Tìm giá trị x để A nhận giá trị nguyên Luyện thi vào lớp 10

63 Đánh giá

Tìm giá trị của x để biểu thức nhận giá trị nguyên

1. Cách tìm giá trị x để biểu thức nhận giá trị nguyên
2. Ví dụ tìm x nguyên để biểu thức đạt giá trị nguyên
3. Bài tập vận dụng tìm giá trị của x để biểu thức có giá trị nguyên

Tìm giá trị của x để biểu thức A nhận giá trị nguyên là một dạng toán khó thường gặp trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán. Tài liệu được GiaiToan.com biên soạn và giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô tham khảo. Nội dung tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh học tốt môn Toán lớp 9 hiệu quả hơn. Mời các bạn tham khảo.

1. Cách tìm giá trị x để biểu thức nhận giá trị nguyên

Phương pháp 1: Đưa biểu thức về dạng phân thức mà chứa tử thức là số nguyên, tìm giá trị của biến để mẫu thức là ước của tử thức.

Bước 1: Biến đổi biểu thức về dạng $A = f\left( x \right) + \frac{k}{{g\left( x \right)}}$ trong đó f(x) là một biểu thức nguyên khi x nguyên và k có giá trị là số nguyên.

Bước 2: Áp dụng điều kiện cùng với các bất đẳng thức đã được, chứng minh m < A < M trong đó m, M là các số nguyên.

Bước 3: Trong khoảng từ m đến M, tìm các giá trị nguyên.

Bước 4: Với mỗi giá trị nguyên ấy, tìm giá trị của biến x

Bước 5: Kết hợp với điều kiện đề bài, loại bỏ những giá trị không phù hợp rồi kết luận.

Phương pháp 2: Đánh giá khoảng giá trị của biểu thức, từ khoảng giá trị đó ra có các giá trị nguyên mà biểu thức có thể đạt được.

Bước 1: Đặt điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa.

Bước 2: Rút gọn biểu thức A.

Bước 3: Đánh giá khoảng giá trị mà biểu thức A có thể đạt được, từ khoảng giá trị đó ta có các giá trị nguyên mà biểu thức A có thể đạt được.

Bước 4: Giải phương trình vế trái là biểu thức A đã rút gọn, vế phải là các giá trị nguyên nằm trong miền giá trị của A, đối chiếu điều kiện và kết luận.

Phương pháp 3: Đặt biểu thức bằng một tham số nguyên, tìm khoảng giá trị của tham số, từ khoảng giá trị đó ta xét các giá trị nguyên của tham số, giải ra tìm ẩn.

Bước 1: Đặt điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa

Bước 2: Rút gọn biểu thức A

Bước 3: Đánh giá khoảng giá trị mà biểu thức A có thể đạt được, từ khoảng giá trị đó ta có các giá trị nguyên mà biểu thức A có thể đạt được

2. Ví dụ tìm x nguyên để biểu thức đạt giá trị nguyên

Ví dụ 1: Tìm giá trị của x để các biểu thức sau nhận giá trị nguyên:

a. $B = \frac{{2\sqrt x + 7}}{{\sqrt x + 1}}$

b. $C = \frac{{2\sqrt x }}{{x + \sqrt x + 1}}$

Hướng dẫn giải

a) Điều kiện xác định: x ≥ 0

Ta có:

$\begin{matrix} B = \dfrac{{2\sqrt x + 2 + 5}}{{\sqrt x + 1}} = \dfrac{{2\left( {\sqrt x + 1} \right) + 5}}{{\sqrt x + 1}} = 2 + \dfrac{5}{{\sqrt x + 1}} \hfill \\ \Rightarrow B \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow \dfrac{5}{{\sqrt x + 1}} \in \mathbb{Z} \hfill \\ \end{matrix}$

Với $\sqrt x \geqslant 0 \Rightarrow \sqrt x + 1 \geqslant 1$

$\begin{matrix} \Rightarrow 0 < \dfrac{5}{{\sqrt x + 1}} \leqslant 5 \hfill \\ \Rightarrow \dfrac{5}{{\sqrt x + 1}} \in \left\{ {1;2;3;4;5} \right\} \hfill \\ \end{matrix}$

Ta có bảng giá trị sau:

$\frac{5}{{\sqrt x + 1}}$	1	2	3	4	5
x	16	2,25	$\frac{4}{9}$	$\frac{1}{{16}}$	0

Kết luận: $x \in \left\{ {16;\frac{9}{4};\frac{4}{9};\frac{1}{{16}};0} \right\}$ thì A nhận giá trị nguyên.

b) Điều kiện xác định: x ≥ 0

$x \geqslant 0 \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2\sqrt x \geqslant 0} \\ {x + \sqrt x + 1 \geqslant 0} \end{array} \Rightarrow \frac{{2\sqrt x }}{{x + \sqrt x + 1}} \geqslant 0} \right.\left( * \right)$

Ta có: $x \geqslant 0 \Rightarrow \dfrac{{2\sqrt x }}{{x + \sqrt x + 1}} = \dfrac{{\dfrac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x }}}}{{\dfrac{x}{{\sqrt x }} + \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x }} + \dfrac{1}{{\sqrt x }}}} = \dfrac{2}{{\sqrt x + 1 + \dfrac{1}{{\sqrt x }}}}$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

$\begin{matrix} \sqrt x + \dfrac{1}{{\sqrt x }} \geqslant 2 \Rightarrow \sqrt x + \dfrac{1}{{\sqrt x }} + 1 \geqslant 2 + 1 = 3 \hfill \\ \Rightarrow \dfrac{2}{{\sqrt x + 1 + \dfrac{1}{{\sqrt x }}}} \leqslant \dfrac{2}{3}\left( {**} \right) \hfill \\ \end{matrix}$

Từ (*) và (**) $\Rightarrow 0 \leqslant \frac{2}{{\sqrt x + 1 + \dfrac{1}{{\sqrt x }}}} \leqslant \frac{2}{3}$

Mà C nhận giá trị nguyên $\Rightarrow C = 0 \Rightarrow \frac{{2\sqrt x }}{{x + \sqrt x + 1}} = 0 \Leftrightarrow x = 0$

Vậy với x = 0 thì C nhận giá trị nguyên

Ví dụ 2: Cho biểu thức: $A = \frac{{\sqrt a }}{{\sqrt a - 3}} - \frac{3}{{\sqrt a + 3}} - \frac{{a - 2}}{{a - 9}}$ với a ≥ 0 và a ≠ 9.

a) Rút gọn biểu thức A.

b) Tìm giá trị các số nguyên a để biểu thức A đạt giá trị nguyên.

Hướng dẫn giải

a) Với a ≥ 0 và a ≠ 9 ta có:

$\begin{matrix} A = \dfrac{{\sqrt a }}{{\sqrt a - 3}} - \dfrac{3}{{\sqrt a + 3}} - \dfrac{{a - 2}}{{a - 9}} \hfill \\ A = \dfrac{{\sqrt a \left( {\sqrt a + 3} \right)}}{{a - 9}} - \dfrac{{3\left( {\sqrt a - 3} \right)}}{{a - 9}} - \dfrac{{a - 2}}{{a - 9}} \hfill \\ A = \dfrac{{11}}{{a - 9}} \hfill \\ \end{matrix}$

b) Ta có: $A = \dfrac{{11}}{{a - 9}} \in \mathbb{Z}$ khi và chỉ khi 11 chia hết cho a - 9 (hay a - 9 là ước của 11).

Ta có: Ư(11) = {-11; -1; 1; 11}

Ta có bảng số liệu như sau:

a - 9	-11	-1	1	11
a	-2 (L)	8	10	20

Quan sát bảng số liệu trên suy ra a ∈ {8; 10; 20}

Vậy biểu thức A đạt giá trị nguyên khi và chỉ khi a ∈ {8; 10; 20}.

Ví dụ 3: Cho biểu thức $A = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}} + \frac{{2\sqrt x - 24}}{{x - 9}};B = \frac{7}{{\sqrt x - 8}}$ với x ≥ 0 và x ≠ 9

a) Rút gọn biểu thức A.

b) Tìm các số nguyên x để M = A . B đạt giá trị nguyên.

Hướng dẫn giải

a) Rút gọn biểu thức ta được kết quả: $A = \frac{{\sqrt x + 8}}{{\sqrt x + 3}}$

b) Ta có:

$M = A.B = \frac{{\sqrt x + 8}}{{\sqrt x + 3}}.\frac{7}{{\sqrt x + 8}} = \frac{7}{{\sqrt x + 3}} \Rightarrow 0 < M \leqslant \frac{7}{3}$

Vậy các giá trị nguyên của M có thể đạt được là 1 và 2

Với M = 1 ta có:

$\frac{7}{{\sqrt x + 3}} = 1 \Rightarrow \sqrt x + 3 = 7 \Rightarrow x = 16\left( {tm} \right)$

Với M = 2 ta có:

$\frac{7}{{\sqrt x + 3}} = 2 \Rightarrow \sqrt x + 3 = \frac{7}{2} \Rightarrow x = \frac{1}{4}\left( {tm} \right)$

Vậy biểu thức M = A . B nhận giá trị nguyên khi và chỉ khi x = 16 hoặc x = 1/4.

Ví dụ 4: Cho biểu thức: $A = \frac{{x - 2\sqrt x }}{{x\sqrt x - 1}} + \frac{{\sqrt x + 1}}{{x\sqrt x + x + \sqrt x }} + \frac{{1 + 2x - 2\sqrt x }}{{{x^2} - \sqrt x }}$ (điều kiện x > 0, x ≠ 1)

a) Rút gọn biểu thức A.

b) Tìm giá trị của x để A nhận giá trị là số nguyên.

Hướng dẫn giải

a) Học sinh thực hiện rút gọn biểu thức, ta có kết quả: $A = \frac{{\sqrt x + 2}}{{x + \sqrt x + 1}}$

b) Học sinh tham khảo một trong các cách làm dưới đây:

Cách 1: Với x > 0, x ≠ 1 ta có: $x + \sqrt x + 1 > \sqrt x + 1 > 1$

Vậy 0 < A $= \frac{{\sqrt x + 2}}{{x + \sqrt x + 1}} < \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x + 1}} = 1 + \frac{1}{{\sqrt x + 1}} < 2$

Vì A nguyên nên A = 1 $\Leftrightarrow \frac{{\sqrt x + 2}}{{x + \sqrt x + 1}} = 1$ => x = 1 (Không thỏa mãn)

Vậy không có giá trị nguyên nào của x để giá trị A là một số nguyên.

Cách 2: Dùng miền giá trị

$A = \frac{{\sqrt x + 2}}{{x + \sqrt x + 1}} \Leftrightarrow Ax + \left( {A - 1} \right)\sqrt x + A - 2 = 0$

Trường hợp 1: Nếu A = 0 $\sqrt x = - 2 \Rightarrow x \in \emptyset$

Trường hợp 2: Nếu A khác 0

$\begin{matrix} \Rightarrow \Delta = {\left( {A - 1} \right)^2} - 4A\left( {A - 2} \right) = - 3{A^2} + 6A + 1 \geqslant 0 \hfill \\ \Leftrightarrow {A^2} - 2A - \dfrac{1}{3} \leqslant 0 \Leftrightarrow {A^2} - 2A + 1 \leqslant \dfrac{4}{3} \Leftrightarrow {\left( {A - 1} \right)^2} \leqslant \dfrac{4}{3} \hfill \\ \Rightarrow A \in \left\{ {1;2} \right\} \hfill \\ A \in \mathbb{Z},A > 0 \hfill \\ \end{matrix}$

Với A = 1 => x = 1 (Loại)

Với A = 2 $\Rightarrow \frac{{\sqrt x + 2}}{{x + \sqrt x + 1}} = 2$ => x = 0 (Loại)

Vậy không có giá trị nguyên nào của x để giá trị A là một số nguyên.

Ví dụ: Cho biểu thức $M = \frac{{a + 1}}{{\sqrt a }} + \frac{{a\sqrt a - 1}}{{a - \sqrt a }} + \frac{{{a^2} - a\sqrt a + \sqrt a - 1}}{{\sqrt a - a\sqrt a }}$ với a > 0, a ≠ 0

a) Chứng minh rằng M > 4

b) Với những giá trị của a thì biểu thức $N = \frac{6}{M}$ nhận giá trị nguyên?

Hướng dẫn giải

a) Do a > 0, a ≠ 0 nên $\frac{{a\sqrt a - 1}}{{a - \sqrt a }} = \frac{{\left( {\sqrt a - 1} \right)\left( {a + \sqrt a + 1} \right)}}{{\sqrt a \left( {\sqrt a - 1} \right)}} = \frac{{a + \sqrt a + 1}}{{\sqrt a }}$

Và

$\begin{matrix} \dfrac{{{a^2} - a\sqrt a + \sqrt a - 1}}{{\sqrt a - a\sqrt a }} \hfill \\ = \dfrac{{\left( {a + 1} \right)\left( {a - 1} \right) - \sqrt a \left( {a - 1} \right)}}{{\sqrt a \left( {1 - a} \right)}} \hfill \\ = \frac{{\left( {a - 1} \right)\left( {a - \sqrt a + 1} \right)}}{{\sqrt a \left( {1 - a} \right)}} = \dfrac{{ - a + \sqrt a + 1}}{{\sqrt a }} \hfill \\ \Rightarrow M = \dfrac{{a + 1}}{{\sqrt a }} + 2 \hfill \\ \end{matrix}$

Do a > 0, a ≠ 0 nên ${\left( {\sqrt a - 1} \right)^2} > 0 \Rightarrow a + 1 > 2\sqrt a$

=> $M > \frac{{2\sqrt a }}{{\sqrt a }} + 2 = 4$

b) Ta có: $0 < N = \frac{6}{M} < \frac{3}{2}$ do đó N chỉ có thể nhận được một giá trị nguyên là 1

mà N = a => $\frac{{6\sqrt a }}{{a + 1 + 2\sqrt a }} = 1$

$\begin{matrix} \Rightarrow a - 4\sqrt a + 1 = 0 \Rightarrow {\left( {\sqrt a - 2} \right)^2} = 3 \hfill \\ \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\sqrt a = 2 + \sqrt 3 } \\ {\sqrt a = 2 - \sqrt 3 } \end{array}} \right.\left( {tm} \right) \hfill \\ \end{matrix}$

Vậy N nguyên khi và chỉ khi $a = {\left( {2 \pm \sqrt 3 } \right)^2}$

Ví dụ 5: Cho biểu thức $A = \left( {\frac{{x - 4}}{{\sqrt x - 2}} + \frac{{x\sqrt x - 8}}{{4 - x}}} \right):\left[ {\frac{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2} + 2\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}}} \right]$ với x ≥ 0, x ≠ 4

a) Rút gọn A

b) Chứng minh rằng A < 1 với mọi x ≥ 0, x ≠ 4

c) Tìm x để A là số nguyên.

Hướng dẫn giải

a) $A = \left( {\frac{{x - 4}}{{\sqrt x - 2}} + \frac{{x\sqrt x - 8}}{{4 - x}}} \right):\left[ {\frac{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2} + 2\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}}} \right]$

$\begin{matrix} = \left[ {\dfrac{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\sqrt x - 2}} - \dfrac{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {x + 2\sqrt x + 4} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}} \right].\dfrac{{\sqrt x + 2}}{{x - 2\sqrt x + 4}} \hfill \\ = \left[ {\sqrt x + 2 - \dfrac{{x + 2\sqrt x + 4}}{{\sqrt x + 2}}} \right].\dfrac{{\sqrt x + 2}}{{x - 2\sqrt x + 4}} \hfill \\ = \dfrac{{2\sqrt x }}{{x - 2\sqrt x + 4}} \hfill \\ \end{matrix}$

b) Xét hiệu $1 - A = 1 - \frac{{2\sqrt x }}{{x - 2\sqrt x + 4}} = \frac{{{{\left( {\sqrt x - 2} \right)}^2}}}{{x - 2\sqrt x + 4}} > 0$

Với mọi x ≥ 0, x ≠ 4 => A < 1 (điều phải chứng minh)

c) Ta có: $x - 2\sqrt x + 4 = {\left( {\sqrt x - 1} \right)^2} + 3 > 0$ với mọi x ≥ 0

=> $A = \frac{{2\sqrt x }}{{x - 2\sqrt x + 4}} \geqslant 0 \Rightarrow 0 \leqslant A < 1 \Rightarrow A = 0 \Rightarrow x = 0$

3. Bài tập vận dụng tìm giá trị của x để biểu thức có giá trị nguyên

Bài 1: Tìm giá trị của x để các biểu thức dưới đây nhận giá trị nguyên:

a. $\frac{7}{{\sqrt x + 3}}$	b. $\frac{{\sqrt x + 13}}{{\sqrt x + 5}}$
c. $\frac{{3\sqrt x + 13}}{{\sqrt x + 3}}$	d. $\frac{7}{{x + \sqrt x + 2}}$
e. $\frac{{2\sqrt x }}{{x + \sqrt x + 1}}$

Bài 2: Cho biểu thức:

$B = \frac{{2\sqrt x + 13}}{{x + 5\sqrt x + 6}} + \frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 2}};A = \frac{{2\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 3}};\left( {x \geqslant 0} \right)$

a.Tính giá trị của biểu thức A khi x = 9

b. Tính biểu thức C = A – B

c. Tìm giá trị của x để C đạt giá trị nguyên

Bài 3: Cho biểu thức:

$A = \left( {\frac{{x + 2}}{{x - \sqrt x - 2}} - \frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}} - \frac{{1 - \sqrt x }}{{\sqrt x - 2}}} \right)\left( {1 - \frac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x - 2}}} \right);\left( {x \geqslant 0;x \ne 4} \right)$

a. Rút gọn biểu thức A.

b. Tìm x để A nhận giá trị nguyên.

Bài 4: Cho hai biểu thức:

$A = \frac{{3\sqrt x - 3}}{{x + \sqrt x }};B = \frac{1}{{\sqrt x - 1}} - \frac{1}{{x\sqrt x - 1}}$

a) Tính A khi x = 25.

b) Rút gọn S = A . B.

c) Tìm x để S nhận giá trị nguyên.

Bài 5: Cho biểu thức: $A = \frac{{{x^2} - \sqrt x }}{{x + \sqrt x + 1}} - \frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x }} + \frac{{2\left( {x + 1} \right)}}{{\sqrt x - 1}}$

a) Rút gọn biểu thức A.

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A.

c) Tìm x để biểu thức $B = \frac{{2\sqrt x }}{A}$ nhận giá trị là số nguyên.

Bài 6: Cho biểu thức:

$B = \left( {\frac{{2x + 1}}{{x\sqrt x - 1}} - \frac{{\sqrt x }}{{x + \sqrt x + 1}}} \right)\left( {\frac{{1 + x\sqrt x }}{{1 + \sqrt x }} - \sqrt x } \right) + \frac{{2 - 2\sqrt x }}{{\sqrt x }};\left( {x > 0,x \ne 1} \right)$

1. Rút gọn biểu thức B

2. Tìm x để:

a) B = 0

b) $B+ \frac{{3\sqrt x - 4}}{{\sqrt x }} \leqslant 0$

3. Tìm x để B nhận giá trị nguyên.

Bài 7: Cho biểu thức $A=\left(\frac{x\sqrt{x}-1}{x-\sqrt{x}}-\frac{x\sqrt{x}+1}{x+\sqrt{x}}\right):\frac{x-2\sqrt{x}+1}{x-1}$

a) Rút gọn biểu thức A.

b) Tìm x để |A| > 0

Bài 8: Cho hai biểu thức $A=\frac{7}{\sqrt{x}+8}$ và $B=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}+\frac{2\sqrt{x}-24}{x-9}$ với $x\ge0,\ x\ne9$

a) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 25.

b) Chứng minh $B=\ \frac{\sqrt{x}+8}{\sqrt{x}+3}$

c) Tìm x để biểu thức P = A . B có giá trị là số nguyên.

Bài 9: Cho biểu thức $A=\frac{x-2\sqrt{x}}{x\sqrt{x}-1}+\frac{\sqrt{x}+1}{x\sqrt{x}+x+\sqrt{x}}+\frac{1+2x-2\sqrt{x}}{x^2-\sqrt{x}}$ (với x > 0, x ≠ 1)

a) Rút gọn biểu thức A.

b) Tìm x để biểu thức A nhận giá trị là số nguyên.

Bài 10: Cho biểu thức $C=\left(\frac{x+2\sqrt{x}}{x+4\sqrt{x}+4}+\frac{2x}{4-x}\right):\left(\frac{\sqrt{x}-1}{x-2\sqrt{x}}-\frac{2\sqrt{x}+2}{x+\sqrt{x}}\right)$ với x > 0, x ≠ 4, x ≠ 9.