Cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa căn Chuyên đề Toán 9 thi vào lớp 10

17 Đánh giá

Tìm GTLN và GTNN của biểu thức chứa dấu căn

A. Cách tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của biểu thức
B. Bài tập tìm GTLN, GTNN của biểu thức chứa căn
C. Bài tập vận dụng tìm giá trị x để biểu thức đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

GiaiToan.com biên soạn và giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô tham khảo tài liệu Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa dấu căn. Đây là một trong những dạng toán khó và thường gặp trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán, đòi hỏi việc vận dụng linh hoạt các kiến thức Đại số Toán 9. Nội dung tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh học tốt môn Toán lớp 9 hiệu quả hơn. Mời các bạn tham khảo.

A. Cách tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của biểu thức

1. Biến đổi biểu thức

Bước 1: Biến đổi biểu thức về dạng tổng hoặc hiệu của một số không âm với hằng số.

$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {GTNN:\sqrt {{A^2} + m} \geqslant \sqrt m } \\ {GTLN:\sqrt {m - {A^2}} \leqslant \sqrt m } \end{array};\left( {m \geqslant 0} \right)} \right.$

Bước 2: Thực hiện tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

2. Chứng minh biểu thức luôn dương hoặc luôn âm

Phương pháp:

- Để chứng minh biểu thức A luôn dương ta cần chỉ ra: $A = {A_1}^2 + k;\left( {k > 0} \right)$

- Để chứng minh biểu thức A luôn âm ta cần chỉ ra: $A =- {A_1}^2 - k;\left( {k > 0} \right)$

3. Sử dụng bất đẳng thức Cauchy

Cho hai số a, b không âm ta có:

$a + b \geqslant 2\sqrt {ab}$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b

4. Sử dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối

$\left| a \right| + \left| b \right| \geqslant \left| {a + b} \right|$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi tích $a.b \geqslant 0$

B. Bài tập tìm GTLN, GTNN của biểu thức chứa căn

Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

a. $E = \frac{1}{{\sqrt x + 1}}$

b. $D = \frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x + 2}}$

Hướng dẫn giải

a) Điều kiện xác định x ≥ 0

Do $\sqrt x \geqslant 0 \Rightarrow \sqrt x + 1 \geqslant 1 \Rightarrow \frac{1}{{\sqrt x + 1}} \leqslant 1$

=> max A = 1

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = 0

Vậy GTLN của E bằng 1 khi x = 0

b) Điều kiện xác định $x \geqslant 0$

$D = \frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x + 2}} = 1 + \frac{1}{{\sqrt x + 2}}$

Do $\sqrt x \geqslant 0 \Rightarrow \sqrt x + 2 \geqslant 2 \Rightarrow \frac{1}{{\sqrt x + 2}} \leqslant \frac{1}{2} \Rightarrow \max A = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = 0

Vậy GTLN của D bằng 3/2 khi x = 0

Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $Q = {x^2}\sqrt {9 - {x^2}}$

Hướng dẫn giải

Điều kiện xác định: x ∈ [-3; 3]

Ta có:

$\begin{matrix} {Q^2} = {x^4}\left( {9 - {x^2}} \right) \hfill \\ {Q^2} = 4.\dfrac{{{x^2}}}{2}.\dfrac{{{x^2}}}{2}\left( {9 - {x^2}} \right) \hfill \\ \end{matrix}$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

$\begin{matrix} {Q^2} \leqslant 4.\dfrac{{{{\left( {\dfrac{{{x^2}}}{2} + \dfrac{{{x^2}}}{2} + \left( {9 - {x^2}} \right)} \right)}^3}}}{{27}} = 4.27 \hfill \\ \Rightarrow Q \leqslant 6\sqrt 3 \hfill \\ \Rightarrow \max Q = 6\sqrt 3 \hfill \\ \end{matrix}$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $x = \pm \sqrt 6$

Ví dụ: Cho biểu thức $A = \left( {\frac{1}{{x - \sqrt x }} + \frac{1}{{\sqrt x - 1}}} \right):\frac{{\sqrt x + 1}}{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}$ với x > 0 và x ≠ 1

a) Rút gọn biểu thức A

b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P = A - 9\sqrt x$

Hướng dẫn giải

a) Với điều kiện x > 0 và x ≠ 1 ta rút gọn biểu thức được kết quả như sau: $A = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x }}$

b) Có hai cách giải bài toán như sau:

Cách 1: Thêm bớt rồi dùng bất đẳng thức Cauchy hoặc đánh giá dựa vào điều kiện đề bài.

Với điều kiện x > 0 và x ≠ 1 ta có:

$P = A - 9\sqrt x = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x }} - 9\sqrt x$

$= 1 - \frac{1}{{\sqrt x }} - 9\sqrt x = 1 - \left( {9\sqrt x + \frac{1}{{\sqrt x }}} \right)$

Theo bất đẳng thức Cauchy ra có:

$9\sqrt x + \frac{1}{{\sqrt x }} \geqslant 2\sqrt {9\sqrt x .\frac{1}{{\sqrt x }}} \Leftrightarrow 9\sqrt x + \frac{1}{{\sqrt x }} \geqslant 6$

Như vậy P ≤ -5

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $9\sqrt x = \frac{1}{{\sqrt x }}$ hay x = 1/9

Vậy giá trị lớn nhất của P là - 5 khi và chỉ khi x = 1/9

Cách 2: Dùng miền giá trị để đánh giá

Với điều kiện x > 0 và x ≠ 1 ta có:

$P = A - 9\sqrt x = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x }} - 9\sqrt x = 1 - \frac{1}{{\sqrt x }} - 9\sqrt x$ (P < 1)

$\begin{matrix} \Leftrightarrow P\sqrt x = \sqrt x - 1 - 9x \hfill \\ \Leftrightarrow 9x + \left( {P - 1} \right)\sqrt x + 1 = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow 9{\left( {\sqrt x } \right)^2} + \left( {P - 1} \right)\sqrt x + 1 = 0\left( * \right) \hfill \\ \end{matrix}$

Để tổn tại P thì phương trình (*) phải có nghiệm, tức là:

∆ = (P - 1)² - 36 ≥ 0 ⇔ (P - 1)² ≥ 36 ⇔ P - 1 ≤ -6 (Do P < 1) ⇔ P ≤ -5

Như vậy P ≤ -5 khi $\sqrt x = \frac{{ - \left( {P - 1} \right)}}{{2.9}} = \frac{{ - \left( { - 5 - 1} \right)}}{{2.9}} = \frac{1}{3} \Rightarrow x = \frac{1}{9}$

Vậy giá trị lớn nhất của P là -5 khi và chỉ khi x = 1/9

C. Bài tập vận dụng tìm giá trị x để biểu thức đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

Bài 1: Tìm giá trị của x nguyên để các biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất:

a. $\sqrt {x - 4} - 2$

b. $x - \sqrt x$

Bài 2: Tìm giá trị của x nguyên để các biểu thức sau đạt giá trị lớn nhất:

a. $A = \sqrt 3 - \sqrt {x - 1}$	b. $B = 6\sqrt x - x - 1$
c. $C = \frac{1}{{x - \sqrt x - 1}}$

Bài 3: Cho biểu thức:

$A = \frac{{4\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{25 - x}};B = \left( {\frac{{15 - \sqrt x }}{{x - 25}} + \frac{2}{{\sqrt x + 5}}} \right):\frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 5}};\left( {x \geqslant 0;x \ne 25} \right)$

a. Tính giá trị của biểu thức A khi x = 9

b. Rút gọn biểu thức B

c. Tìm tất cả các giá trị nguyên của x để biểu thức A . B đạt giá trị nguyên lớn nhất.

Bài 4: Cho biểu thức: $A = \frac{{5\sqrt x - 3}}{{x + \sqrt x + 1}}$ . Tìm giá trị của x để A đạt giá trị lớn nhất.

Bài 5: Cho biểu thức:

$A = \left( {\frac{1}{{\sqrt x - 1}} + \frac{{\sqrt x }}{{x - 1}}} \right):\frac{{2\sqrt x + 1}}{{\sqrt x + x + 2}};\left( {x \geqslant 0;x \ne 1} \right)$

a. Rút gọn A

b. Tìm giá trị lớn nhất của A

Bài 6: Cho biểu thức:

$B = \frac{{{x^2} + \sqrt x }}{{x - \sqrt x + 1}} - \frac{{2x + \sqrt x }}{{\sqrt x }} + 1;\left( {x > 0} \right)$

a. Rút gọn B

b. Tìm giá trị nhỏ nhất của B.

Bài 7: Cho biểu thức $A=\frac{x\sqrt{x}+26\sqrt{x}-19}{x+2\sqrt{x}-3}-\frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}+\frac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}+3}$ với x ≥ 0; x ≠ 1

a) Rút gọn A

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A.

Bài 8: Cho biểu thức $P=\left(\frac{\sqrt{x}}{x-36}+\frac{\sqrt{x}-6}{x+6\sqrt{x}}\right).\frac{x\sqrt{x}-36\sqrt{x}}{2\left(\sqrt{x}-3\right)\left(x-2\sqrt{x}+3\right)}$

a) Rút gọn P

b) Tìm giá trị lớn nhất của P

Bài 9: Cho biểu thức $M=\frac{x+\sqrt{x}+4}{\sqrt{x}-2}$ và $N=\frac{3x-\sqrt{x}-2}{x-2\sqrt{x}}-\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{x}-1}{2-\sqrt{x}}$ với x > 0 và x ≠ 4