Rút gọn biểu thức chứa căn Toán 9 Chuyên đề rút gọn biểu thức lớp 9

71 Đánh giá

Rút gọn biểu thức Toán 9

A. Cách rút gọn biểu thức và một số dạng toán liên quan
B. Bài tập rút gọn biểu thức chứa căn thức
C. Bài tập tự rèn luyện Rút gọn biểu thức

Rút gọn biểu thức chứa căn thức được xem là dạng toán căn bản quan trọng trong chương trình Toán 9 và đề thi tuyển sinh vào lớp 10. Tài liệu dưới đây do đội ngũ GiaiToan biên soạn và chia sẻ giúp học sinh hiểu rõ hơn về căn thức bậc hai cũng như bài toán rút gọn biểu thức.

A. Cách rút gọn biểu thức và một số dạng toán liên quan

1) Dạng 1: Rút gọn biểu thức có chứa căn

Phương pháp rút gọn biểu thức

Bước 1: Tìm điều kiện xác định.

Bước 2: Tìm mẫu thức chung, quy đồng mẫu thức, rút gọn tử thức, phân tích tử thức thành nhân tử.

Bước 3: Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung của tử và mẫu.

Bước 4: Khi nào phân thức được tối giản thì ta hoàn thành việc rút gọn.

2) Dạng 2: Tính giá trị của biểu thức tại x = x₀

Phương pháp:

Bước 1: Rút gọn biểu thức A..

Bước 2: Thay giá trị x = x₀ vào biểu thức đã rút gọn rồi tính kết quả.

3) Dạng 3: Tính giá trị của biến x để biểu thức A = k (hằng số)

Phương pháp:

Bước 1: Rút gọn biểu thức A.

Bước 2: Giải phương trình A – k = 0.

Bước 3: Kiểm tra nghiệm với điều kiện và kết luận.

B. Bài tập rút gọn biểu thức chứa căn thức

Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức:

a) $\sqrt {14 + 6\sqrt 5 } - \sqrt {14 - 6\sqrt 5 }$

b) $\sqrt {\left( {\sqrt 5 + 1} \right)\sqrt {6 - 2\sqrt 5 } }$

c) $\frac{{15}}{{\sqrt 6 - 1}} + \frac{8}{{\sqrt 6 + 2}} + \frac{6}{{3 - \sqrt 6 }} - 9\sqrt 6$

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

$\begin{matrix} \sqrt {14 + 6\sqrt 5 } - \sqrt {14 - 6\sqrt 5 } \hfill \\ = \sqrt {9 + 2.3\sqrt 5 + 5} - \sqrt {9 - 2.3\sqrt 5 + 5} \hfill \\ = \sqrt {{3^2} + 2.3\sqrt 5 + {{\left( {\sqrt 5 } \right)}^2}} - \sqrt {{3^2} - 2.3\sqrt 5 + {{\left( {\sqrt 5 } \right)}^2}} \hfill \\ = \sqrt {{{\left( {3 + \sqrt 5 } \right)}^2}} - \sqrt {{{\left( {3 - \sqrt 5 } \right)}^2}} \hfill \\ = \left| {3 + \sqrt 5 } \right| - \left| {3 - \sqrt 5 } \right| \hfill \\ = 3 + \sqrt 5 - \left( {3 - \sqrt 5 } \right) \hfill \\ = 3 + \sqrt 5 - 3 + \sqrt 5 = 2\sqrt 5 \hfill \\ \end{matrix}$

b) Ta có:

$\begin{matrix} \sqrt {\left( {\sqrt 5 + 1} \right)\sqrt {6 - 2\sqrt 5 } } = \sqrt {\left( {\sqrt 5 + 1} \right)\sqrt {{{\left( {\sqrt 5 } \right)}^2} - 2\sqrt 5 + {1^2}} } \hfill \\ = \sqrt {\left( {\sqrt 5 + 1} \right)\sqrt {{{\left( {\sqrt 5 - 1} \right)}^2}} } \hfill \\ = \sqrt {\left( {\sqrt 5 + 1} \right)\left| {\sqrt 5 - 1} \right|} \hfill \\ = \sqrt {\left( {\sqrt 5 + 1} \right)\left( {\sqrt 5 - 1} \right)} = \sqrt {5 - 1} = \sqrt 4 = 2 \hfill \\ \end{matrix}$

c) Ta có: $\dfrac{{15}}{{\sqrt 6 - 1}} + \dfrac{8}{{\sqrt 6 + 2}} + \dfrac{6}{{3 - \sqrt 6 }} - 9\sqrt 6$

$= \dfrac{{15\left( {\sqrt 6 + 1} \right)}}{{6 - 1}} + \dfrac{{8\left( {\sqrt 6 - 2} \right)}}{{6 - 4}} + \dfrac{{6\left( {3 + \sqrt 6 } \right)}}{{9 - 6}} - 9\sqrt 6$

$= \dfrac{{15\left( {\sqrt 6 + 1} \right)}}{5} + \dfrac{{8\left( {\sqrt 6 - 2} \right)}}{2} + \dfrac{{6\left( {3 + \sqrt 6 } \right)}}{3} - 9\sqrt 6$

$=3\left(\sqrt{6}+1\right)+4\left(\sqrt{6}-2\right)+2\left(3+\sqrt{6}\right)-9\sqrt{6}$

$=3\sqrt{6}+3+4\sqrt{6}-8+6+2\sqrt{6}-9\sqrt{6}$

$=(3\sqrt{6}+4\sqrt{6}+2\sqrt{6}-9\sqrt{6})+(3+6-8)$

= 0 + 1 = 1

Ví dụ 2: Cho biểu thức: $A = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 5}} - \frac{{10\sqrt x }}{{x - 25}} - \frac{5}{{\sqrt x + 5}}$ với x ≥ 0; x ≠ 25.

a) Rút gọn biểu thức A.

b) Tính giá trị của A khi x = 9.

c) Tính giá trị của x để biểu thức A = 0,5.

Hướng dẫn giải

a) $A = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 5}} - \frac{{10\sqrt x }}{{x - 25}} - \frac{5}{{\sqrt x + 5}}$

$\begin{matrix} A = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 5}} - \dfrac{{10\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 5} \right)\left( {\sqrt x + 5} \right)}} - \dfrac{5}{{\sqrt x + 5}} \hfill \\ A = \dfrac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 5} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 5} \right)\left( {\sqrt x + 5} \right)}} - \dfrac{{10\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 5} \right)\left( {\sqrt x + 5} \right)}} - \dfrac{{5\left( {\sqrt x - 5} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 5} \right)\left( {\sqrt x + 5} \right)}} \hfill \\ \end{matrix}$

$\begin{matrix} A = \dfrac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 5} \right) - 10\sqrt x - 5\left( {\sqrt x - 5} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 5} \right)\left( {\sqrt x + 5} \right)}} \hfill \\ A = \dfrac{{x + 5\sqrt x - 10\sqrt x - 5\sqrt x + 25}}{{\left( {\sqrt x - 5} \right)\left( {\sqrt x + 5} \right)}} \hfill \\ A = \dfrac{{x - 10\sqrt x + 25}}{{\left( {\sqrt x - 5} \right)\left( {\sqrt x + 5} \right)}} = \dfrac{{{{\left( {\sqrt x - 5} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt x - 5} \right)\left( {\sqrt x + 5} \right)}} = \dfrac{{\sqrt x - 5}}{{\sqrt x + 5}} \hfill \\ \end{matrix}$

b) Thay x = 9 vào biểu thức ta có: $A = \frac{{\sqrt 9 - 5}}{{\sqrt 9 + 5}} = \frac{{3 - 5}}{{3 + 5}} = \frac{{ - 2}}{8} = - \frac{1}{4}$

Kết luận khi x = 9 thì $A = - \frac{1}{4}$

c. Để A = 0,5 $\Leftrightarrow \frac{\sqrt{x}-5}{\sqrt{x}+5}=\frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow 2(\sqrt{x}-5)=\sqrt{x}+5$

$\Leftrightarrow 2\sqrt{x}-10=\sqrt{x}+5$

$\Leftrightarrow \sqrt{x}=15$

$\Leftrightarrow x=225$ (thỏa mãn điều kiện)

Vậy x = 225 thì A = 0,5

Ví dụ 3: Cho các biểu thức $H = \frac{{x - \sqrt[3]{x}}}{{x - 1}}$ và $K = \frac{1}{{\sqrt[3]{x} - 1}} + \frac{1}{{\sqrt[3]{{{x^2}}} + \sqrt[3]{x} + 1}}$ với x ≠ 1.

a) Tính giá trị của biểu thức H khi x = 8.

b) Rút gọn biểu thức P = H + K.

c) Tìm giá trị của x để P = 1,5.

Hướng dẫn giải

a) Thay x = 8 vào biểu thức H, ta có:

$H = \frac{{8 - \sqrt[3]{8}}}{{8 - 1}} = \frac{{8 - 2}}{7} = \frac{6}{7}$

Vậy $H=\frac{6}{7}$ khi x = 8

b) Ta có: P = H + K

$\Rightarrow P = \dfrac{{x - \sqrt[3]{x}}}{{x - 1}} + \dfrac{1}{{\sqrt[3]{x} - 1}} + \frac{1}{{\sqrt[3]{{{x^2}}} + \sqrt[3]{x} + 1}}$

$P = \dfrac{{x - \sqrt[3]{x}}}{{\left( {\sqrt[3]{x} - 1} \right)\left( {\sqrt[3]{{{x^2}}} + \sqrt[3]{x} + 1} \right)}} + \dfrac{1}{{\sqrt[3]{x} - 1}} + \frac{1}{{\sqrt[3]{{{x^2}}} + \sqrt[3]{x} + 1}}$

$\begin{matrix} P = \dfrac{{x - \sqrt[3]{x}}}{{\left( {\sqrt[3]{x} - 1} \right)\left( {\sqrt[3]{{{x^2}}} + \sqrt[3]{x} + 1} \right)}} + \dfrac{{\sqrt[3]{{{x^2}}} + \sqrt[3]{x} + 1}}{{\left( {\sqrt[3]{x} - 1} \right)\left( {\sqrt[3]{{{x^2}}} + \sqrt[3]{x} + 1} \right)}} + \dfrac{{\sqrt[3]{x} - 1}}{{\left( {\sqrt[3]{x} - 1} \right)\left( {\sqrt[3]{{{x^2}}} + \sqrt[3]{x} + 1} \right)}} \hfill \\ P = \dfrac{{x - \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{{{x^2}}} + \sqrt[3]{x} + 1 + \sqrt[3]{x} - 1}}{{\left( {\sqrt[3]{x} - 1} \right)\left( {\sqrt[3]{{{x^2}}} + \sqrt[3]{x} + 1} \right)}} = \dfrac{{x + \sqrt[3]{{{x^2}}} + \sqrt[3]{x}}}{{\left( {\sqrt[3]{x} - 1} \right)\left( {\sqrt[3]{{{x^2}}} + \sqrt[3]{x} + 1} \right)}} \hfill \\ \end{matrix}$

$P = \frac{{\sqrt[3]{x}\left( {\sqrt[3]{{{x^2}}} + \sqrt[3]{x} + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt[3]{x} - 1} \right)\left( {\sqrt[3]{{{x^2}}} + \sqrt[3]{x} + 1} \right)}} = \frac{{\sqrt[3]{x}}}{{\sqrt[3]{x} - 1}}$

c) Để P = 1,5 $\Leftrightarrow \frac{{\sqrt[3]{x}}}{{\sqrt[3]{x} - 1}} =\frac{3}{2}$

$\Leftrightarrow \ 3\left(\sqrt[3]{x}-1\right)=2\sqrt[3]{x}$

$\Leftrightarrow \ 3\sqrt[3]{x}-3=2\sqrt[3]{x}$

$\Leftrightarrow \ \sqrt[3]{x}=3$

$\Leftrightarrow x=27$ (thỏa mãn điều kiện)

Vậy x = 27 thì P = 1,5.

C. Bài tập tự rèn luyện Rút gọn biểu thức

Bài 1:

a) $\left( {1 - \frac{{\sqrt 5 + 5}}{{1 + \sqrt 5 }}} \right)\left( {\frac{{5 - \sqrt 5 }}{{1 - \sqrt 5 }} - 1} \right)$ . Đáp số: 4

b) $\frac{{3 + 2\sqrt 3 }}{{\sqrt 3 }} + \frac{{2 + \sqrt 2 }}{{1 + \sqrt 2 }} - \left( {2 + \sqrt 3 } \right)$ . Đáp số: $\frac{{2 + \sqrt 2 }}{{1 + \sqrt 2 }}$

c) $\sqrt {5 - 2\sqrt 6 } - \sqrt {{{\left( {\sqrt 2 - 5\sqrt 3 } \right)}^2}}$ . Đáp số: $-4\sqrt{3}$

d) $\sqrt {{{\left( {1 - \sqrt 3 } \right)}^2}} + \sqrt {4 - 2\sqrt 3 }$ . Đáp số: $2\sqrt{3}-2$

e) $\sqrt {15 - 6\sqrt 6 } + \sqrt {33 - 12\sqrt 6 }$ . Đáp số: $\sqrt{6}$

Bài 2: Rút gọn các biểu thức sau:

a) $M = {\left( {\frac{{\sqrt x }}{2} - \frac{1}{{2\sqrt x }}} \right)^2}\left( {\frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}} - \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}}} \right)$ với x > 0, x ≠ 1

b) $N = \left( {\frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}} - \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}} + 4\sqrt x } \right):\frac{{2x\sqrt x }}{{x - 1}}$ với x ≥ 0, x ≠ 9

c) $P = \frac{{x + y}}{{\sqrt x + \sqrt y }}:\left( {\frac{{x + y}}{{x - y}} - \frac{y}{{y - \sqrt {xy} }} + \frac{x}{{\sqrt {xy} + x}}} \right) - \frac{{\sqrt {{{\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)}^2}} }}{2}$ với y > x > 0

Bài 3: Cho biểu thức: $B = \left( {\frac{1}{{\sqrt x - 1}} - \frac{1}{{\sqrt x }}} \right):\left( {\frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 2}} - \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 1}}} \right)$

a) Tìm điều kiện của x để biểu thức B có nghĩa.

b) Tính giá trị của biểu thức B biết $x = 9 - 4\sqrt 5$

c) Tìm giá trị của x để B dương.

Xem lời giải chi tiết

Bài 4: Cho biểu thức: $C = \left( {\frac{1}{{\sqrt x - 2}} + \frac{{5\sqrt x - 4}}{{2\sqrt x - x}}} \right):\left( {\frac{{2 + \sqrt x }}{{\sqrt x }} - \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}}} \right)$

a) Tìm điều kiện của x để biểu thức C có nghĩa.

b) Rút gọn biểu thức C.

c) Tính giá trị của biểu thức C biết $x = \frac{{3 - \sqrt 5 }}{2}$ .

Xem lời giải chi tiết

Bài 5: Cho biểu thức: $D = \frac{3}{{\sqrt x + 1}} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}} - \frac{{6\sqrt x - 4}}{{x - 1}}$

a) Tìm điều kiện xác định của D.

b) Rút gọn biểu thức D.

c) Tính giá trị của x để biểu thức D < 0,5.

Xem lời giải chi tiết

Bài 6: Cho biểu thức: $E = \left( {\frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}} - \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}} - \frac{{3x - 3}}{{x - 9}}} \right):\left( {\frac{{2\sqrt x - 2}}{{\sqrt x - 3}} - 1} \right)$

a) Tìm điều kiện xác định của E.

b) Rút gọn biểu thức E.

c) Tính giá trị của x để biểu thức E < − 0,5.

Bài 7: Cho biểu thức: $F = \left( {\frac{{x - 7\sqrt x + 12}}{{x - 4\sqrt x + 3}} + \frac{1}{{\sqrt x - 1}}} \right).\frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 3}}$ với x ≥ 0, x ≠ 1, x ≠ 9

a) Rút gọn biểu thức F.

b) Tìm giá trị của x để F > 0,75.

c) Tìm x để F = 2.

Xem lời giải chi tiết

Bài 8: Chứng minh rằng $\sqrt {2 - \sqrt 3 } + \sqrt {2 + \sqrt 3 } = \sqrt 6$

Bài 9: Cho biểu thức: $A = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}};B = \left( {\frac{1}{{\sqrt x - 1}} + \frac{{\sqrt x }}{{x - 1}}} \right).\frac{{x - \sqrt x }}{{2\sqrt x + 1}}$

a) Rút gọn biểu thức B.

b) Tính giá trị của A khi $x = 5 + 2\sqrt 6$

c) Với x ∈ N, x ≠ 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = A . B.

Xem lời giải chi tiết

Bài 10: Cho biểu thức $P=\left(\frac{x}{x\sqrt{x}-4\sqrt{x}}-\frac{6}{3\sqrt{x}-6}+\frac{1}{\sqrt{x}+2}\right):\left(\sqrt{x}-2+\frac{10-x}{\sqrt{x}+2}\right)$

(với x > 0, x ≠ 4).

a) Rút gọn biểu thức P

b) Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức $Q=\left(-\sqrt{x}-1\right).P$ đạt giá trị nguyên.

Xem lời giải chi tiết

Bài 11: Cho biểu thức $A=\left(\frac{x\sqrt{x}-1}{x-\sqrt{x}}-\frac{x\sqrt{x}+1}{x+\sqrt{x}}\right):\frac{x-2\sqrt{x}+1}{x-1}$

a) Rút gọn biểu thức A.

b) Tìm x để |A| > 0

c) Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên

Xem lời giải chi tiết

Bài 12: Cho biểu thức: $A = \frac{{x - 2\sqrt x }}{{x\sqrt x - 1}} + \frac{{\sqrt x + 1}}{{x\sqrt x + x + \sqrt x }} + \frac{{1 + 2x - 2\sqrt x }}{{{x^2} - \sqrt x }}$ (điều kiện x > 0, x ≠ 1)

a) Rút gọn biểu thức A.

b) Tìm giá trị của x để A nhận giá trị là số nguyên.

Bài 13: Cho biểu thức: $B = \frac{{2\sqrt x + 13}}{{x + 5\sqrt x + 6}} + \frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 2}};A = \frac{{2\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 3}};\left( {x \geqslant 0} \right)$