Giaitoan.com Toán 9 Chuyên đề Toán 9 thi vào 10

Cách giải hệ phương trình đối xứng loại 1 Giải hệ phương trình

Nội dung
  • 3 Đánh giá

Hệ phương trình đối xứng loại 1

Giải hệ phương trình đối xứng loại 1 là một dạng toán khó thường gặp trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán. Tài liệu được GiaiToan.com biên soạn và giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô tham khảo. Nội dung tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh học tốt môn Toán lớp 9 hiệu quả hơn. Mời các bạn tham khảo.

1. Hệ đối xứng loại 1

Định nghĩa: Một hệ phương trình ẩn x, y được gọi là hệ phương trình đối xứng loại 1 nếu mỗi phương trình ta đổi vai trò của x, y cho nhau thì phương trình đó không đổi.

Tính chất: Nếu \left( {{x_0};{y_0}} \right) là một nghiệm của hệ phương trình thì \left( {{y_0};{x_0}} \right) cũng là nghiệm của phương trình

2. Cách giải hệ đối xứng loại 1

Đặt \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {S = x + y} \\ {P = xy} \end{array}} \right.;\left( {{S^2} \geqslant 4P} \right) ta quy hệ phương trình vế 2 ẩn S, P

Chú ý: Trong một số hệ phương trình đôi khi tính đối xứng chỉ thể hiện trong một phương trình. Ta cần dựa vào phương trình đó để tìm quan hệ S, P từ đó suy ra quan hệ x, y.

3. Bài tập giải hệ đối xứng loại 1

Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau: \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x + y + 2xy = 2} \\ {{x^3} + {y^3} = 8} \end{array}} \right.

Hướng dẫn giải

Đặt \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {S = x + y} \\ {P = xy} \end{array}} \right.;\left( {{S^2} \geqslant 4P} \right) hệ phương trình đã cho trở thành

\begin{matrix} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {S + 2P = 2} \\ {S\left( {{S^2} - 3P} \right) = 8} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {P = \dfrac{{2 - S}}{2}} \\ {S\left( {{S^2} - \dfrac{{6 - 3S}}{2}} \right) = 8} \end{array}} \right. \hfill \\ \Rightarrow 2{S^3} + 3{S^2} - 6S - 16 = 0 \hfill \\ \Rightarrow \left( {S - 2} \right)\left( {2{S^2} + 7S + 8} \right) = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow S = 2 \Rightarrow P = 0 \hfill \\ \end{matrix}

=> x, y là hai nghiệm của phương trình

{X^2} - 2X = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {X = 0} \\ {X = 2} \end{array}} \right.

Vậy hệ phương trình có tập nghiệm (x; y) = (0; 2) = (2; 0)

Ví dụ 2: Giải hệ phương trình sau: \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x + y - \sqrt {xy} = 3} \\ {\sqrt {x + 1} + \sqrt {y + 1} = 4} \end{array}} \right.

Hướng dẫn giải

Điều kiện \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {xy \geqslant 0} \\ {x,y \geqslant - 1} \end{array}} \right.

Đặt \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {S = x + y} \\ {P = xy} \end{array}} \right.;\left( {{S^2} \geqslant 4P} \right) hệ phương trình đã cho trở thành:

\begin{matrix} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {S - \sqrt P = 3} \\ {S + 2 + 2\sqrt {S + P + 1} = 16} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {P = {{\left( {S - 3} \right)}^2};\left( {S \geqslant 3} \right)} \\ {2\sqrt {S + {{\left( {S - 3} \right)}^2} + 1} = 14 - S} \end{array}} \right. \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {P = {{\left( {S - 3} \right)}^2};\left( {3 \leqslant S \leqslant 14} \right)} \\ {4\left( {{S^2} + 8S + 10} \right) = 196 - 28S + {S^2}} \end{array}} \right. \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {P = {{\left( {S - 3} \right)}^2};\left( {3 \leqslant S \leqslant 14} \right)} \\ {{S^2} + 30S - 52 = 0} \end{array}} \right. \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {S = 6} \\ {P = 9} \end{array} \Rightarrow x = y = 3} \right. \hfill \\ \end{matrix}

Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (3; 3)

Ví dụ 3: Tìm tập nghiệm của hệ phương trình: \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2\left( {x + y} \right) = 3\left( {\sqrt[3]{{{x^2}y}} + \sqrt[3]{{x{y^2}}}} \right)} \\ {\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y} = 6} \end{array}} \right.

Hướng dẫn giải

Đặt a = \sqrt[3]{x};b = \sqrt[3]{y} hệ đã cho trở thành \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2\left( {{a^3} + {b^3}} \right) = 3\left( {{a^2}b + {b^2}a} \right)} \\ {a + b = 6} \end{array}} \right.

Đặt \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {S = x + y} \\ {P = xy} \end{array}} \right.;\left( {{S^2} \geqslant 4P} \right) hệ phương trình đã cho trở thành:

\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2\left( {{S^3} - 3SP} \right) = 3SP} \\ {S = 6} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2\left( {36 - 3P} \right) = 3P} \\ {S = 6} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {P = 8} \\ {S = 6} \end{array}} \right.

Suy ra a, b là hai nghiệm của phương trình

{M^2} - 6M + 8 = 0 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{M_1} = 2} \\ {{M_2} = 4} \end{array} \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a = 2 \Rightarrow x = 8} \\ {b = 4 \Rightarrow y = 64} \end{array}} \right.} \\ {\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a = 4 \Rightarrow x = 64} \\ {b = 2 \Rightarrow y = 8} \end{array}} \right.} \end{array}} \right.} \right.

Vậy hệ phương trình đã cho có hai cặp nghiệm (x; y) = (8; 64) = (64; 8)

4. Bài tập luyện tập giải hệ đối xứng loại 1

Bài 1: Giải hệ phương trình:

a) \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left( {x + y} \right)\left( {1 + \dfrac{1}{{xy}}} \right) = 5} \\ {\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\left( {1 + \dfrac{1}{{{x^2}{y^2}}}} \right) = 9} \end{array}} \right.

b) \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x^2} + {y^2} + \dfrac{{2xy}}{{x + y}} = 1} \\ {{x^2} - y = \sqrt {x + y} } \end{array}} \right.

Bài 2: Tìm tập nghiệm của các hệ phương trình sau đây

a) \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\sqrt {{x^2} + {y^2}} + \sqrt {2xy} = 8\sqrt 2 } \\ {\sqrt x + \sqrt y = 4} \end{array}} \right.

b) \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x^3}y\left( {x + y} \right) + {x^2}{y^2}\left( {2 + y} \right) + x{y^3} = 30} \\ {{x^2}y + x\left( {1 + y + {y^2}} \right) + y - 11 = 0} \end{array}} \right.

5. Giải hệ phương trình đối xứng

Giải hệ phương trình đối xứng loại 2

Giải hệ phương trình đẳng cấp

------------------------------------------------

Hy vọng tài liệu Hướng dẫn giải hệ phương trình đối xứng loại 1 sẽ giúp ích cho các bạn học sinh học nắm chắc kiến thức về tương giao đồ thị, hàm số bậc hai đồng thời học tốt môn Toán lớp 9. Chúc các bạn học tốt, mời các bạn tham khảo!

Ngoài ra mời quý thầy cô và học sinh tham khảo thêm một số nội dung:

  • 643 lượt xem
Chia sẻ bởi: Biết Tuốt
Tìm thêm: Toán 9 Chuyên đề Toán 9
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi

    Xem thêm bài viết khác

    Xem thêm Chuyên đề Toán 9 thi vào 10

    Chủ đề liên quan

    Chuyên đề Toán 9 ôn thi vào 10