Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi m Chuyên đề Toán lớp 9 luyện thi vào lớp 10

25 Đánh giá

Chứng minh phương trình luôn có nghiệm

A. Cách chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi m
B. Ví dụ chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi m
C. Bài tập chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m

Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m là một dạng toán khó thường gặp trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán. Tài liệu được GiaiToan.com biên soạn và giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô tham khảo. Nội dung tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh học tốt môn Toán lớp 9 hiệu quả hơn. Mời các bạn tham khảo.

A. Cách chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi m

Bước 1: Tính Delta

Bước 2: Biến đổi biểu thức Delta, chứng minh Delta luôn dương thì phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m.

Bước 3: Kết luận.

B. Ví dụ chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi m

Ví dụ 1: Cho phương trình x² - 2(m - 1)x + m - 3 = 0 (m là tham số)

a) Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

b) Tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình đã cho mà không phụ thuộc vào m.

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

$\Delta' = {\left[ { - \left( {m - 1} \right)} \right]^2} - 1\left( {m - 3} \right) = {m^2} - 3m + 4 = {\left( {m - \frac{3}{2}} \right)^2} + \frac{7}{4} > 0;\forall m$

Vậy phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của tham số m

b) Theo hệ thức Vi – et ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1} + {x_2} = 2\left( {m - 1} \right)} \\ {{x_1}.{x_2} = m - 3} \end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1} + {x_2} = 2m - 2} \\ {2{x_1}.{x_2} = 2m - 6} \end{array}} \right.$

Vậy hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình không phụ thuộc vào tham số m là:

$x_1+x_2-2x_1.x_2=4$

$\Leftrightarrow x_1+x_2-2x_1.x_2-4 =0$

Ví dụ 2: Cho phương trình x² - 2(m - 1)x + 2m - 5 (m là tham số)

a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

b) Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ thỏa mãn x₁ < 1 < x₂

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

$\begin{matrix} \Delta = {\left[ { - \left( {m - 1} \right)} \right]^2} -\left( {2m - 5} \right) \hfill \\ \Delta = {m^2} - 4m + 6 \hfill \\ \Delta = {{m}^2} - 2.m.2 + 4 + 2 = {\left( {m - 2} \right)^2} + 2 > 0\forall m \hfill \\ \end{matrix}$

Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của tham số m.

b) Theo hệ thức Vi – et ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1} + {x_2} = 2m - 2} \\ {{x_1}.{x_2} = 2m - 5} \end{array}\left( * \right)} \right.$

Theo giả thiết ta có: x₁ < 1 < x₂

=> $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1} - 1 < 0} \\ {{x_2} - 1 > 0} \end{array}} \right.$

=> (x₁ – 1)(x₂ – 1) < 0

=> x₁x₂ – (x₁ + x₂) + 1 < 0 (**)

Từ (*) và (**) ta có: (2m – 5) – (2m – 2) + 1 < 0

=> – 2 < 0, đúng với mọi giá trị của m

Vậy với mọi giá trị của m phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ thỏa mãn x₁ < 1 < x₂

C. Bài tập chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m

Bài tập 1: Cho phương trình x² - mx + m - 2 = 0 (m là tham số). Chứng minh phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của tham số m.

Bài tập 2: Cho phương trình x² - (2m + 1)x + m² + m - 1 = 0 (m là tham số)

a) Chứng minh rằng phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m.

b) Gọi x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình. Tìm m sao cho A = (2x₁ – x₂)(2x₂ – x₁) đạt giá trị nhỏ nhất và tính giá trị nhỏ nhất đó.

Xem lời giải chi tiết

Bài tập 3: Cho phương trình ${x^2} - 2mx + {m^2} - \frac{1}{2} = 0$ (m là tham số)