Cách giải hệ phương trình Toán lớp 9 luyện thi vào lớp 10

37 Đánh giá

Giải hệ phương trình

A. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
B. Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số
- 1. Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số
- 2. Bài tập ví dụ
C. Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế
- 1. Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp thế
- 2. Ví dụ
D. Giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ
E. Giải hệ phương trình bằng máy tính cầm tay
F. Giải hệ phương trình bằng định thức
- Định thức
G. Giải hệ phương trình đối xứng
- 1. Hệ phương trình đối xứng loại 1
- 2. Hệ phương trình đối xứng loại 2
H. Giải hệ phương trình đẳng cấp

Giải hệ phương trình bậc nhất một ẩn là một dạng toán thường gặp trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán. Tài liệu được GiaiToan.com biên soạn và giới thiệu, giúp các bạn học sinh học tốt môn Toán lớp 9 hiệu quả hơn. Mời các bạn tham khảo.

A. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng tổng quát là: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1}x + {b_1}y = {c_1}} \\ {{a_2}x + {b_2}y = {c_2}} \end{array}} \right.$ (I)

Trong đó x, y là hai ẩn, các chữ số còn lại là hệ số.

Nếu cặp số (x₀; y₀) đồng thời là nghiệm của cả hai phương trình của hệ thì (x₀; y₀) được gọi là nghiệm của hệ phương trình (I)

Giải hệ phương trình (I) ta tìm được tập nghiệm của nó.

B. Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số

Biến đổi hệ phương trình đã cho thành hệ phương trình tương đương.

1. Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số

Bước 1: Chọn ẩn muốn khử, thường là x (hoặc y)

Bước 2: Xét xem hệ số của ẩn muốn khử.

- Khi các hệ số của cùng một ẩn đối nhau thì ra cộng vế theo vế của hệ.

- Khi các hệ số của cùng một ẩn số bằng nhau thì ta trừ vế theo vế của hệ.

- Nếu các hệ số đó không bằng nhau thì ta nhân cả hai vế của phương trình với số thích hợp (nếu cần) sao cho các hệ số của x (hoặc y) trong hai phương trình của hệ là bằng nhau hoặc đối nhau (đồng nhất hệ số).

Bước 3: Cộng hoặc trừ từng vế hai phương trình của hệ đã cho để được một phương trình mới (phương trình một ẩn)

Bước 4: Dùng phương trình một ẩn thay thế cho một trong hai phương trình của hệ (và giữ nguyên phương trình kia)

Bước 5: Giải phương trình một ẩn vừa thu được rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho.

2. Bài tập ví dụ

Ví dụ 1: Giải hệ phương trình: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2x - 3y = 1} \\ {x + 4y = 6} \end{array}} \right.\left( * \right)$

Hướng dẫn giải

Nhân cả hai vế của phương trình x + 4y = 6 với 2 ta được 2x + 8y = 12

Hệ phương trình trở thành $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2x - 3y = 1} \\ {2x + 8y = 12} \end{array}} \right.$

Lấy hai vế phương trình thứ hai trừ hai vế phương trình thứ nhất ta được

2x + 8y – (2x – 3y) = 12 – 1

=> 2x + 8y – 2x + 3y = 11

=> 11y = 11

=> y = 1

Thay y = 1 vào phương trình x + 4y = 6 ta được x + 4 = 6, x = 2

Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (2; 1)

* Ta có thể trình bày như sau:

$\begin{matrix} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2x - 3y = 1} \\ {x + 4y = 6} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2x - 3y = 1} \\ {2x + 8y = 12} \end{array}} \right. \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2x - 3y = 1} \\ {\left( {2x + 8y} \right) - \left( {2x - 3y} \right) = 12 - 1} \end{array}} \right. \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2x - 3y = 1} \\ {11y = 11} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2x - 3y = 1} \\ {y = 1} \end{array}} \right. \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 2} \\ {y = 1} \end{array}} \right. \hfill \\ \end{matrix}$

Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (2; 1)

Ví dụ: Biết (m, n) là nghiệm của hệ phương trình $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x + y = 3} \\ {x - y = 1} \end{array}} \right.$ . Tính tổng S = m² + n²

Hướng dẫn giải

Ta có:

$\begin{matrix} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x + y = 3} \\ {x - y = 1} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left( {x + y} \right) - \left( {x - y} \right) = 3 - 1} \\ {x - y = 1} \end{array}} \right. \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2y = 2} \\ {x - y = 1} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {y = 1} \\ {x - y = 1} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {y = 1} \\ {x = 2} \end{array}} \right. \hfill \\ \end{matrix}$

Nghiệm của phương trình là (x; y) = (m; n) = (2; 1)

Do đó, S = m² + n² = 2² + 1² = 5

Vậy S = 5

C. Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

Biến đổi hệ phương trình đã cho thành hệ phương trình tương đương

1. Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

Bước 1: Từ một phương trình của hệ đã cho, ta biểu diễn một ẩn theo ẩn kia.

Bước 2: Thế ẩn đã biến đổi vào phương trình còn lại để được phương trình mới (Phương trình bậc nhất một ẩn)

Bước 3: Giải phương trình một ẩn vừa tìm được.

Bước 4: Thay giá trị vừa tìm được của ẩn vào biểu thức tìm được trong bước thứ nhất để tìm giá trị của ẩn còn lại.

2. Ví dụ

Ví dụ 1: Giải hệ phương trình $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x + y - 3 = 0} \\ {xy - 2x + 2 = 0} \end{array}} \right.$

Hướng dẫn giải

Hệ phương trình $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x + y - 3 = 0} \\ {xy - 2x + 2 = 0} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x + y = 3} \\ {xy - 2x = - 2} \end{array}} \right.$

từ phương trinh trình thứ nhất ta được x = 3 – y

Thay x = 3 – y vào phương trình thứ hai ta được:

(3 – y)y – 2(3 – y) = -2

=> y² - 5y + 4 = 0

=> y = 1 hoặc y = 4

Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (-1; 4) = (2; 1)

* Ta có thể trình bày bài như sau:

$\begin{matrix} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x + y - 3 = 0} \\ {xy - 2x + 2 = 0} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 3 - y} \\ {xy - 2x = - 2} \end{array}} \right. \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 3 - y} \\ {\left( {3 - y} \right)y - 2\left( {3 - y} \right) = - 2} \end{array}} \right. \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 3 - y} \\ {{y^2} - 5y + 4 = 0} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 3 - y} \\ {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {y = 4} \\ {y = 1} \end{array}} \right.} \end{array}} \right. \hfill \\ \end{matrix}$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = 4\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 1\end{array} \right.\end{array} \right.$

Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (-1; 4) = (2; 1)

Ví dụ 2: Cho hệ phương trình $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x - 2y = 5} \\ {mx - y = 4} \end{array}} \right.$

a) Giải hệ phương trình với m = 2

b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) trong đó x, y trái dấu.

c) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) thỏa mãn x = |y|

Hướng dẫn giải

a) Với m = 2 thay vào hệ phương trình ta có:

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x - 2y = 5} \\ {2x - y = 4} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 5 + 2y} \\ {2x - y = 4} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 5 + 2y} \\ {3y = - 6} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 1} \\ {y = - 2} \end{array}} \right.$

b) Từ phương trình (1) ta có: x = 2y + 5

Thay x = 2y + 5 vào phương trình (2) ta được:

m(2y + 5) – y = 4

<=> 2my + 5m - y =4

<=> (2m – 1).y = 4- 5m (3)

<=> $y=\frac{4-5m}{2m-1}$

Hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi (3) có nghiệm duy nhất

=> 2m – 1 ≠ 0 => m ≠ 1/2

Ta có: $x=2y+5=2.\frac{4-5m}{2m-1}+5=\frac{3}{2m-1}$

Để x, y trái dấu <=> xy < 0

<=> $\frac{3\left(4-5m\right)}{\left(2m-1\right)^2}<0$

<=> 4 – 5m < 0 <=> m > 4/5

Vậy m > 4/5 thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) trong đó x, y trái dấu.

c) Ta có: $x = \left| y \right| \Leftrightarrow \frac{3}{{2m - 1}} = \left| {\frac{{4 - 5m}}{{2m - 1}}} \right|$ (4)

từ (4) suy ra 2m – 1 > 0 => m > 1/2

Với điều kiện m > 1/2 ta có:

(4) => |4 – 5m | = 3

=> $\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {4 - 5m = 3} \\ {4 - 5m = - 3} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {m = \dfrac{1}{5}\left( L \right)} \\ {m = \dfrac{7}{5}} \end{array}} \right. \Rightarrow m = \frac{7}{5}$

Vậy m = 7/5 thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) thỏa mãn x = |y|

Ví dụ 3: Cho hệ phương trình: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x + my = m + 1{\text{ }}\left( 1 \right)} \\ {mx + y = 3m - 1{\text{ }}\left( 2 \right)} \end{array}} \right.$

a) Không giải hệ phương trình trên, cho biết với giá trị nào của m thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất?

b) Giải và biện luận hệ phương trình trên theo m.

Hướng dẫn giải

a) Cách 1: Từ phương trình (2) ta có: y = 3m – 1 – 3x

Thay vào phương trình (1) ta được:

x + m(3m – 1 – mx) = m + 1

=> (m² – 1)x = 3m² – 2m – 1 (3)

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi phương trình (3) có nghiệm duy nhất tức là

m² – 1 ≠ 0 => m ≠ ± 1

Cách 2: Hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi $\frac{a}{a'}\ne\frac{b}{b'}$

<=> $\frac{1}{m} \ne \frac{m}{1} \Leftrightarrow {m^2} \ne 1 \Leftrightarrow m \ne \pm 1$

b) Từ phương trình (2) ta có: y = 3m – 1 – mx.

Thay vào phương trình (1) ta được:

x + m(3m – 1 – mx) = m + 1

<=> x + 3m² - m - m²x = m + 1

<=> (m² – 1)x = 3m² – 2m – 1 (3)

Trường hợp 1: m ≠ ± 1 khi đó hệ có nghiệm duy nhất

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \dfrac{{3{m^2} - 2m - 1}}{{{m^2} - 1}} = \dfrac{{3m + 1}}{{m + 1}}} \\ {y = 3m - 1 - m.\dfrac{{3m + 1}}{{m + 1}} = \dfrac{{m - 1}}{{m + 1}}} \end{array}} \right.$

Trường hợp 2: m = 1 khi đó phương trình (3) trở thành: 0 . x = 0

Vậy hệ có vô số nghiệm với mọi x thuộc R

Trường hợp 3: Với m = -1 khi đó phương trình (3) trở thành: 0 . x = 4

=> Hệ phương trình vô nghiệm

D. Giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ

Ví dụ: Giải hệ phương trình sau đây bằng phương pháp đặt ẩn phụ:

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{{ - 5}}{{x - 1}} + \dfrac{1}{{y - 1}} = 10} \\ {\dfrac{1}{{x - 1}} + \dfrac{3}{{y - 1}} = 18} \end{array}} \right.$

Hướng dẫn giải

Điều kiện xác định của phương trình: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x - 1 \ne 0} \\ {y - 1 \ne 0} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x \ne 1} \\ {y \ne 1} \end{array}} \right.$

Đặt $\frac{1}{{x - 1}} = u;\frac{1}{{y - 1}} = v$

Hệ phương trình trở thành: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 5u + v = 10} \\ {u + 3v = 18} \end{array}} \right.$

Cách 1: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế:

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 5u + v = 10} \\ {u + 3v = 18} \end{array}} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{v = 5u + 10}\\{u + 3v = 18}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{v = 5u + 10}\\{u + 3(5u + 10) = 18}\end{array}} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{v = 5u + 10}\\{16u = - 12}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{v = 5u + 10}\\{u = - \frac{3}{4}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u = - \frac{3}{4}\\v = \frac{{25}}{4}\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{{x - 1}} = - \frac{3}{4}\\\frac{1}{{y - 1}} = \frac{{25}}{4}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{ - 1}}{3}\\y = \frac{{29}}{{25}}\end{array} \right.$

Vậy phương trình có nghiệm $\left(x;y\right)=\left(\frac{-1}{3};\frac{29}{25}\right)$

Cách 2: Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số:

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 5u + v = 10} \\ {u + 3v = 18} \end{array}} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 15u + 3v = 30}\\{u + 3v = 18}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{16u = - 12}\\{u + 3v = 18}\end{array}} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{u = - \frac{3}{4}}\\{u + 3v = 18}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{u = - \frac{3}{4}}\\{v = \frac{{25}}{4}}\end{array}} \right.$

Ta thay u, v vào hệ phương trình ban đầu ta được:

Vậy hệ phương trình có nghiệm $\left(x;y\right)=\left(\frac{-1}{3};\frac{29}{25}\right)$

E. Giải hệ phương trình bằng máy tính cầm tay

Bước 1: Nhấn MODE, chọn mục EQN chọn số tương ứng với mục: anX + bnY = cn

Bước 2: Nếu hệ phương trình theo đúng thứ tự: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1}x + {b_1}y = {c_1}{\text{ }}\left( 1 \right)} \\ {{a_2}x + {b_2}y = {c_2}{\text{ }}\left( 2 \right)} \end{array}} \right.$

Bước 3: Ta nhập số liệu tương ứng:

Hàng thứ nhất: a1 = ; b1 = ; c1 =

Hàng thứ hai: a2 = ; b2 = ; c2 =

Bước 4: Nhấn =; = ta sẽ có kết quả nghiệm của hệ phương trình.

F. Giải hệ phương trình bằng định thức

Hệ phương trình: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1}x + {b_1}y = {c_1}} \\ {{a_2}x + {b_2}y = {c_2}} \end{array}} \right.$

Định thức

$D = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1}}&{{b_1}} \\ {{a_2}}&{{b_2}} \end{array}} \right|;{D_x} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{c_1}}&{{b_1}} \\ {{c_2}}&{{b_2}} \end{array}} \right|;{D_y} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1}}&{{c_1}} \\ {{a_2}}&{{c_2}} \end{array}} \right|$

Xét định thức		Kết quả
D ≠ 0		Hệ có nghiệm duy nhất $\left( {x = \frac{{{D_x}}}{D};y = \frac{{{D_y}}}{D}} \right)$
D = 0	D_x ≠ 0 hay D_y ≠ 0	Hệ vô nghiệm
	D_x = D_y = 0	Hệ vô số nghiệm

G. Giải hệ phương trình đối xứng

1. Hệ phương trình đối xứng loại 1

a) Định nghĩa: Một hệ phương trình ẩn x, y được gọi là hệ phương trình đối xứng loại 1 nếu mỗi phương trình ta đổi vai trò của x, y cho nhau thì phương trình đó không đổi.

b) Tính chất: Nếu (x₀; y₀) là một nghiệm của hệ phương trình thì (y₀; x₀) cũng là nghiệm của phương trình.

c) Cách giải hệ phương trình đối xứng loại 1

Đặt $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {S = x + y} \\ {P = xy} \end{array}} \right.;\left( {{S^2} \geqslant 4P} \right)$ ta quy hệ phương trình vế 2 ẩn S, P

Chú ý: Trong một số hệ phương trình đôi khi tính đối xứng chỉ thể hiện trong một phương trình. Ta cần dựa vào phương trình đó để tìm quan hệ S, P từ đó suy ra quan hệ x, y.

Ví dụ: Giải hệ phương trình sau: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x + y + 2xy = 2} \\ {{x^3} + {y^3} = 8} \end{array}} \right.$

Hướng dẫn giải

Đặt $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {S = x + y} \\ {P = xy} \end{array}} \right.;\left( {{S^2} \geqslant 4P} \right)$ hệ phương trình đã cho trở thành

$\begin{matrix} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {S + 2P = 2} \\ {S\left( {{S^2} - 3P} \right) = 8} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {P = \dfrac{{2 - S}}{2}} \\ {S\left( {{S^2} - \dfrac{{6 - 3S}}{2}} \right) = 8} \end{array}} \right. \hfill \\ \Rightarrow 2{S^3} + 3{S^2} - 6S - 16 = 0 \hfill \\ \Rightarrow \left( {S - 2} \right)\left( {2{S^2} + 7S + 8} \right) = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow S = 2 \Rightarrow P = 0 \hfill \\ \end{matrix}$

=> x, y là hai nghiệm của phương trình

${X^2} - 2X = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {X = 0} \\ {X = 2} \end{array}} \right.$

Vậy hệ phương trình có tập nghiệm (x; y) = (0; 2) = (2; 0)

Ví dụ: Giải hệ phương trình sau: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x + y - \sqrt {xy} = 3} \\ {\sqrt {x + 1} + \sqrt {y + 1} = 4} \end{array}} \right.$

Hướng dẫn giải

Điều kiện $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {xy \geqslant 0} \\ {x,y \geqslant - 1} \end{array}} \right.$

Đặt $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {S = x + y} \\ {P = \sqrt{xy} } \end{array}} \right.;\left( {{S^2} \geqslant 4P, S\geqslant-2,P\geqslant0} \right)$ hệ phương trình đã cho trở thành:

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {S - P = 3} \\ {S + 2 + 2\sqrt {S + P^{2} + 1} = 16} \end{array}} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {S=P+3} \\ {P+3 + 2 + 2\sqrt {P+3 + P^{2} + 1} = 16} \end{array}} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {S=P+3} \\ { 2\sqrt { P^{2}+P+4} = 11-P} \end{array}} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {S=P+3} \\ { 3P^{2}+26P-105= 0} \end{array}} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} P=3 \\ S=6 \end{array}} \right. \Leftrightarrow x=y=3$ (tmđk)

Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (3; 3).

Xem chi tiết tại: Các phương pháp giải hệ phương trình đối xứng loại 1

Ví dụ: Tìm tập nghiệm của hệ phương trình: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2\left( {x + y} \right) = 3\left( {\sqrt[3]{{{x^2}y}} + \sqrt[3]{{x{y^2}}}} \right)} \\ {\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y} = 6} \end{array}} \right.$

Hướng dẫn giải

Đặt $a = \sqrt[3]{x};b = \sqrt[3]{y}$ hệ đã cho trở thành $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2\left( {{a^3} + {b^3}} \right) = 3\left( {{a^2}b + {b^2}a} \right)} \\ {a + b = 6} \end{array}} \right.$

Đặt $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {S = x + y} \\ {P = xy} \end{array}} \right.;\left( {{S^2} \geqslant 4P} \right)$ hệ phương trình đã cho trở thành:

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2\left( {{S^3} - 3SP} \right) = 3SP} \\ {S = 6} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2\left( {36 - 3P} \right) = 3P} \\ {S = 6} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {P = 8} \\ {S = 6} \end{array}} \right.$

Suy ra a, b là hai nghiệm của phương trình

${M^2} - 6M + 8 = 0 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{M_1} = 2} \\ {{M_2} = 4} \end{array} \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a = 2 \Rightarrow x = 8} \\ {b = 4 \Rightarrow y = 64} \end{array}} \right.} \\ {\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a = 4 \Rightarrow x = 64} \\ {b = 2 \Rightarrow y = 8} \end{array}} \right.} \end{array}} \right.} \right.$

Vậy hệ phương trình đã cho có hai cặp nghiệm (x; y) = (8; 64) = (64; 8)

2. Hệ phương trình đối xứng loại 2

a) Định nghĩa: Một hệ phương trình ẩn x, y được gọi là hệ phương trình đối xứng loại 2 nếu mỗi phương trình ta đổi vai trò của x, y cho nhau thì phương trình này trở thành phương trình kia.

b) Tính chất: Nếu (x₀; y₀) là một nghiệm của hệ phương trình thì (y₀; x₀) cũng là nghiệm của phương trình.

c) Cách giải hệ phương trình đối xứng loại 2

Trừ vế với vế hai phương trình của hệ ta được một phương trình có dạng

$\left( {x - y} \right)\left[ {f\left( {x;y} \right)} \right] = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x - y = 0} \\ {f\left( {x;y} \right) = 0} \end{array}} \right.$

Xem chi tiết tại: Các phương pháp giải hệ phương trình đối xứng loại 2

Ví dụ: Giải hệ phương trình sau: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x^3} + 3x + \sqrt {2x + 1} = y + 1} \\ {{y^3} + 3y + \sqrt {2y + 1} = x + 1} \end{array}} \right.$

Hướng dẫn giải

Điều kiện $x \geqslant - \frac{1}{2};y \geqslant - \frac{1}{2}$

Ta kiểm tra được $x = y = - \frac{1}{2}$ không là nghiệm của hệ phương trình đã cho

Xét trường hợp x + y ≠ - 1. Trừ hai phương trình của hệ cho nhau ta được:

$\begin{matrix} {x^3} + 3x - 1 + \sqrt {2x + 1} - \left( {{y^3} + 3y - 1 + \sqrt {2y - 1} } \right) = y - x \hfill \\ \Leftrightarrow \left( {x - y} \right)\left[ {{x^2} + xy + {y^2}} \right] + 4\left( {x - y} \right) + \dfrac{{2\left( {x - y} \right)}}{{\sqrt {2x + 1} + \sqrt {2y + 1} }} = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \left( {x - y} \right)\left[ {{x^2} + xy + {y^2} + 4 + \dfrac{2}{{\sqrt {2x + 1} + \sqrt {2y + 1} }}} \right] = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow x = y \hfill \\ \end{matrix}$

Khi x = y xét phương trình

$\begin{matrix} {x^3} + 2x - 1 + \sqrt {2x + 1} = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow x\left( {{x^2} + 1} \right) + \dfrac{{2x}}{{\sqrt {2x + 1} + 1}} = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow x\left[ {{x^2} + 1 + \dfrac{2}{{\sqrt {2x + 1} + 1}}} \right] = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow x = 0 \hfill \\ \end{matrix}$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) = (0; 0)

H. Giải hệ phương trình đẳng cấp

Cách giải hệ phương trình đẳng cấp

Phương pháp chung để giải hệ phương trình đẳng cấp là: Từ các phương trình của hệ ta nhân hoặc chia cho nhau để tạo ra phương trình đẳng cấp bậc n:

a₁x^m + a_kx^{n - k}y^k + ... + a_nyⁿ = 0

Từ đó ta xét hai trường hợp:

y = 0 thay vào để tìm x

y khác 0 ta đặt x = ty thì thu được phương trình ${a_1}{t^n} + {a_k}{t^{n - k}} + .... + {a_n} = 0$

Giải phương trình tìm t sau đó thế vào hệ ban đầu để tìm x, y.

Xem chi tiết tại: Các phương pháp giải hệ phương trình đẳng cấp

Ví dụ : Giải hệ phương trình sau: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x^2} + xy + x + 3 = 0} \\ {{{\left( {x + 1} \right)}^2} + 3\left( {y + 1} \right) + 2\left( {xy - \sqrt {{x^2}y + 2y} } \right) = 0} \end{array}} \right.$

Hướng dẫn giải

Điều kiện: x²y + 2y ≥ 0, suy ra y ≥ 0

Từ phương trình thứ nhất ta có:

xy = - x² - x - 3

Thay vào phương trình thứ hai ta được:

$\begin{matrix} {\left( {x + 1} \right)^2} + 3\left( {y + 1} \right) - 2{x^2} - 2x - 6 - 2\sqrt {y\left( {{x^2} + 2} \right)} = 0 \hfill \\ \Rightarrow {x^2} + 2 - 3y + 2\sqrt {y\left( {{x^2} + 2} \right)} = 0 \hfill \\ \end{matrix}$

Đây là phương trình đẳng cấp đối với $\sqrt y ;\sqrt {{x^2} + 2}$

Đặt $\sqrt y = t\sqrt {{x^2} + 2}$ phương trình trở thành $3{t^2} - 2t - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {t = 1\left( {tm} \right)} \\ {t = - \dfrac{1}{3}\left( L \right)} \end{array}} \right.$