Giaitoan.com Toán 9 Lý thuyết Toán 9 Luyện tập Toán 9

Giải phương trình vô tỷ bằng phương pháp nhân liên hợp Luyện tập Toán 9

Nội dung
  • 2 Đánh giá

Giải phương trình vô tỷ bằng phương pháp nhân liên hợp

Bài tập Toán 9: giải phương trình vô tỷ bằng phương pháp nhân liên hợp là một dạng toán khó thường gặp trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán. Tài liệu được GiaiToan.com biên soạn và giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô tham khảo. Nội dung tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh học tốt môn Toán lớp 9 hiệu quả hơn. Mời các bạn tham khảo.

1. Phương pháp chung giải phương trình vô tỷ bằng phương pháp nhân liên hợp

  • Bước 1: Tìm điều kiện xác định ( nếu có) của phương trình
  • Bước 2: Nhận dạng bài toán để sử dụng biểu thức liên hợp thích hợp
  • Bước 3: Thêm bớt các biểu thức hoặc các hằng số để tìm được nhân tử chung của các biểu thức trong phương trình
  • Bước 4: Đặt nhân tử chung
  • Bước 5: Sử dụng các phương pháp biến đổi cơ bản để tìm nghiệm của phương trình
  • Bước 6: Đối chiếu điều kiện, kết luận nghiệm của phương trình

Ta có các biểu thức liên hợp thường dùng:

1. \sqrt A \pm \sqrt B = \dfrac{{A \mp B}}{{\sqrt A \pm \sqrt B }}( với mọi A, B lớn hơn 0 và A \ne B )

2. \sqrt[3]{A} \pm \sqrt[3]{B} = \dfrac{{A \mp B}}{{\sqrt[3]{{{A^2}}} \pm \sqrt[3]{{AB}} + \sqrt[3]{{{B^2}}}}} ( với mọi A, B)

3. \sqrt[4]{A} \pm \sqrt[4]{B} = \dfrac{{A \mp B}}{{\left( {\sqrt[4]{A} + \sqrt[4]{B}} \right)\left( {\sqrt A + \sqrt B } \right)}} ( với mọi A, B lớn hơn 0 và  A \ne B)

2. Bài tập giải phương trình vô tỷ 

Ví dụ: Giải các phương trình sau:

  1. \sqrt {2{x^2} - 1} + \sqrt {{x^2} - 3x - 2} = \sqrt {2{x^2} + 2x + 3} + \sqrt {{x^2} - x + 2}
  2. \sqrt {2{x^2} + 16x + 18} + \sqrt {{x^2} - 1} = 2x + 4
  3. \left( {\sqrt {3x + 1} - \sqrt {x + 2} } \right)\left( {\sqrt {3{x^2} + 7x + 2} + 4} \right) = 4x - 2
  4. \sqrt {{x^2} + 5} + 3x = \sqrt {{x^2} + 12} + 5
  5. \sqrt {6 - x} + \sqrt {2x + 6} + \sqrt {6x - 5} = {x^2} - 2x - 5

Hướng dẫn giải:

1. \sqrt {2{x^2} - 1} + \sqrt {{x^2} - 3x - 2} = \sqrt {2{x^2} + 2x + 3} + \sqrt {{x^2} - x + 2}

ĐKXĐ: \left\{ \begin{array}{l} 2{x^2} - 1 \ge 0\\ {x^2} - 3x - 2 \ge 0 \end{array} \right.

Khi đó:  \sqrt {2{x^2} - 1} + \sqrt {{x^2} - 3x - 2} = \sqrt {2{x^2} + 2x + 3} + \sqrt {{x^2} - x + 2}

<=> \sqrt {2{x^2} - 1} - \sqrt {2{x^2} + 2x + 3} = \sqrt {{x^2} - x + 2} - \sqrt {{x^2} - 3x - 2}

\begin{array}{l}\Leftrightarrow \dfrac{{\left( {\sqrt {2{x^2} - 1} - \sqrt {2{x^2} + 2x + 3} } \right)\left( {\sqrt {2{x^2} - 1} + \sqrt {2{x^2} + 2x + 3} } \right)}}{{\sqrt {2{x^2} - 1} + \sqrt {2{x^2} + 2x + 3} }}\\ = \dfrac{{\left( {\sqrt {{x^2} - x + 2} - \sqrt {{x^2} - 3x - 2} } \right)\left( {\sqrt {{x^2} - x + 2} + \sqrt {{x^2} - 3x - 2} } \right)}}{{\sqrt {{x^2} - x + 2} + \sqrt {{x^2} - 3x - 2} }}\end{array}

\Leftrightarrow \dfrac{{\left( {2{x^2} - 1 - 2{x^2} - 2x - 3} \right)}}{{\sqrt {2{x^2} - 1} + \sqrt {2{x^2} + 2x + 3} }} = \dfrac{{\left( {{x^2} - x + 2 - {x^2} + 3x + 2} \right)}}{{\sqrt {{x^2} - x + 2} + \sqrt {{x^2} - 3x - 2} }}

\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{{\left( { - 4 - 2x} \right)}}{{\sqrt {2{x^2} - 1} + \sqrt {2{x^2} + 2x + 3} }} = \dfrac{{\left( {2x + 4} \right)}}{{\sqrt {{x^2} - x + 2} + \sqrt {{x^2} - 3x - 2} }}\end{array}

\Leftrightarrow \left( {2x + 4} \right)\left[ {\dfrac{1}{{\sqrt {2{x^2} - 1} + \sqrt {2{x^2} + 2x + 3} }} + \dfrac{1}{{\sqrt {{x^2} - x + 2} + \sqrt {{x^2} - 3x - 2} }}} \right] = 0\\

\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left( {2x + 4} \right) = 0\\\dfrac{1}{{\sqrt {2{x^2} - 1} + \sqrt {2{x^2} + 2x + 3} }} + \dfrac{1}{{\sqrt {{x^2} - x + 2} + \sqrt {{x^2} - 3x - 2} }} = 0 \end{array}\\ \Leftrightarrow x = - 2\right.

Vậy phương trình có nghiệm x = -2

2. \sqrt {2{x^2} + 16x + 18} + \sqrt {{x^2} - 1} = 2x + 4

ĐKXĐ: \left\{ \begin{array}{l} 2{x^2} + 16x + 18 \ge 0\\ {x^2} - 1 \ge 0 \end{array} \right.

Khi đó: \sqrt {2{x^2} + 16x + 18} + \sqrt {{x^2} - 1} = 2x + 4

\begin{array}{l}\sqrt {{x^2} - 1} = 2x + 4 - \sqrt {2{x^2} + 16x + 18} \,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\\sqrt {{x^2} - 1} = \dfrac{{\left( {2x + 4 - \sqrt {2{x^2} + 16x + 18} } \right)\left( {2x + 4 + \sqrt {2{x^2} + 16x + 18} } \right)}}{{2x + 4 + \sqrt {2{x^2} + 16x + 18} }}\\\sqrt {{x^2} - 1} = \dfrac{{\left[ {{{\left( {2x + 4} \right)}^2} - \sqrt {2{x^2} + 16x + 18} } \right]}}{{2x + 4 + \sqrt {2{x^2} + 16x + 18} }}\\ \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} - 1} = \dfrac{{4{x^2} + 16x + 16 - 2{x^2} - 16x - 18}}{{2x + 4 + \sqrt {2{x^2} + 16x + 18} }}\\\end{array}

\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} - 1} = \dfrac{{2{x^2} - 2}}{{2x + 4 + \sqrt {2{x^2} + 16x + 18} }}\\ \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} - 1} = \dfrac{{2\left( {{x^2} - 1} \right)}}{{2x + 4 + \sqrt {2{x^2} + 16x + 18} }}\\ \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} - 1} - \dfrac{{2\left( {{x^2} - 1} \right)}}{{2x + 4 + \sqrt {2{x^2} + 16x + 18} }} = 0\\ \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} - 1} \left( {1 - \dfrac{{2\sqrt {{x^2} - 1} }}{{2x + 4 + \sqrt {2{x^2} + 16x + 18} }}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt {{x^2} - 1} = 0\\1 - \dfrac{{2\sqrt {{x^2} - 1} }}{{2x + 4 + \sqrt {2{x^2} + 16x + 18} }} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \pm 1\\2x + 4 + \sqrt {2{x^2} + 16x + 18} - 2\sqrt {{x^2} - 1} = 0\left( 2 \right)\end{array} \right.\end{array}

Giải (2) ta được 

Cộng (1) với (2) ta có:

\begin{array}{l}3\sqrt {{x^2} - 1} = 4x + 8\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4x + 8 \ge 0\\{\left( {3\sqrt {{x^2} - 1} } \right)^2} = {\left( {4x + 8} \right)^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4x + 8 \ge 0\\9\left( {{x^2} - 1} \right) = 16{x^2} + 64x + 64\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4x + 8 \ge 0\\7{x^2} + 64x + 73 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge - 2\\\left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{ - 32 + 3\sqrt {57} }}{7}\\x = \dfrac{{ - 32 - 3\sqrt {57} }}{7}\left( l \right)\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \dfrac{{ - 32 + 3\sqrt {57} }}{7}\end{array}

Kết hợp với điều kiện ta được x = \pm 1 và x = \dfrac{{ - 32 + 3\sqrt {57} }}{7}

3. \left( {\sqrt {3x + 1} - \sqrt {x + 2} } \right)\left( {\sqrt {3{x^2} + 7x + 2} + 4} \right) = 4x - 2

ĐKXĐ: x \ge \dfrac{{ - 1}}{3}

\begin{array}{l}\left( {\sqrt {3x + 1} - \sqrt {x + 2} } \right)\left( {\sqrt {3{x^2} + 7x + 2} + 4} \right) = 4x - 2\\ \Leftrightarrow \dfrac{{\left( {\sqrt {3x + 1} - \sqrt {x + 2} } \right)\left( {\sqrt {3x + 1} + \sqrt {x + 2} } \right)}}{{\left( {\sqrt {3x + 1} + \sqrt {x + 2} } \right)}}\left( {\sqrt {3{x^2} + 7x + 2} + 4} \right) = 4x - 2\\ \Leftrightarrow \dfrac{{3x + 1 - x - 2}}{{\left( {\sqrt {3x + 1} + \sqrt {x + 2} } \right)}}\left( {\sqrt {3{x^2} + 7x + 2} + 4} \right) = 4x - 2\\ \Leftrightarrow \dfrac{{2x - 1}}{{\left( {\sqrt {3x + 1} + \sqrt {x + 2} } \right)}}\left( {\sqrt {3{x^2} + 7x + 2} + 4} \right) = 4x - 2\end{array}

\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {2x - 1} \right)\left( {\sqrt {3{x^2} + 7x + 2} + 4} \right) = \left( {4x - 2} \right)\left( {\sqrt {3x + 1} + \sqrt {x + 2} } \right)\\ \Leftrightarrow \left( {2x - 1} \right)\left( {\sqrt {3{x^2} + 7x + 2} + 4} \right) = 2.\left( {2x - 1} \right)\left( {\sqrt {3x + 1} + \sqrt {x + 2} } \right)\\ \Leftrightarrow \left( {2x - 1} \right)\left( {\sqrt {3{x^2} + 7x + 2} + 4 - 2.\left( {\sqrt {3x + 1} + \sqrt {x + 2} } \right)} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {2x - 1} \right) = 0\\\sqrt {3{x^2} + 7x + 2} + 4 - 2.\left( {\sqrt {3x + 1} + \sqrt {x + 2} } \right) = 0\end{array} \right.\end{array}

\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {2x - 1} \right) = 0\\\sqrt {\left( {3x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)} + 4 - 2.\left( {\sqrt {3x + 1} + \sqrt {x + 2} } \right) = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {2x - 1} \right) = 0\\\left( {\sqrt {3x + 1} . - 2} \right)\left( {\sqrt {x + 2} - 2} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{1}{2}\\\sqrt {3x + 1} . - 2 = 0\\\sqrt {x + 2} - 2 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{1}{2}\\\sqrt {3x + 1} . = 2\\\sqrt {x + 2} = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{1}{2}\\3x + 1. = 4\\x + 2 = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{1}{2}\left( {t/m} \right)\\x. = 1\left( {t/m} \right)\\x = 2\left( {t/m} \right)\end{array} \right.\end{array}

Vậy phương trình có nghiệm x = 1, x = \dfrac{1}{2}, x = 2 

4. \sqrt {{x^2} + 5} + 3x = \sqrt {{x^2} + 12} + 5

[\begin{array}{l}\sqrt {{x^2} + 5} + 3x = \sqrt {{x^2} + 12} + 5\\ \Leftrightarrow \left( {\sqrt {{x^2} + 5} - 3} \right) + 3x - 6 + \left( {4 - \sqrt {{x^2} + 12} } \right) = 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{\left( {\sqrt {{x^2} + 5} - 3} \right)\left( {\sqrt {{x^2} + 5} + 3} \right)}}{{\sqrt {{x^2} + 5} + 3}} + 3\left( {x - 2} \right) + \dfrac{{\left( {4 - \sqrt {{x^2} + 12} } \right)\left( {4 + \sqrt {{x^2} + 12} } \right)}}{{4 + \sqrt {{x^2} + 12} }} = 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{{x^2} + 5 - 9}}{{\sqrt {{x^2} + 5} + 3}} + 3\left( {x - 2} \right) - \dfrac{{{x^2} - 4}}{{4 + \sqrt {{x^2} + 12} }} = 0\end{array}

\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{{{x^2} - 4}}{{\sqrt {{x^2} + 5} + 3}} + 3\left( {x - 2} \right) - \dfrac{{{x^2} - 4}}{{4 + \sqrt {{x^2} + 12} }} = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left[ {\dfrac{{x + 2}}{{\sqrt {{x^2} + 5} + 3}} + 3 - \dfrac{{x + 2}}{{4 + \sqrt {{x^2} + 12} }}} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left( {x - 2} \right) = 0\\\dfrac{{x + 2}}{{\sqrt {{x^2} + 5} + 3}} + 3 - \dfrac{{x + 2}}{{4 + \sqrt {{x^2} + 12} }} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 2\end{array}

--------------------------------------------------------------------

Hy vọng tài liệu Giải phương trình vô tỷ bằng phương pháp nhân liên hợp lớp 9 sẽ giúp ích cho các bạn học sinh học nắm chắc các cách biến đổi hệ phương trình đồng thời học tốt môn Toán lớp 9. Chúc các bạn học tốt, mời các bạn tham khảo!

Chia sẻ bởi: Lê Thị Thùy
Mời bạn đánh giá!
  • Lượt xem: 230
Tìm thêm: Toán 9 Chuyên đề Toán 9
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi

Tài liệu tham khảo khác

Chủ đề liên quan

Mới nhất trong tuần