Giaitoan.com Toán 9 Chuyên đề Toán 9 thi vào 10

Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất Chuyên đề Toán lớp 9 luyện thi vào lớp 10

Nội dung
  • 6 Đánh giá

Hệ phương trình

Tìm giá trị m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất là một dạng toán khó thường gặp trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán. Tài liệu được  GiaiToan.com biên soạn và giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô tham khảo. Nội dung tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh học tốt môn Toán lớp 9 hiệu quả hơn. Mời các bạn tham khảo.

A. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

- Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng: \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {ax + by = c} \\ {hx + ky = d} \end{array}} \right.\left( * \right)

Trong đó x, y là ẩn số, các chữ số a, b, h, k, c, d là các hệ số

- Nếu cặp số (x0; y0) đồng thời là nghiệm của cả hai phương trình của hệ phương trình (*) thì ta gọi (x0; y0) là nghiệm của hệ phương trình (*)

- Giải hệ phương trình (*) ta tìm được tập nghiệm của nó

B. Cách tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất

Bước 1: Sử dụng phương pháp thế hoặc cộng đại số để giải hệ phương trình theo ẩn m.

Bước 2: Biện luận chứng minh hệ luôn có nghiệm duy nhất.

Bước 3: Kết luận.

C. Bài tập tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất

Ví dụ 1: Cho hệ phương trình \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left( {m - 1} \right)x + y = 2} \\ {mx + y = m + 1} \end{array}} \right. với m là tham số.

a) Giải hệ phương trình khi m = 2.

b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất (x; y) thỏa mãn 2x + y ≤ 3

Hướng dẫn giải

a) Giải hệ phương trình khi m = 2

Thay m = 2 vào hệ phương trình ta được:

\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x + y = 2} \\ {2x + y = 3} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x + y = 2} \\ {x = 1} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {y = 1} \\ {x = 1} \end{array}} \right.

Vậy khi m = 2 hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (1; 1)

b) Rút y từ phương trình thứ nhất ta được

y = 2 – (m – 1)x thế vào phương trình còn lại ta được phương trình:

3m + 2 – (m – 1)x = m + 1

<=> x = m – 1

Suy ra y = 2(m – 1)2 với mọi m

Vậy hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất (x; y) = (m – 1; 2 – (m – 1)2)

2x + y = 2(m – 1) + 2 – (m – 1)2 = -m2 + 4m – 1 = 3 – (m – 2)2 ≤ 3 với mọi giá trị của m.

Ví dụ 2: Cho hệ phương trình: \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2x + my = - 4} \\ {mx - 3y = 5} \end{array}} \right.

a) Giải hệ phương trình với m = 1

b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

Hướng dẫn giải

a) Giải hệ phương trình khi m = 1

Thay m = 1 vào hệ phương trình ta được:

\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2x + y = - 4} \\ {x - 3y = 5} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {6x + 3y = - 12} \\ {x - 3y = 5} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {7x = - 7} \\ {x - 3y = 5} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = - 1} \\ {x - 3y = 5} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = - 1} \\ {y = - 2} \end{array}} \right.

Vậy khi m = 1 hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (-1; -2)

b) Ta xét hai trường hợp:

Trường hợp 1: Nếu m = 0 hệ phương trình trở thành \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2x = - 4} \\ { - 3y = 5} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = - 2} \\ {y = - \dfrac{5}{3}} \end{array}} \right.

Vậy với m = 0 hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

Trường hợp 2: Nếu m ≠ 0 hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi \frac{2}{m} \ne \frac{m}{{ - 3}} \Leftrightarrow {m^2} \ne - 6 (luôn đúng, vì m2 ≥ 0 với mọi m)

Do đó, với m ≠ 0 hệ luôn có nghiệm duy nhất.

Vậy hệ phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi giá trị của m.

Ví dụ 3: Cho hệ phương trình \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x + my = m + 1} \\ {mx + y = 2m} \end{array}} \right. với m là tham số

a) Giải hệ phương trình khi m = 2.

b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) thỏa mãn \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x \geqslant 2} \\ {y \geqslant 1} \end{array}} \right.

Hướng dẫn giải

a) Học sinh tự giải hệ phương trình.

b) Xét hệ \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x + my = m + 1{\text{ }}\left( 1 \right)} \\ {mx + y = 2m{\text{ }}\left( 2 \right)} \end{array}} \right.

Từ (2) suy ra y = 2m – mx thay vào (1) ta được

x + m(2m – mx) = m + 1

<=> 2m2 – m2x + x = m + 1

<=> (1 – m2)x = -2m2 + m + 1

<=> (m2 – 1)x = 2m2 – m – 1 (3)

Hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất

<=> (3) có nghiệm duy nhất

m2 – 1 ≠ 0 => m ≠ ± 1 (*)

Khi đó hệ đã cho có nghiệm duy nhất là \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \dfrac{{2m + 1}}{{m + 1}}} \\ {y = \dfrac{m}{{m + 1}}} \end{array}} \right..

-----------------------------------------------------

Hy vọng tài liệu Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn Toán 9 sẽ giúp ích cho các bạn học sinh học nắm chắc các cách biến đổi hệ phương trình đồng thời học tốt môn Toán lớp 9. Chúc các bạn học tốt, mời các bạn tham khảo!

Ngoài ra mời quý thầy cô và học sinh tham khảo thêm một số nội dung:

  • 15.351 lượt xem
Chia sẻ bởi: Phước Thịnh
Tìm thêm: Toán 9 Chuyên đề Toán 9
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi

    Chủ đề liên quan

    Chuyên đề Toán 9 ôn thi vào 10