Không dùng máy tính cầm tay, tính giá trị biểu thức Chuyên đề Toán 9 thi vào 10

1 Đánh giá

Tính giá trị của biểu thức

A. Phương pháp
B. Các công thức biến đổi căn thức thường gặp:
C. Một số bài tập ví dụ
D. Bài tập tự luận

Bài tập tính giá trị của biểu thức không sử dụng máy tính cầm tay gồm hướng dẫn giải chi tiết cho dạng toán về căn thức lớp 9. Qua đó sẽ giúp các bạn học sinh ôn tập các kiến thức, chuẩn bị cho các bài thi học kì và ôn thi vào lớp 10 và làm tốt đề tuyển sinh lớp 10 môn Toán sắp tới hiệu quả nhất.

A. Phương pháp

Vận dụng một số kiến thức cơ bản để tính giá trị biểu thức:

+ Hằng đẳng thức đáng nhớ

+ Các phép biến đổi căn thức bậc hai

+ Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử: Bằng cách phân tích thành nhân tử ta có thể rút gọn nhân tử chung ở cả tử và mẫu của một phân thức.

+ Các tính chất cơ bản của một phân thức. Sử dụng các tính chất này ta có thể nhân với biểu thức liên hợp của tử (hoặc mẫu) của một phân thức, giản ước cho một số hạng khác 0, đổi dấu phân thức,... đưa phân thức về dạng rút gọn.

B. Các công thức biến đổi căn thức thường gặp:

$\sqrt A$ có nghĩa khi A ≥ 0
$\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|$
$\sqrt {AB} = \sqrt A .\sqrt B$ (với điều kiện A ≥ 0; B ≥ 0)
$\sqrt {\frac{A}{B}} = \frac{{\sqrt A }}{{\sqrt B }}$ (với điều kiện A ≥ 0; b > 0)
$\sqrt {{A^2}B} = \left| A \right|\sqrt B$ (với điều kiện B ≥ 0)
$A\sqrt B = \sqrt {{A^2}B}$ (với điều kiện A ≥ 0; B ≥ 0)
$A\sqrt B = - \sqrt {{A^2}B}$ (với điều kiện A < 0; B ≥ 0)
$\sqrt {\frac{A}{B}} = \frac{1}{{\left| B \right|}}\sqrt {AB}$ (với điều kiện A ≥ 0; B > 0)
$\frac{A}{{\sqrt B }} = \frac{{A\sqrt B }}{B}$ (với điều kiện B > 0)
$\frac{C}{{\sqrt A \pm \sqrt B }} = \frac{{C\left( {\sqrt A \mp \sqrt B } \right)}}{{A - B}}$ (với điều kiện A ≥ 0; B ≥ 0; A ≠ B)

C. Một số bài tập ví dụ

Ví dụ 1: Không sử dụng máy tính cầm tay, tính giá trị biểu thức:

$B=\frac{2\sqrt{3+\sqrt{5-\sqrt{13+\sqrt{48}}}}}{\sqrt{6}-\sqrt{2}}$

Lời giải chi tiết:

$B=\frac{2\sqrt{3+\sqrt{5-\sqrt{13+\sqrt{48}}}}}{\sqrt{6}-\sqrt{2}}$

$=\frac{2\sqrt{3+\sqrt{5-\sqrt{12+2\sqrt{12}+1}}}}{\sqrt{6}-\sqrt{2}}$

$=\frac{2\sqrt{3+\sqrt{5-\sqrt{\left(2\sqrt{3}+1\right)^2}}}}{\sqrt{6}-\sqrt{2}}$

$=\frac{2\sqrt{3+\sqrt{4-2\sqrt{3}}}}{\sqrt{6}-\sqrt{2}}$ $=\frac{2\sqrt{3+\sqrt{\left(\sqrt{3}-1\right)^2}}}{\sqrt{6}-\sqrt{2}}$

$=\frac{2\sqrt{2+\sqrt{3}}}{\sqrt{6}-\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{4+2\sqrt{3}}}{\sqrt{3}-1}=\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}=2+\sqrt{3}$

Ví dụ 2: Không sử dụng máy tính cầm tay, tính giá trị biểu thức:

$A=\sqrt{4+\sqrt{10+2\sqrt{5}}}+\sqrt{4-\sqrt{10+2\sqrt{5}}}$

Lời giải chi tiết:

Ta có: $A^2=\left(\sqrt{4+\sqrt{10+2\sqrt{5}}}+\sqrt{4-\sqrt{10+2\sqrt{5}}}\right)^2$

$=8+2\sqrt{\left(4+\sqrt{10+2\sqrt{5}}\right)\left(4-\sqrt{10+2\sqrt{5}}\right)}$

$=8+2\sqrt{16-(10+2\sqrt{5})}$

$=8+2\sqrt{6+2\sqrt{5}}$

$=8+2(\sqrt{5}-1) =6+2\sqrt{5} =(\sqrt{5}+1)^2$

Do đó $A=\sqrt{5}+1$

Ví dụ 3: Không sử dụng máy tính cầm tay, tính giá trị biểu thức:

$C=\frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}+\sqrt{2-\sqrt{3}}}{\sqrt{2+\sqrt{3}}-\sqrt{2-\sqrt{3}}}-\frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}-\sqrt{2-\sqrt{3}}}{\sqrt{2+\sqrt{3}}+\sqrt{2-\sqrt{3}}}$

Lời giải chi tiết:

$C=\frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}+\sqrt{2-\sqrt{3}}}{\sqrt{2+\sqrt{3}}-\sqrt{2-\sqrt{3}}}-\frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}-\sqrt{2-\sqrt{3}}}{\sqrt{2+\sqrt{3}}+\sqrt{2-\sqrt{3}}}$

Nhân cả tử và mẫu của phân thức với biểu thức liên hợp của tử, ta được:

$C=\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)-\left(2-\sqrt{3}\right)}{4-2\sqrt{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)}}-\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)-\left(2-\sqrt{3}\right)}{4+2\sqrt{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)}}$

$C=\frac{2\sqrt{3}}{4-2}-\frac{2\sqrt{3}}{4+2} =\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{2}{\sqrt{3}}$

Ví dụ 4: Không sử dụng máy tính cầm tay, tính giá trị biểu thức:

$E=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{4}}{4+\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{6}+\sqrt{8}}$

Lời giải chi tiết:

$E=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{4}}{4+\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{6}+\sqrt{8}}$

$E=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{4}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+2+2+\sqrt{6}+\sqrt{8}}$

$E=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{4}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{4}+\sqrt{4}+\sqrt{6}+\sqrt{8}}$

$E=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{4}}{\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{4}\right)+\sqrt{2}\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{4}\right)}$

$E=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{4}}{\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{4}\right)\left(1+\sqrt{2}\right)}$

$E=\frac{1}{\sqrt{2}+1}=\sqrt{2}-1$

D. Bài tập tự luận

Không sử dụng máy tính cầm tay, tính giá trị các biểu thức sau:

a) $A=\sqrt[3]{20+14\sqrt{2}}+\sqrt[3]{20-14\sqrt{2}}$

b) $B=\sqrt{\sqrt{5}-\sqrt{3-\sqrt{29-12\sqrt{5}}}}$

c) $C=\frac{\sqrt{15-10\sqrt{2}}+\sqrt{13+4\sqrt{10}}-\sqrt{11-2\sqrt{10}}}{2\sqrt{3+2\sqrt{2}}+\sqrt{9-4\sqrt{2}}+\sqrt{12+8\sqrt{2}}}$

d) $D=\frac{20}{3+\sqrt{5}+\sqrt{2+2\sqrt{5}}}$

-----------------------------------------------------

Hy vọng tài liệu Không dùng máy tính cầm tay, tính giá trị của biểu thức sẽ giúp ích cho các bạn học sinh học nắm chắc các cách biến đổi biểu thức chứa căn đồng thời học tốt môn Toán lớp 9. Chúc các bạn học tốt, mời các bạn tham khảo!

Ngoài ra mời quý thầy cô và học sinh tham khảo thêm một số nội dung:

Tài liệu liên quan: