Chứng minh đẳng thức Rút gọn biểu thức lớp 9

1 Đánh giá

Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai

Bài tập chứng minh đẳng thức
Bài tập tự luyện chứng minh đẳng thức

Bài tập Toán 9: Chứng minh đẳng thức được GiaiToan.com biên soạn bao gồm đáp án chi tiết cho từng bài tập giúp các bạn học sinh ngoài bài tập trong sách giáo khoa (sgk) có thể luyện tập thêm các dạng bài tập cơ bản và nâng cao để biết được cách chứng minh đẳng thức thỏa mãn điều kiện. Đây là tài liệu tham khảo hay dành cho quý thầy cô và các vị phụ huynh lên kế hoạch ôn tập học kì môn Toán 9 và ôn tập thi vào lớp 10. Mời các bạn học sinh và quý thầy cô cùng tham khảo tài liệu chi tiết!

Bài tập chứng minh đẳng thức

Bài 1: Chứng minh rằng: $x = \sqrt[3]{{a + \frac{{a + 1}}{3}.\sqrt {\frac{{8a - 1}}{3}} }} + \sqrt[3]{{a - \frac{{a - 1}}{3}.\sqrt {\frac{{8a - 1}}{3}} }}$ với $a \geqslant \frac{1}{8}$ là số tự nhiên. ${\left( {x + y} \right)^3} = {x^3} + {y^3} + 3xy\left( {x + y} \right)$

Hướng dẫn giải

Áp dụng hằng đẳng thức:

Ta có:

$\begin{matrix} {x^3} = 2a + \left( {1 - 2a} \right)x \hfill \\ \Leftrightarrow {x^3} + \left( {2a - 1} \right)x - 2a = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 2a} \right) = 0 \hfill \\ \end{matrix}$

Xét đa thức bậc hai ${x^2} + x + 2a$ có $\Delta = 1 - 8a \geqslant 0$

Khi $a = \frac{1}{8}$ ta có: $x = \sqrt[3]{{\frac{1}{8}}} + \sqrt[3]{{\frac{1}{8}}} = 1$

Khi $a > \frac{1}{8}$ ta có: $\Delta = 1 - 8a < 0$ nên đa thức có nghiệm duy nhất x = 1

Vậy với $a \geqslant \frac{1}{8}$ mọi ta có $x = \sqrt[3]{{a + \frac{{a + 1}}{3}.\sqrt {\frac{{8a - 1}}{3}} }} + \sqrt[3]{{a - \frac{{a - 1}}{3}.\sqrt {\frac{{8a - 1}}{3}} }} = 1$ là số tự nhiên.

Bài 2: Biết rằng $\left( {x + \sqrt {{x^2} + 2015} } \right)\left( {y + \sqrt {{y^2} + 2015} } \right) = 2015$ . Tính tổng x + y.

Hướng dẫn giải

Ta có: $\left( {x + \sqrt {{x^2} + 2015} } \right)\left( {x + \sqrt {{x^2} + 2015} } \right) = {x^2} + 2015 - {x^2} = 2015$

Kết hợp với giả thiết ta suy ra:

$\begin{matrix} \sqrt {{x^2} + 2015} - x = \sqrt {{y^2} + 2015} + y \hfill \\ \Rightarrow \sqrt {{y^2} + 2015} + y + \sqrt {{x^2} + 2015} + x = \sqrt {{x^2} + 2015} - x + \sqrt {{y^2} + 2015} - y \hfill \\ \Leftrightarrow x + y = 0 \hfill \\ \end{matrix}$

Vậy tổng x + y = 0

Bài 3: Chứng minh rằng: $\frac{1}{{\sqrt 1 + \sqrt 2 }} + \frac{1}{{\sqrt 3 + \sqrt 4 }} + .... + \frac{1}{{\sqrt {79} + \sqrt {80} }} > 4$

Hướng dẫn giải

Xét các biểu thức:

$\begin{matrix} A = \dfrac{1}{{\sqrt 1 + \sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 3 + \sqrt 4 }} + .... + \dfrac{1}{{\sqrt {79} + \sqrt {80} }} \hfill \\ B = \dfrac{1}{{\sqrt 2 + \sqrt 3 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 4 + \sqrt 5 }} + .... + \dfrac{1}{{\sqrt {80} + \sqrt {81} }} \hfill \\ \end{matrix}$

Dễ thấy A > B

Ta có:

$A + B = \frac{1}{{\sqrt 1 + \sqrt 2 }} + \frac{1}{{\sqrt 3 + \sqrt 4 }} + ....$

$+ \frac{1}{{\sqrt {79} + \sqrt {80} }} + \frac{1}{{\sqrt 2 + \sqrt 3 }} + \frac{1}{{\sqrt 4 + \sqrt 5 }} + .... + \frac{1}{{\sqrt {80} + \sqrt {81} }}$

Mặt khác ta có:

$\frac{1}{{\sqrt a + \sqrt {a + 1} }} = \frac{{\sqrt {a + 1} - \sqrt a }}{{\left( {\sqrt {a + 1} + \sqrt a } \right)\left( {\sqrt {a + 1} - \sqrt a } \right)}} = \sqrt {a + 1} - \sqrt a$

Suy ra $A + B = \left( {\sqrt 2 - \sqrt 1 } \right) + \left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right) + ... + \left( {\sqrt {81} - \sqrt {80} } \right) = \sqrt {81} - 1 = 8$

=> A > B

=> 2A > A + B = 8

=> A > 4

Bài tập tự luyện chứng minh đẳng thức

Bài 1: Chứng minh rằng $\frac{1}{{1\sqrt 2 }} + \frac{1}{{2\sqrt 3 }} + \frac{1}{{3\sqrt 4 }} + ... + \frac{1}{{n\sqrt {n + 1} }} > 2\left( {1 - \frac{1}{{\sqrt {n + 1} }}} \right)$

Bài 2: Chứng minh rằng $2\sqrt n - 2 < \frac{1}{{\sqrt 1 }} + \frac{1}{{\sqrt 2 }} + \frac{1}{{\sqrt 3 }} + .... + \frac{1}{{\sqrt n }} < 2\sqrt n - 1$ với mọi số nguyên dương $n \geqslant 2$

Bài 3: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n > 3 ta có:

$\frac{1}{{{1^3}}} + \frac{1}{{{2^3}}} + \frac{1}{{{3^3}}} + .... + \frac{1}{{{n^3}}} < \frac{{65}}{{54}}$

Bài 4: Chứng minh rằng $\frac{{43}}{{44}} < \frac{1}{{2\sqrt 1 + 1\sqrt 2 }} + \frac{1}{{3\sqrt 2 + 2\sqrt 3 }} + ... + \frac{1}{{2002\sqrt {2001} + 2001\sqrt {2002} }} < \frac{{44}}{{45}}$

----------------------------------

Tài liệu liên quan:

Hy vọng tài liệu giúp sẽ giúp ích cho các bạn học sinh học nắm chắc Bài tập rút gọn biểu thức lớp 9 đồng thời học tốt môn Toán lớp 9. Chúc các bạn học tốt, mời các bạn tham khảo! Mời thầy cô và bạn đọc tham khảo thêm một số tài liệu liên quan: Lý thuyết Toán 9, Giải Toán 9, Luyện tập Toán 9, ...