Giaitoan.com Toán 9 Chuyên đề Toán 9 thi vào 10

Cách giải hệ phương trình đối xứng loại 2 Giải hệ phương trình

Nội dung
  • 2 Đánh giá

Hệ phương trình đối xứng loại 2

Giải hệ phương trình đối xứng loại 2 là một dạng toán khó thường gặp trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán. Tài liệu được GiaiToan.com biên soạn và giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô tham khảo. Nội dung tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh học tốt môn Toán lớp 9 hiệu quả hơn. Mời các bạn tham khảo.

1. Hệ đối xứng loại 2

Định nghĩa: Một hệ phương trình ẩn x, y được gọi là hệ phương trình đối xứng loại 2 nếu mỗi phương trình ta đổi vai trò của x, y cho nhau thì phương trình này trở thành phương trình kia

Tính chất: Nếu \left( {{x_0};{y_0}} \right) là một nghiệm của hệ phương trình thì \left( {{y_0};{x_0}} \right) cũng là nghiệm của phương trình

2. Cách giải hệ đối xứng loại 2

Trừ vế với vế hai phương trình của hệ ta được một phương trình có dạng

\left( {x - y} \right)\left[ {f\left( {x;y} \right)} \right] = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x - y = 0} \\ {f\left( {x;y} \right) = 0} \end{array}} \right.

3. Bài tập giải hệ đối xứng loại 2

Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau: \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x^2} = 2y - \sqrt x } \\ {{y^2} = 2x - \sqrt y } \end{array}} \right.

Hướng dẫn giải

Điều kiện x,y \geqslant 0. Trừ hai phương trình của hệ ta thu được:

\begin{matrix} {x^2} + \sqrt x - \left( {{y^2} + \sqrt y } \right) = 2\left( {y - x} \right) \hfill \\ \Leftrightarrow \left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)\left[ {\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)\left( {x + y} \right) + 1 + 2\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)} \right] = 0 \hfill \\ \end{matrix}

Vì \left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)\left( {x + y} \right) + 1 + 2\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right) > 0 nên phương trình đã cho tương đương với x = y

\begin{matrix} {x^2} - 2x + \sqrt x = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow {x^2} + \sqrt x = 2x \hfill \\ \Leftrightarrow \sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x - 1} \right) = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 0} \\ {x = 1} \\ {x = \frac{{3 - \sqrt 5 }}{2}} \end{array}} \right. \hfill \\ \end{matrix}

Vậy hệ phương trình có tập nghiệm (x; y) = (0; 0) = (1; 1) = \left( {\frac{{3 - \sqrt 5 }}{2};\frac{{3 - \sqrt 5 }}{2}} \right)

Ví dụ 2: Giải hệ phương trình sau: \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x^3} + 3x + \sqrt {2x + 1} = y + 1} \\ {{y^3} + 3y + \sqrt {2y + 1} = x + 1} \end{array}} \right.

Hướng dẫn giải

Điều kiện x \geqslant - \frac{1}{2};y \geqslant - \frac{1}{2}

Ta kiểm tra được x = y = - \frac{1}{2} không là nghiệm của hệ phương trình đã cho

Xét trường hợp x + y \ne - 1. Trừ hai phương trình của hệ cho nhau ta được:

\begin{matrix} {x^3} + 3x - 1 + \sqrt {2x + 1} - \left( {{y^3} + 3y - 1 + \sqrt {2y - 1} } \right) = y - x \hfill \\ \Leftrightarrow \left( {x - y} \right)\left[ {{x^2} + xy + {y^2}} \right] + 4\left( {x - y} \right) + \dfrac{{2\left( {x - y} \right)}}{{\sqrt {2x + 1} + \sqrt {2y + 1} }} = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \left( {x - y} \right)\left[ {{x^2} + xy + {y^2} + 4 + \dfrac{2}{{\sqrt {2x + 1} + \sqrt {2y + 1} }}} \right] = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow x = y \hfill \\ \end{matrix}

Khi x = y xét phương trình

\begin{matrix} {x^3} + 2x - 1 + \sqrt {2x + 1} = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow x\left( {{x^2} + 1} \right) + \dfrac{{2x}}{{\sqrt {2x + 1} + 1}} = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow x\left[ {{x^2} + 1 + \dfrac{2}{{\sqrt {2x + 1} + 1}}} \right] = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow x = 0 \hfill \\ \end{matrix}

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) = (0; 0)

4. Bài tập luyện tập giải hệ đối xứng loại 2

Giải hệ phương trình

a) \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x^2} - \left( {2y + 2} \right)x - 3{y^2} = 0} \\ {{x^2} + 2x{y^2} - \left( {y + 3} \right)x - 2{y^3} - 6{y^2} + 1 = 0} \end{array}} \right.

b) \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {3xy - 3x - 3y = 3} \\ {4{x^3} - 12{x^2} + 9x = - {y^3} + 6y + 7} \end{array}} \right.

5. Giải hệ phương trình đối xứng

Giải hệ phương trình đối xứng loại 1

Giải hệ phương trình đẳng cấp

------------------------------------------------

Hy vọng tài liệu Hướng dẫn giải hệ phương trình đối xứng loại 2 sẽ giúp ích cho các bạn học sinh học nắm chắc kiến thức về tương giao đồ thị, hàm số bậc hai đồng thời học tốt môn Toán lớp 9. Chúc các bạn học tốt, mời các bạn tham khảo!

Ngoài ra mời quý thầy cô và học sinh tham khảo thêm một số nội dung:

  • 418 lượt xem
Chia sẻ bởi: Xử Nữ
Tìm thêm: Toán 9 Chuyên đề Toán 9
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi

    Xem thêm bài viết khác

    Xem thêm Chuyên đề Toán 9 thi vào 10

    Chủ đề liên quan

    Chuyên đề Toán 9 ôn thi vào 10