.

Vậy hệ phương trình có tập nghiệm (x; y) = (3; 1) = (-3; -1) = \left( {\frac{{4\sqrt {78} }}{{13}};\frac{{\sqrt {78} }}{{13}}} \right) = \left( { - \frac{{4\sqrt {78} }}{{13}}; - \frac{{\sqrt {78} }}{{13}}} \right)

Ví dụ 2: Giải hệ phương trình sau: \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x^2} + xy + x + 3 = 0} \\ {{{\left( {x + 1} \right)}^2} + 3\left( {y + 1} \right) + 2\left( {xy - \sqrt {{x^2}y + 2y} } \right) = 0} \end{array}} \right.

Hướng dẫn giải

Điều kiện: {x^2}y + 2y \geqslant 0 \Rightarrow y \geqslant 0

Từ phương trình thứ nhất ta có:

xy = - {x^2} - x - 3

Thay vào phương trình thứ hai ta được:

\begin{matrix} {\left( {x + 1} \right)^2} + 3\left( {y + 1} \right) - 2{x^2} - 2x - 6 - 2\sqrt {y\left( {{x^2} + 2} \right)} = 0 \hfill \\ \Rightarrow {x^2} + 2 - 3y + 2\sqrt {y\left( {{x^2} + 2} \right)} = 0 \hfill \\ \end{matrix}

Đây là phương trình đẳng cấp đối với \sqrt y ;\sqrt {{x^2} + 2}

Đặt \sqrt y = t\sqrt {{x^2} + 2} phương trình trở thành 3{t^2} - 2t - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {t = 1\left( {tm} \right)} \\ {t = - \dfrac{1}{3}\left( L \right)} \end{array}} \right.

Với t = 1 ta có y = x2 + 2 thay vào phương trình thứ nhất cuat hệ ta thu được x = -1 => y = 3

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) = (1; -3)

4. Bài tập luyện tập giải hệ đối xứng loại 2

Bài 1: Giải hệ phương trình

\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {xy + {x^2}\sqrt y - 2 = 0} \\ {2x{y^2} + \left( {{x^3} + 2x - 3} \right)y + {x^3} = 3} \end{array}} \right.\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x^2} + {y^2} + \dfrac{{8xy}}{{x + y}} = 16} \\ {\dfrac{{{x^2}}}{{8y}} + \dfrac{{2x}}{3} = \sqrt {\dfrac{{{x^3}}}{{3y}} + \dfrac{{{x^2}}}{4}} - \dfrac{y}{2}} \end{array}} \right.

Bài 2: Tìm tập nghiệm của các hệ phương trình:

\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x^2}\sqrt {y + 1} - 2xy - 2x = 1} \\ {{x^3} - 3x - 3xy = 6} \end{array}} \right.\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\sqrt {{x^2} + 2y + 3} + 2y - 3 = 0} \\ {2\left( {2{y^3} + {x^3}} \right) + 3y{{\left( {x + 1} \right)}^2} + 6x\left( {x + 1} \right) + 2 = 0} \end{array}} \right.

5. Giải hệ phương trình đối xứng

Giải hệ phương trình đối xứng loại 1

Giải hệ phương trình đối xứng loại 2

------------------------------------------------

Hy vọng tài liệu Hướng dẫn giải hệ phương trình đẳng cấp sẽ giúp ích cho các bạn học sinh học nắm chắc kiến thức về tương giao đồ thị, hàm số bậc hai đồng thời học tốt môn Toán lớp 9. Chúc các bạn học tốt, mời các bạn tham khảo!

Ngoài ra mời quý thầy cô và học sinh tham khảo thêm một số nội dung:

  • 1.701 lượt xem
Chia sẻ bởi: Xử Nữ
Tìm thêm: Toán 9 Chuyên đề Toán 9
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi

    Xem thêm bài viết khác

    Xem thêm Chuyên đề Toán 9 thi vào 10

    Chủ đề liên quan

    Chuyên đề Toán 9 ôn thi vào 10