Không giải phương trình tính giá trị biểu thức Chuyên đề Toán lớp 9 luyện thi vào lớp 10

17 Đánh giá

Hệ thức Vi-et và ứng dụng

A. Định lý Vi-et
B. Nhẩm nghiệm phương trình bậc hai
C. Bài tập không giải phương trình tính giá trị của biểu thức

Ứng dụng hệ thức Vi - et là một dạng toán khó thường gặp trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán. Tài liệu được GiaiToan.com biên soạn và giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô tham khảo. Nội dung tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh học tốt môn Toán lớp 9 hiệu quả hơn. Mời các bạn tham khảo.

Tài liệu liên quan:

A. Định lý Vi-et

a) Nếu x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) thì:

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a}} \\ {{x_1}.{x_2} = \dfrac{c}{a}} \end{array}} \right.$

b) Muốn tìm hai số m, n biết m + n = S và m . n = P, ta giải phương trình x² – Sx + P = 0 với điều kiện S² – 4P ≥ 0

B. Nhẩm nghiệm phương trình bậc hai

• Nếu a + b + c = 0 thì phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm $\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1} = 1} \\ {{x_2} = \dfrac{c}{a}} \end{array}} \right.$

• Nếu a – b + c = 0 thì phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm $\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1} = - 1} \\ {{x_2} = \dfrac{{ - c}}{a}} \end{array}} \right.$

C. Bài tập không giải phương trình tính giá trị của biểu thức

Ví dụ 1: Gọi x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình x² – 3x + 7 = 0. Không giải phương trình tính giá trị các biểu thức sau:

a) $A = \frac{1}{{{x_1} - 1}} + \frac{1}{{{x_2} - 1}}$

b) $B = {x_1}^2 + {x_2}^2$

c) $C = \left( {3{x_1} + {x_2}} \right)\left( {3{x_2} + {x_1}} \right)$

Hướng dẫn giải

Ta có a . c < 0 nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

Theo hệ thức Vi-et ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a} = 3} \\ {{x_1}.{x_2} = \dfrac{c}{a} = - 7} \end{array}} \right.$

a) $A = \frac{1}{{{x_1} - 1}} + \frac{1}{{{x_2} - 1}} = \frac{{{x_2} + {x_1} - 2}}{{{x_1}{x_2} - \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 1}} = \frac{{ - 1}}{9}$

b) $B = {x_1}^2 + {x_2}^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = 9 + 14 = 23$

c) $C = \left( {3{x_1} + {x_2}} \right)\left( {3{x_2} + {x_1}} \right) = 10{x_1}{x_2} + 3\left( {{x_1}^2 + {x_2}^2} \right) = - 61$

Ví dụ 2: Gọi x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình 3x² + 5x – 6 = 0. Không giải phương trình hãy lập phương trình bậc hai ẩn y theo hai nghiệm y₁, y₂ thỏa mãn:

y₁ = 2x₁ – x₂, y₂ = 2x₂ – x₁

Hướng dẫn giải

Xét phương trình 3x² + 5x – 6 = 0 ta có a . c < 0 nên phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt:

Theo hệ thức Vi – et ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a} = \frac{{ - 5}}{3}} \\ {{x_1}.{x_2} = \dfrac{c}{a} = - 2} \end{array}} \right.$

Ta có:

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {S = {y_1} + {y_2} = 2{x_1} - {x_2} + 2{x_2} - {x_1} = \dfrac{{ - 5}}{3}} \\ {P = {y_1}.{y_2} = \left( {2{x_1} - {x_2}} \right).\left( {2{x_2} - {x_1}} \right) = 5{x_1}{x_2} - 2\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2}} \right] = - \dfrac{{212}}{9}} \end{array}} \right.$

Vậy phương trình bậc hai có hai nghiệm y₁, y₂ là ${y^2} + \frac{5}{3}y - \frac{{212}}{9} = 0$

Ví dụ 3: Gọi x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình 3x² + 5x – 6 = 0. Không giải phương trình tính giá trị các biểu thức sau:

a) $A = \left( {3{x_1} - 2{x_2}} \right)\left( {3{x_2} - 2{x_1}} \right)$

b) $B = \frac{{{x_2}}}{{{x_1} - 1}} + \frac{{{x_1}}}{{{x_2} - 1}}$

Hướng dẫn giải

Ta có a . c < 0 nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

Theo Vi – et ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a} = \dfrac{{ - 5}}{3}} \\ {{x_1}.{x_2} = \dfrac{c}{a} = - 2} \end{array}} \right.$

Ta có: A = (3x₁ – 2x₂)(3x₂ – 2x₁)

= 13x₁x₂ – 6(x₁² + x₂²)

$= 13P - 6\left( {{S^2} - 2P} \right) = \frac{{ - 200}}{3}$

$B = \frac{{{x_2}}}{{{x_1} - 1}} + \frac{{{x_1}}}{{{x_2} - 1}}$

$= \frac{{{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2} - \left( {{x_1} + {x_2}} \right) - 2}}{{{x_1}{x_2} - \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 1}} = \frac{{38}}{3}$