Chứng minh tiếp tuyến đường tròn Chuyên đề Toán lớp 9 luyện thi vào lớp 10
Cách chứng minh tiếp tuyến
Bài tập Toán 9: Chứng minh đường thẳng là tiếp tuyến đường tròn là một dạng toán hình xuất hiện nhiều trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán. Tài liệu được GiaiToan.com biên soạn và giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô tham khảo. Nội dung tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh học tốt môn Toán lớp 9 hiệu quả hơn. Mời các bạn tham khảo.
A. Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến đường tròn
Dấu hiệu 1: Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là tiếp tuyến của đường tròn.
Dấu hiệu 2: Theo định nghĩa tiếp tuyến đường thẳng vuông góc với bán kính của đường tròn tạo một điểm thuộc đường tròn, điểm này gọi là tiếp điểm.
B. Cách chứng minh tiếp tuyến đường tròn
- Để chứng minh đường thẳng d là tiếp tuyến của đường tròn (O; R) tại tiếp điểm M, ta có thể làm theo một trong các cách sau:
Cách 1: Chứng minh M nằm trên (O) và OC vuông góc với d tại M.
Cách 2: Kẻ ON vuông góc với d tại N và chứng minh ON = OM = R.
Cách 2: Vẽ tiếp tuyến d’ của (O) và chứng minh đường thẳng d trùng với d’.
C. Bài tập chứng minh tiếp tuyến đường tròn
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Đường tròn (O) đường kính BC cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại các điểm D và E. Gọi H là giao điểm của hai đường thẳng CD và BE.
a) Chứng minh tứ giác ADHE nội tiếp đường tròn. Xác định tâm I của đường tròn này.
b) Chứng minh ID là tiếp tuyến của đường tròn (O).
Hướng dẫn giải
Hình vẽ minh họa
a) Ta có: 
(Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
=>
Ta có: (góc nột tiếp chắn nửa đường tròn)
=>
Xét tứ giác ADHE có:
là hai góc đối nhau và nên tứ giác DHE nội tiếp đường tròn.
Do cùng nhìn AH dưới một góc vuông nên AH là đường kính của đường tròn nội tiếp tứ giác ADHE
=> I là trung điểm của AH.
b) Gọi M là giao điểm của AH và BC
Ta có:
(Vì tam giác IDH cân tại I)
(Hai góc đối đỉnh)
(Vì tam giác ODC cân tại O)
=> OD ⊥ DI hay DI là tiếp tuyến của đường tròn (O)
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O). Vẽ hình bình hành ABCD. Tiếp tuyến tại C của đường tròn cắt đường thẳng AD tại N. Chứng minh:
a) Đường thẳng AD là tiếp tuyến của (O).
b) Ba đường thẳng AC, BD và ON đồng quy.
Hướng dẫn giải
a) Tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O)
=> OA ⊥ BC
=> OA ⊥ AD (vì AD // BC)
=> Đường thẳng AD là tiếp tuyến của (O).
b) Chứng minh được ON là tia phân giác của mà tam giác OAC cân tại O nên ON là đường trung tuyến
=> On cắt AC tại trung điểm I của AC
=> ON, AC, BD cùng đi qua trung điểm I của AC.
D. Bài tập tự luyện chứng minh tiếp tuyến đường tròn
Bài tập 1: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB và điểm M là điểm nằm trên (O). Tiếp tuyến tại M cắt tiếp tuyến tại A va B của (O) lần lượt ở C và D. Đường thẳng BM cắt OD tại F.
a) Chứng minh
b) Tứ giác MEOF là hình gì?
c) Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD.
Bài tập 2: Cho điểm M nằm trên nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Qua M vẽ tiếp tuyến xy và gọi C, D lần lượt là hình chiếu vuông góc của A và B trên xy. Xác định vị trí của điểm M trên (O) sao cho diện tích tứ giác ABCD đạt giá trị lớn nhất.
Bài tập 3: Cho đường tròn (O) đường kính AB = 10cm và Bx là tiếp tuyến của (O). Gọi C là một điểm trên (O) sao cho và E là giao điểm của các tia AC và Bx.
a) Tính độ dài các đoạn thẳng AC, CE và BC.
b) Tính độ dài đoạn thẳng BE.
Bài tập 4: Cho đường tròn (O) đường kính AB. Lấy điểm M thuộc (O) sao cho MA < MB. Vẽ dây MN vuông góc với AB tại H. Đường thẳng AN cắt BM tại C. Đường thẳng qua C vuông góc với AB tại K và cắt BN tại D.
a) Chứng minh bốn điểm A, M, C, K thuộc cùng một đường tròn.
b) Chứng minh BK là tia phân giác của góc MBN.
c) Chứng minh tam giác KMC cân và KM là tiếp tuyến của đường tròn (O).
d) Tìm vị trí của M trên (O) để tứ giác MNKC trở thành hình thoi.
------------------------------------------------
Hy vọng tài liệu Chứng minh đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn sẽ giúp ích cho các bạn học sinh học nắm chắc kiến thức chuyên đề Đường tròn đồng thời học tốt môn Toán lớp 9. Chúc các bạn học tốt, mời các bạn tham khảo!
Ngoài ra mời quý thầy cô và học sinh tham khảo thêm một số nội dung:
Cự Giải 
