Chứng minh 3 điểm thẳng hàng Chuyên đề Toán lớp 9 luyện thi vào lớp 10
Cách chứng minh 3 điểm thẳng hàng
Bài tập Toán 9: Chứng minh ba điểm thẳng hàng là một dạng toán hình xuất hiện nhiều trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán. Tài liệu được GiaiToan.com biên soạn và giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô tham khảo. Nội dung tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh học tốt môn Toán lớp 9 hiệu quả hơn. Mời các bạn tham khảo.
A. Cách chứng minh ba điểm thẳng hàng
Cách 1: Sử dụng hai góc kề bù có ba điểm nằm trên hai cạnh là hai tia đối nhau.
Cách 2: Hai đường thẳng cùng đi qua hai trong ba điểm ấy cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba
Cách 3: Hai đường thẳng cùng đi qua hai trong ba điểm ấy cùng song song với đường thẳng thứ ba
Cách 4: Sử dụng tính chất đường phân giác của một góc, tính chất đường trung trực của đoạn thẳng, tính chất ba đường cao của tam giác.
B. Bài tập chứng minh ba điểm thẳng hàng
Ví dụ 1: Cho nửa đường đường tròn (O; R), đường kính AB. Một điểm M cố định thuộc đoạn thẳng OB (M khác B và M khác O). Đường thẳng d vuông góc với AB tại M cắt nửa đường tròn đã cho tại N. Trên cung NB lấy điểm E bất kì (E khác B và E khác N). Tia BE cắt đường thẳng d tại C, đường thẳng AC cắt nửa đường tròn tại D. Gọi H là giao điểm của AE và đường thẳng d.
a) Chứng minh tứ giác BMHE nội tiếp đường tròn.
b) Chứng minh ba điểm B, D, H thẳng hàng.
Hướng dẫn giải
Hình vẽ minh họa
a) Ta có: 
(giả thiết)
(góc nột tiếp chắn nửa đường tròn)
Xét tứ giác HEBM ta có ở vị trí đối nhau và
Vậy tứ giác HEBM nội tiếp đường tròn.
b) Xét tam giác CAB có AE ⊥ CB nên AE là đường cao trong tam giác CAB.
CA ⊥ BD (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
=> BD là đường cao trong tam giác CAB
Ta có BD giao với AE tại H nên H là trực tâm của tam giác CAB.
Vậy B, H, D thẳng hàng.
Ví dụ 2: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB. Lấy điểm C trên đoạn thẳng OA (C khác O và C khác A). Đường thẳng đi qua C và vuông góc với AB cắt nửa đường tròn tại K. Gọi M là điểm bất kì trên cung BK (M khác B và K). Đường thẳng CK cắt các đường thẳng AM, BM lần lượt tại H và D. Đường thẳng BH cắt nửa đường tròn tại điểm thứ hai là N. Chứng minh ba điểm A, N, D thẳng hàng và tiếp tuyến tại N của nửa đường tròn đi qua trung điểm của HD.
Hướng dẫn giải
Hình vẽ minh họa:
a) Chứng minh AN ⊥ BN từ giả thiết N ∈ (O) đường kính AB.
Chứng minh AD ⊥ BN:
Chỉ ra AM, DC là hai đường cao của tam giác ABD, AM ∩ DC = {H} nên H là trực tâm của tam giác ABD
=> AD ⊥ BH hay AD ⊥ BN
=> Ba điểm A, N, D thẳng hàng.
b) Gọi I là trung điểm cuả DH. Chỉ ra tam giác DHN vuông tại N là có NI là trung tuyến
=> NI = DH/2 = DI (tính chất trung tuyến của tam giác vuông)
=> Tam giác IDN cân tại I =>
Chỉ ra tam giác OAN cân tại O =>
=>
Xét tam giác ACD vuông tại C nên
=> IN ⊥ ON
Mà ON là bán kính của (O) nên IN là tiếp tuyến của (O) hay tiếp tuyến N của (O) đi qua I là trung điểm của DH.
C. Bài tập tự luyện chứng minh ba điểm thẳng hàng
Bài tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường tròn đường kính AB cắt BC tại D khác B. Gọi M là điểm bất kì trên đoạn AD. Kẻ MH, MI lần lượt vuông góc với AB, AC tại H, I. Kẻ HK vuông góc với ID tại K. Chứng minh và tứ giác AIKM nội tiếp, từ đó chứng minh ba điểm K, M, B thẳng hàng.
Bài tập 2: Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy B làm tâm, vẽ đường tròn bán kính BA, lấy điểm C làm tâm, vẽ đường tròn bán kính AC. Hai đường tròn này cắt nhau tại điểm thứ hai là D. Vẽ AM và AN lần lượt là các dây cung của đường tròn (B) và (C) sao cho AM vuông góc với AN và D nằm giữa M và N. Chứng minh ba điểm M, D, N thẳng hàng.
Bài tập 3: Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB. Gọi C là điểm bất kì thuộc nửa đường tròn sao cho 0 < AC < BC. Gọi D là điểm thuộc cung nhỏ BC sao cho . Gọi E là giao điểm của AD và BC, F là giao điểm của AC và BD. Gọi I la trung điểm của EF. Chứng minh IC là tiếp tuyến của (O).
Bài tập 4: Cho hình thang ABCD có AB//CD. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và
BD. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, BC, AD. Gọi E là trung điểm của PN.
Chứng minh rằng ba điểm M, O, E thẳng hàng.
Bài tập 5: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O). Điểm M bất kỳ trên cung nhỏ
BC. Gọi E, F thứ tự là các điểm đối xứng của M qua AB, AC. Gọi H là trực tâm tam giác
ABC. Chứng minh rằng E, H, F thẳng hàng.
-------------------------------------
Hy vọng tài liệu Chứng minh ba điểm thẳng hàng sẽ giúp ích cho các bạn học sinh học nắm chắc kiến thức chuyên đề Đường tròn đồng thời học tốt môn Toán lớp 9. Chúc các bạn học tốt, mời các bạn tham khảo!
Ngoài ra mời quý thầy cô và học sinh tham khảo thêm một số nội dung:
Câu hỏi mở rộng củng cố kiến thức:
- Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (C) và tia phân giác của góc A cắt đường tròn tại M. Vẽ đường cao AH
- Từ điểm M ở bên ngoài đường tròn (O; R) vẽ hai tiếp tuyến MA, MB của (O) (với A, B là các tiếp điểm) và cát tuyến MDE không qua tâm O (D, E thuộc (O), D nằm giữa M và E).
- Một xe máy đi từ A đến B với vận tốc và thời gian dự tính trước. Sau khi đi được nửa quãng đường, xe máy tăng thêm 10km/h vì vậy xe máy đến B sớm hơn 30 phút so với dự định. Tính vận tốc dự định của xe máy, biết quãng đường AB dài 120km.
- Tìm hai số tự nhiên biết rằng tổng của chúng bằng 1006 và nếu lấy số lớn chia cho số nhỏ thì được thương là 2 và số dư là 124
- Một ôtô đi từ A và dự định đến B lúc 12 giờ trưa. Nếu xe chạy với vận tốc 35km/h thì sẽ đến B chậm 2 giờ so với quy định. Nếu xe chạy với vận tốc 50km/h thì sẽ đến B sớm 1 giờ so với dự định. Tính độ dài quãng đường AB và thời điểm xuất phát của oto tại A.
- Giải bài toán cổ sau Quýt, cam mười bảy quả tươi Đem chia cho một trăm người cùng vui
- Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình dạng chuyển động
- Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi 280m. Người ta làm 1 lối đi xung quanh vườn ( thuộc đất của vườn) rộng 2m. Diện tích còn lại để trồng trọt là 4256m2 . Tìm diện tích vườn lúc đầu.
- Hai ô tô đi ngược chiều từ A đến B, xuất phát không cùng lúc
- Cho tam giác ABC vuông tại A. trên AC lấy một điểm M và vẽ đường tròn đường kính MC. Kẻ BM cắt đường tròn tại D. Đường thẳng DA cắt đường tròn tại S. Chứng minh rằng:a. ABCD là một tứ giác nội tiếpb. c. CA là tia phân giác của góc SCB.
- Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB, C là một điểm nằm giữa O và A. Đường thẳng vuông góc với AB tại C cắt nửa đường tròn trên tại I, K là một điểm nằm bất kì trên đoạn thẳng CI (K khác C và I) tia AK cắt nửa đường tròn O tại M tia BM cắt tia CI tại D.Chứng minh:a) Các tứ giác ACMD, BCKM nội tiếp đường trònb) CK.CD = CA.CBc) Gọi N là giao điểm của AD và đường tròn O chứng minh B, K, N thẳng hàngd) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AKD nằm trên một đường thẳng cố định khi K di động trên đoạn thẳng CI
Bờm 
