Cách chứng minh tam giác vuông Tam giác vuông Toán 9

Bài tập về tam giác vuông lớp 9 là tài liệu ôn tập với các bài tập Toán lớp 9, giúp các em học sinh luyện tập các dạng Toán 9 đạt kết quả tốt nhất, góp phần củng cố thêm kiến thức của các em.

A. Tam giác vuông là gì?

- Tam giác vuông là tam giác có một góc bằng 90⁰

Ví dụ: Cho tam giác ABC vuông tại B, ta có hình vẽ minh họa như sau:

B. Tính chất của tam giác vuông

Tính chất 1: Trong tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau.

Định lý Pitago

Trong tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông.

Định lý Pitago đảo

Nếu một tam giác có bình phương của một cạnh bằng tổng các bình phương của hai cạnh còn lại thì tam giác đó là tam giác vuông.

Tính chất 3: Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền.

C. Các cách chứng minh tam giác vuông

Cách 1: Chứng minh tam giác đó có 2 góc nhọn phụ nhau. (tức tổng hai góc nhọn phụ nhau bằng 90⁰)

Ví dụ: Tam giác ABC có Góc A + B = 90°

=> Tam giác ABC vuông tại C

Cách 2: Chứng minh tam giác đó có bình phương độ dài 1 cạnh bằng tổng bình phương độ dài 2 cạnh còn lại của tam giác. (Sử dụng định lý Py - ta - go đảo)

Ví dụ: Tam giác ABC có AC² + CB² = AB²

=> Tam giác ABC vuông tại C

Ví dụ: Bộ số nguyên nào dưới đây là độ dài ba cạnh của một tam giác vuông?

Hướng dẫn giải

7² = 49 ≠ 34 = 3² + 5² => (3; 5; 7) không là độ dài ba cạnh của một tam giác vuông.

8² = 64 ≠ 52 = 4² + 6² => (4; 6; 8) không là độ dài ba cạnh của một tam giác vuông.

15² = 225 ≠ 208 = 12² + 8² => (8; 12; 15) không là độ dài ba cạnh của một tam giác vuông.

Ta có 20² = 400, 12² + 16² = 400 => 20² = 12² + 16²

Vậy bộ ba số (12; 16; 18) là độ dài ba cạnh của một tam giác vuông.

Cách 3: Chứng minh tam giác đó có đường trung tuyến ứng với 1 cạnh bằng nửa cạnh ấy.

Ví dụ: Tam giác OAB có M là trung điểm AB, biết MO = MA = MB = ½ AB

=> Tam giác OAB vuông tại O

Cách 4: Chứng minh tam giác đó nội tiếp đường tròn và có 1 cạnh là đường kính.

Ví dụ: Tam giác OAB nội tiếp đường tròn đường kính AB

=> Tam giác OAB vuông tại O

D. Các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông

Trường hợp 1: Nếu hai cạnh của tam giác vuông này lần lượt bằng hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau. (Trường hợp Cạnh - Góc - Cạnh)

Trường hợp 2: Nếu một cạnh góc vuông và một góc kề cạnh ấy của tam giác vuông này bằng một cạnh góc vuông và một góc nhọn kề cạnh ấy của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau. (Trường hợp Góc - Cạnh - Góc)

Trường hợp 3: Nếu cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau. (Trường hợp Cạnh huyền - Góc nhọn)

Trường hợp 4: Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau. (Trường hợp Cạnh huyền - Cạnh góc vuông)

Ta có sơ đồ như sau:

E. Bài tập chứng minh tam giác vuông

Bài 1: Cho tam giác ABC có AB = 6cm, AC = 8cm, BC = 10cm.

a. Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác vuông tại A.

b. Vẽ phân giác BE của góc B (E thuộc AC), từ E kẻ EP vuông góc với BC (P thuộc BC). Chứng minh EA = EP.

Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 6cm, AC = 8cm. Tính khoảng cách từ trọng tâm G của tam giác ABC đến các đỉnh của tam giác.

Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại A. Biết AB = 6cm, AC = 8cm. Đường thẳng đi qua trung điểm M của BC và vuông góc với BC cắt AC tại N.

a. Tính độ dài cạnh BC

b. Chứng minh góc CBN bằng góc NCB.

c. Trên tia đối của tia NB lấy điểm F sao cho NF = NC. Chứng minh rằng tam giác BEC vuông.

Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A, biết AB = 5cm, BC = 13cm

a. Tính độ dài AC

b. Kẻ AH vuông góc với BC. Tính AH, BH, CH.

c. Gọi M là trung điểm BC. Tính AM

d. Trên tia đối tia MA lấy E sao cho ME = MA. Chứng minh BE = AC và BE // AC

Bài 5: Cho tam giác ABC vuông tại A.
a. Tính AC biết AB = 5cm và BC = 13cm

b. Trên cạnh BC lấy điểm E sao cho BE = BA. Đường thẳng qua E cắt AC tại I sao cho IE vuông góc với BC tại E. So sánh góc ABI và góc CBI

c. Nếu tam giác ABC có góc A = 30^O và EC = 6cm. Tính chu vi của tam giác ABC

----------------------------------------------------

Chuyên đề về tam giác, tam giác vuông, tam giác vuông cân là một nội dung được học trong chương trình Toán 9. Đây cũng là phần kiến thức thường xuất hiện trong các bài thi, bài kiểm tra môn Toán lớp 9 cũng như kì thi tuyển sinh vào lớp 10. Hy vọng tài liệu trên sẽ giúp các em học sinh ghi nhớ lý thuyết về tam giác từ đó vận dụng giải các bài toán về tam giác một cách dễ dàng hơn. Chúc các em học tốt.

Ngoài ra mời quý thầy cô và học sinh tham khảo thêm một số nội dung:

• Luyện tập Toán 9
• Giải bài tập SGK Toán 9
• Đề thi giữa học kì môn Toán 9