Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình dạng năng suất Chuyên đề Toán lớp 9 luyện thi vào lớp 10

20 Đánh giá

Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

1. Các bước giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình
2. Công thức tính năng suất, thời gian
3. Cách giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình dạng năng suất
4. Bài tập giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình dạng năng suất
5. Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình nổi bật

Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình dạng năng suất được GiaiToan.com biên soạn bao gồm đáp án chi tiết cho từng bài tập giúp các bạn học sinh ngoài bài tập trong sách giáo khoa (sgk) có thể luyện tập thêm các dạng bài tập cơ bản và nâng cao để biết được cách giải các bài toán bằng cách lập hệ phương trình. Đây là tài liệu tham khảo hay dành cho quý thầy cô và các vị phụ huynh lên kế hoạch ôn tập học kì môn Toán 9 và ôn tập thi vào lớp 10. Mời các bạn học sinh và quý thầy cô cùng tham khảo tài liệu chi tiết!

1. Các bước giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

Bước 1: Lập hệ phương trình:

+ Đặt ẩn và tìm điều kiện của ẩn (nếu có).

+ Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.

+ Lập hệ phương trình biểu diễn tương quan giữa các đại lượng.

Bước 2: Giải hệ phương trình.

Bước 3: So sánh với điều kiện và kết luận.

2. Công thức tính năng suất, thời gian

Công thức:

- Thời gian hoàn thành một công việc: $T = \frac{1}{N}$ (N là năng suất)

- Số công việc hoàn thành trong một đơn vị thời gian T:

Công việc = N. T

3. Cách giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình dạng năng suất

Ví dụ 1: Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình.

Hai đội xây dựng cùng làm chung một công việc và dự định xong trong 12 ngày. Họ cùng làm chung với nhau được 8 ngày thì đội 1 được điều đi làm việc khác. Đội 2 tiếp tục làm, do cải tiến kĩ thuật năng suất tăng gấp đôi nên đội 2 đã làm xong phần công việc còn lại trong 3,5 ngày. Hỏi mỗi đội làm một mình thì sau bao lâu sẽ làm xong công việc trên.

Hướng dẫn giải

Gọi x, y là số ngày đội 1, đội 2 làm xong công việc (x, y > 12)

Trong 1 ngày đội 1 làm được: $\frac{1}{x}$ công việc

Trong 1 ngày đội 2 làm được: $\frac{1}{y}$ công việc

Trong một ngày cả hai đội làm được: $\frac{1}{{12}}$ công việc

Ta có phương trình $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{{12}}$ (1)

Khi cả hai đội làm chung 8 ngày, cả hai đội làm được 2/3 công việc

Số công việc còn lại để đội 2 làm là 1/3 công việc

Do đội 2 làm với năng suất gấp đôi: $\frac{2}{y}$

Theo bài ra: $3,5.\frac{2}{y} = \frac{1}{3}$ (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {3,5.\dfrac{2}{y} = \dfrac{1}{3}} \\ {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{{12}}} \end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 28} \\ {y = 21} \end{array}} \right.$

Vậy: Đội thứ nhất hoàn thành công việc một mình trong 28 giờ.

Đội thứ hai hoàn thành công việc một mình trong 21 giờ.

Ví dụ 2: Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình:

Một tổ sản xuất phải làm được 600 sản phẩm trong một thời gian quy định với năng suất quy định. Sau khi làm xong 400 sản phẩm tổ sản xuất tăng năng suất lao động, mỗi ngày làm tăng thêm 10 sản phẩm so với quy định. Vì vậy mà công việc được hoàn thành sớm hơn quy định một ngày. Tính xem, theo quy định, mỗi ngày tổ sản xuất phải làm bao nhiêu sản phẩm?

Hướng dẫn giải

Gọi số sản phẩm làm theo quy định trong 1 ngày là x (sản phẩm) (0 < x < 600)

Số sản phẩm làm được khi tăng năng suất là y (sản phẩm) (y > 0)

Ta có y = x + 10 (1).

Thời gian hoàn thành theo quy định là: $\frac{{600}}{x}$ (ngày)

Thời gian làm 400 sản phẩm đầu là $\frac{{400}}{x}$ (ngày)

Thời gian làm 200 sản phẩm còn lại là $\frac{{200}}{y}$ (ngày)

Ta có phương trình: $\frac{{400}}{x} + \frac{{200}}{y} = \frac{{600}}{x} - 1$ (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {y = x + 10} \\ {\dfrac{{400}}{x} + \dfrac{{200}}{y} = \dfrac{{600}}{x} - 1} \end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 40} \\ {y = 50} \end{array}} \right.$

Vậy theo quy định mỗi ngày tổ sản xuất phải làm 40 sản phẩm.

4. Bài tập giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình dạng năng suất

Bài 1: Một công nhân dự định làm 72 sản phẩm trong thời gian nhất định. Nhưng thực tế xí nghiệp lại giao 80 sản phẩm, mặc dù người đó mỗi giờ làm thêm 1 sản phẩm so với dự kiến nhưng thời gian hoàn thành vẫn chậm 12 phút so với dự định. Tính năng suất dự kiến mỗi giờ của người đó, biết rằng mỗi giờ người đó làm không quá 20 sản phẩm.

Bài 2: Một nhóm thợ đặt kế hoạch sản xuất 1200 sản phẩm. Trong 12 ngày đầu họ làm theo đúng kế hoạch đề ra, những ngày còn lại họ đã làm vượt mức mỗi ngày 20 sản phẩm, nên hoàn thành kế hoạch sớm 2 ngày. Hỏi theo kế hoạch mỗi ngày cần sản xuất bao nhiêu sản phẩm.

Bài 3: Một tổ sản xuất dự kiến làm xong một số sản phẩm trong 18 ngày. Nhưng khi làm mỗi ngày tổ làm vượt mức 5 sản phẩm nên sau 16 ngày tổ đã hoàn thành công việc và còn làm thêm được 20 sản phẩm nữa. Tính số sản phẩm dự kiến ban đầu.

Bài 4: Một người lập kế hoạch làm 300 sản phẩm với năng suất dự định. Sau khi làm được 5 ngày, nhờ cải tiến kĩ thuật, người đó đã tăng năng suất thêm 10 sản phẩm một ngày, do đo đã hoàn thành công việc sau 7 ngày. Hãy tính năng suất ban đầu

Bài 5: Một máy bơm muốn bơm đầy nước vào 1 bể trong thời gian quy định thì mỗi giờ phải bơm 10m³. Sau khi bơm được 1/3 bể thì người công nhân vận hành máy bơm công suất lớn hơn nên mỗi giờ bơm được 15m³. Do đó bể bơm được đầy trước 48 phút so với thời gian quy định. Tính thể tích bể chứa.

Bài 6: Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình
Trong tháng Giêng hai tổ công nhân may được 800 chiếc áo. Tháng Hai, tổ I vượt mức 15%, tổ II vượt mức 20% do đó cả hai tổ sản xuất được 945 cái áo. Tính xem trong tháng đầu mỗi tổ may được bao nhiêu chiếc áo?

Bài 7: Một phân xưởng sản xuất thiết bị y tế theo kế hoạch phải sản xuất 1100 nhiệt kế điện tử phục vụ công tác đo thân nhiệt để phòng chống dịch bệnh trong một thời gian quy định. Nhưng do tính hình diễn biến dịch bệnh phức tạp, để đáp ứng nhu cầu nhiệt kế điện tử của thi trường, mỗi ngày phân xưởng đã sản xuất vượt mức 5 nhiệt kế nên phân xưởng đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn thời gian quy định là 2 ngày, Hỏi theo kế hoạch mỗi ngày phân xưởng sản xuất bao nhiêu nhiệt kế điện tử?

Bài 8: Hưởng ứng phong trào Tết trồng cây, chi đoàn thanh niên dự định trồng 30 cây trong một thời gian nhất định. Do mỗi giờ chi đoàn trồng nhiều hơn dự dự định 5 cây nên hoàn thành công việc trước dự định 20 phút và trồng thêm được 10 cây nữa. Tính số cây mà chi đoàn dự định trồng trong mỗi giờ.

Bài 9: Một tổ sản xuất dự định làm 600 thùng khẩu trang để tặng lực lượng phòng chống dịch COVID - 19 trong thời gian dự định trước. Sau khi làm xong 400 chiếc, tổ sản xuất đã tăng năng suất lao động, mỗi giờ làm thêm được 10 thùng khẩu trang. Vì vậy công việc được hoàn thành sớm hơn dự định một giờ. Hỏi theo dự định, mỗi giờ tổ sản xuất được bao nhiêu thùng khẩu trang?

Bài 10: Hai người làm chung một công việc trong 12 ngày thì xong. Nhưng khi làm chung được 8 ngày thì người thứ nhất đi làm việc khác, người thức hai làm tiếp công việc đó trong 10 ngày nữa thì xong. Hỏi nếu mỗi người làm một mình xong công việc đó hết bao lâu thời gian?

Bài 11: Để làm xong một công việc. Nếu nhân công A và B cùng làm thì mất 6 giờ. Nếu công nhân B và C cùng làm thì mất 4 giờ 30 phút. Nếu công nhân C và A cùng làm thì mất 3 giờ 36 phút. Hỏi nếu cả 3 công nhân cùng làm thì bao lâu xong công việc?

Bài 12: Một công nhân dự định làm 120 sản phẩm trong một thời gian dự định. Sau khi làm được 2 giờ với năng suất dự kiến, người đó đã cải tiến kỹ thuật nên đã tăng năng suất được 3 sản phẩm mỗi giờ và vì vậy người đó đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn dự định 1 giờ 36 phút. Hỏi trong 1 giờ người đó dự kiến làm bao nhiêu sản phẩm?

Bài 13: Hai công nhân làm một cong việc trong 18h thì xong. Nếu người thứ nhất làm 6h và người thứ hai làm 12h thì chỉ hoàn thành 50 phần trăm công việc. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người hoàn thành công việc đo trong bao lâu?

Bài 14: Hai người thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong. Nếu người thứ nhất làm một mình trong 15 giờ rồi người thứ hai làm tiếp 6 giờ thì hoàn thành được 75 phần trăm công việc. Hỏi mỗi người làm công việc đó một mình hoàn thành trong bao lâu?