Tìm giao điểm của (d) và (P) Chuyên đề Toán lớp 9 luyện thi vào lớp 10

2 Đánh giá

Phương trình hoành độ giao điểm

A. Cách tìm số giao điểm của (P) và (d)
B. Tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P)
C. Bài tập tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P)
D. Bài tập tự luyện Tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P)
E. Tương giao đồ thị

Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng (d) và Parabol (P) là một dạng toán khó thường gặp trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán. Tài liệu được GiaiToan.com biên soạn và giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô tham khảo. Nội dung tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh học tốt môn Toán lớp 9 hiệu quả hơn. Mời các bạn tham khảo.

A. Cách tìm số giao điểm của (P) và (d)

Cho đường thẳng (d): y = ax + b (a ≠ 0) và parabol (P): y = kx² (k ≠ 0)

- Hoành độ giao điểm (hoặc tiếp điểm) của (P) và (d) chính là nghiệm của phương trình kx² = ax + b

Xét phương trình:

kx² = ax + b (1)

+ Nếu phương trình (1) vô nghiệm thì (d) và (P) không giao nhau

+ Nếu phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì (d) và (P) cắt nhau tại hai điểm phân biệt

+ Nếu phương trình (1) có nghiệm kép thì (P) và (d) tiếp xúc nhau

B. Tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P)

- Giải phương trình (1) tìm ra các giá trị của x. Khi đó giá trị của x chính là hoành độ giao điểm cuar (d) và (P). Thay giá trị x vào công thức hàm số của (d) và (P) ta tìm ra tung độ giao điểm từ đó suy ra tọa độ giao điểm cần tìm.

- Tọa độ giao điểm của (d) và (P) phụ thuộc vào số nghiệm của phương trình (1)

kx² = ax + b

C. Bài tập tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P)

Ví dụ: Trong hệ tọa độ Oxy, cho hàm số y = f(x) = (m + 2)x² (1)

1) Tìm m để đồ thị hàm số (1) đi qua các điểm: A (-1; 3); $B\left( {\sqrt 2 ; - 1} \right)$

2) Thay giá trị m = 2. Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số (1) với đồ thị hàm số y = x + 1

Hướng dẫn giải

1) Để đồ thị hàm số y = f(x) = (m + 2)x² (1) đi qua điểm A (-1; 3)

=> x = -1; y = 3

Thay vào hàm số (1) ta có:

3 = (m + 2) . (-1)²

=> m = 3 – 2

=> m = 1

Vậy với m = 1 thì đồ thị hàm số đi qua điểm A(-1; 3)

Để đồ thị hàm số y = f(x) = (m + 2)x² (1) đi qua điểm $B\left( {\sqrt 2 ; - 1} \right)$

=> $x = \sqrt 2 ;y = - 1$

Thay vào hàm số (1) ta có:

$- 1 = \left( {m + 2} \right){\left( {\sqrt 2 } \right)^2}$

=> -1 = (m + 2).2

=> -1 = 2m + 4

=> -5 = 2m

=> m = -5/2

Vậy với m = -5/2 thì đồ thị hàm số đi qua điểm $B\left( {\sqrt 2 ; - 1} \right)$

2) Thay m = 0 vào hám số y = f(x) = (m + 2)x² (1) ta có:

y = f(x) = 2x²

Tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x) = 2x² với đồ thị hàm số y = x + 1 là nghiệm của phương trình:

2x² = x + 1

=> 2x² – x – 1 = 0 (2)

Ta có a + b + c = 2 + (-1) + (-1) = 0

Nên phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt x₁ = 1 hoặc x₂ = -1/2

Với x = 1 => y = 2.1² = 2 => D(1; 2)

Với x = -1/2 => y = 2.(-1/2)² = 2.1/4 = 1/2 => E(-1/2; 1/2)

Vậy với m = 0 thì đồ thị hàm số y = 2x² và đồ thị hàm só y = x + 1 cắt nhau tại hai điểm phân biệt D(1; 2) và E(-1/2; 1/2).

Ví dụ 2: Trên mặt phẳng Oxy, cho parabol (P): $y = \frac{1}{2}{x^2}$ và đường thẳng (d): y = x - m (với m là tham số.

a) Với m = 0 tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P) bằng phương pháp đại số.

b) Tìm điều kiện của tham số m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt.

Hướng dẫn giải

a) Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của phương trình:

$\frac{1}{2}{x^2} =x$ => x² - 2x = 0 => x = 0 hoặc x = 2

Với x = 0 => y = 0

Với x = 2 => y = 2

Vậy giao điểm của (d) và (P) là hai điểm (0; 0) và (2; 2)

b) Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của phương trình:

$\frac{1}{2}{x^2} =x-m$ => x² - 2x + 2m = 0 (*)

Đường thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (*)có hai nghiệm phân biệt

=> Δ' > 0 => $m < \frac{1}{2}$ .

Ví dụ 3: Cho parabol (P): y = - x² và đường thẳng d: y = mx - 2 (với m là tham số). Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng d cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x₁; x₂ thỏa mãn (x₁ + 2)(x₂ + 2) = 0.

Hướng dẫn giải

Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của phương trình:

- x² = mx - 2 => - x² + mx - 2 = 0

Ta có: Δ = m² + 8 > 0 với mọi giá trị của tham số m nên (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt

Áp dụng định lý Vi - ét ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1} + {x_2} = - m} \\ {{x_1}.{x_2} = - 2} \end{array}} \right.$

Theo giả thiết ta có:

(x₁ + 2)(x₂ + 2) = 0

=> x₁.x₂ + 2(x₁ + x₂) + 4 = 0 => -2 + 2.(-m) + 4 = 0 => m = 1

Vậy với m = 1 thì đường thẳng d cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x₁; x₂ thỏa mãn (x₁ + 2)(x₂ + 2) = 0.

D. Bài tập tự luyện Tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P)

Bài tập 1: Cho hàm số y = ax² (a ≠ 0) có đồ thị parabol (P)

a) Xác định a để (P) đi qua điểm $D\left( { - \sqrt 2 ; - 4} \right)$

b) Với giá trị a vừa tìm được hãy:

+ Vẽ (P) trên mặt phẳng tọa độ.

+ Tìm các điểm trên (P) có tung độ bằng -2.

+ Tìm các điểm trên (P) cách đều hai trụ tọa độ.

Bài tập 2: Cho hàm số y = ax² (a ≠ 0) có đồ thị parabol (P)

a) Tìm hệ số a biết rằng (P) đi qua điểm M(-2; 4).

b) Viết phương trình đường thẳng d đi qua gốc tọa độ và điểm N(2; 4).

c) Vẽ (P) và (d) tìm được ở câu a và b trên cùng một hệ trục tọa độ.

d) Tìm tọa độ giao điểm của (p) và (d) ở câu a và câu b.

Bài tập 3: Cho hàm số (P): y = x² và d = x/2

a) Vẽ đồ thị hàm số của (P) và (d) trên cùng một hệ trục tọa độ.

b) Xác định tọa độ giao điểm của (P) và (d).

Bài tập 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P) có phương trình $y = \frac{1}{2}{x^2}$ và hai điểm A, B thuộc (P) có hoành độ lần lượt là x_A = -1, x_B = 2

a) Tìm tọa độ giao điểm của A và B

b) Viết phương trình đường thẳng AB

Ngoài ra mời quý thầy cô và học sinh tham khảo thêm một số nội dung: