Tìm giá trị x nguyên để A nhận giá trị nguyên Chuyên đề Toán lớp 9 luyện thi vào lớp 10

43 Đánh giá

Tìm giá trị của x để biểu thức nhận giá trị nguyên

1. Cách tìm x nguyên để biểu thức đạt giá trị nguyên
2. Ví dụ tìm giá trị nguyên x để biểu thức nguyên
3. Bài tập tìm giá trị x nguyên để biểu thức nhận giá trị nguyên

Tìm x nguyên để biểu thức A nhận giá trị nguyên là một dạng toán khó thường gặp trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán. Tài liệu được GiaiToan biên soạn và giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô tham khảo. Nội dung tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh học tốt môn Toán lớp 9 hiệu quả hơn. Mời các bạn tham khảo.

Tài liệu liên quan:

1. Cách tìm x nguyên để biểu thức đạt giá trị nguyên

Bước 1: Biến đổi biểu thức về dạng $A = f\left( x \right) + \frac{k}{{g\left( x \right)}}$ trong đó f(x) là một biểu thức nguyên khi x nguyên và k có giá trị là số nguyên.

Bước 2: Để A nhận giá trị nguyên $\frac{k}{{g\left( x \right)}}$ thì nguyên hay $k \vdots g\left( x \right)$ nghĩa là g(x) thuộc tập ước của k.

Bước 3: Lập bảng để tính các giá trị của x

Bước 4: Kết hợp với điều kiện đề bài, loại bỏ những giá trị không phù hợp, sau đó kết luận bài toán

2. Ví dụ tìm giá trị nguyên x để biểu thức nguyên

Ví dụ 1: Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức $D = \frac{7}{{\sqrt x + 3}}$ nhận giá trị nguyên.

Hướng dẫn giải

Điều kiện xác định $x \geqslant 0$

Để biểu thức D nhận giá trị nguyên $\sqrt x + 3 \in U\left( 7 \right) = \left\{ { \pm 1; \pm 7} \right\}$

$\begin{matrix} x \geqslant 0 \Rightarrow \sqrt x + 3 \geqslant 3 \hfill \\ \Rightarrow \sqrt x + 3 = 7 \hfill \\ \Rightarrow \sqrt x = 4 \Rightarrow x = 16\left( {tm} \right) \hfill \\ \end{matrix}$

Vậy x = 16 thì D nhận giá trị nguyên.

Ví dụ 2: Tìm x ∈ $\mathbb{Z}$ để biểu thức $E = \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x + 1}}$ nhận giá trị nguyên.

Hướng dẫn giải

Điều kiện xác định: $x \geqslant 0$

Ta có: $E = \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x + 1}} = \frac{{\sqrt x + 1 + 1}}{{\sqrt x + 1}} = 1 + \frac{1}{{\sqrt x + 1}}$

Để E nhận giá trị nguyên $\frac{1}{{\sqrt x + 1}} \in \mathbb{Z}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{{\sqrt x + 1}} \in U\left( 1 \right) = \left\{ { \pm 1} \right\}$

Mà $\sqrt x + 1 \geqslant 1 \Rightarrow \sqrt x + 1 = 1 \Rightarrow x = 0$

Vậy x = 0 thì E nhận giá trị nguyên.

Ví dụ 3: Cho biểu thức $A = \left( {\frac{1}{{\sqrt x + 1}} + \frac{5}{{\sqrt x - 3}} - \frac{6}{{9 - x}}} \right):\frac{6}{{\sqrt x + 2}}$

a) Rút gọn biểu thức A.

b) Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức A đạt giá trị nguyên.

Hướng dẫn giải

a) Điều kiện xác định: x ≥ 0, x ≠ 9.

$\begin{matrix} A = \left( {\dfrac{1}{{\sqrt x + 1}} + \dfrac{5}{{\sqrt x - 3}} - \dfrac{6}{{9 - x}}} \right):\dfrac{6}{{\sqrt x + 2}} \hfill \\ A = \dfrac{{\sqrt x - 3 + 5\left( {\sqrt x + 3} \right) + 6}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}.\dfrac{{\sqrt x + 2}}{6} \hfill \\ A = \dfrac{{6\sqrt x + 18}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}.\dfrac{{\sqrt x + 2}}{6} \hfill \\ A = \dfrac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 3}} \hfill \\ \end{matrix}$

b) Ta có: $A = \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 3}} = \frac{{\sqrt x - 3 + 5}}{{\sqrt x - 3}} = 1 + \frac{5}{{\sqrt x - 3}}$

A có giá trị nguyên nghĩa là $\frac{5}{{\sqrt x - 3}}$ có giá trị nguyên

$\Rightarrow \sqrt x - 3 \in U\left( 5 \right) \Rightarrow \sqrt x - 3 \in \left\{ { - 1;1; - 5;5} \right\}$

Ta biết rằng khi x là số nguyên thì hoặc $\sqrt x$ là số nguyên (nếu x là số chính phương) hoặc $\sqrt x$ là số vô tỉ (nếu x không là số chính phương)

Để $\frac{5}{{\sqrt x - 3}}$ là số nguyên thì $\sqrt x$ không thể là số vô tỉ

Do đó $\sqrt x$ là số nguyên

=> $\sqrt x - 3$ là ước tự nhiên của 5

Ta có bảng giá trị như sau:

$\sqrt x - 3$	1	-1	5	-5
$\sqrt x$	4	2	8	-2
x	16 (thỏa mãn)	4 (thỏa mãn)	64 (thỏa mãn)

Vậy để biểu thức A đạt giá trị nguyên thì x ∈ {16; 4; 64}

Ví dụ 4: Cho biểu thức $A = \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 2}},B = \left( {\frac{{\sqrt x }}{{x - 4}} + \frac{1}{{\sqrt x - 2}}} \right):\frac{{\sqrt x + 2}}{{x - 4}};\left( {x \geqslant 0,x \ne 4} \right)$

a) Rút gọn biểu thức B

b) Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức P = A(B - 2) đạt giá trị nguyên.

Hướng dẫn giải

a) Điều kiện xác định: x ≥ 0, x ≠ 4

$B = \frac{{2\sqrt x + 2}}{{\sqrt x + 2}}$

b) Ta có: $P = A\left( {B - 2} \right) = \frac{{ - 2}}{{\sqrt x - 2}}$

P có giá trị nguyên nghĩa là $\frac{{ - 2}}{{\sqrt x - 2}}$ có giá trị nguyên

$\Rightarrow \sqrt x - 2 \in U\left( 2 \right) \Rightarrow \sqrt x - 2 \in \left\{ { - 1;1; - 2;2} \right\}$

Ta biết rằng khi x là số nguyên thì hoặc $\sqrt x$ là số nguyên (nếu x là số chính phương) hoặc $\sqrt x$ là số vô tỉ (nếu x không là số chính phương)

Để $\frac{{ - 2}}{{\sqrt x - 2}}$ là số nguyên thì $\sqrt x$ không thể là số vô tỉ

Do đó $\sqrt x$ là số nguyên

=> $\sqrt x - 2$ là ước tự nhiên của

Ta có bảng giá trị như sau:

$\sqrt x - 2$	1	-1	2	-2
$\sqrt x$	3	1	4	0
x	9	1	16	0

Vậy để biểu thức A đạt giá trị nguyên thì x ∈ {3; 1; 16}

Ví dụ 5: Cho biểu thức: $A = \frac{{x\left( {\sqrt {x + 4\sqrt {x - 4} } + \sqrt {x - 4\sqrt {x - 4} } } \right)}}{{\sqrt {{x^2} - 8x + 16} }}$ với x > 4

a) Rút gọn biểu thức A

b) Tìm giá trị của x để biểu thức A đạt giá trị nhỏ nhất.

c) Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên.

Hướng dẫn giải

a) Điều kiện để biểu thức A xác định là x > 4

Thực hiện rút gọn phân số ta có:

$\begin{matrix} A = \dfrac{{x\left( {\sqrt {x + 4\sqrt {x - 4} } + \sqrt {x - 4\sqrt {x - 4} } } \right)}}{{\sqrt {{x^2} - 8x + 16} }} \hfill \\ A = \dfrac{{x\left( {\sqrt {{{\left( {\sqrt {x - 4} + 2} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {\sqrt {x - 4} - 2} \right)}^2}} } \right)}}{{\sqrt {{{\left( {x - 4} \right)}^2}} }} \hfill \\ A = \dfrac{{x\left( {\left| {\sqrt {x - 4} + 2} \right| + \left| {\sqrt {x - 4} - 2} \right|} \right)}}{{\left| {x - 4} \right|}} \hfill \\ A = \dfrac{{x\left( {\sqrt {x - 4} + 2 + \left| {\sqrt {x - 4} - 2} \right|} \right)}}{{x - 4}} \hfill \\ \end{matrix}$

Trường hợp 1: Nếu 4 < x < 8 thì $\sqrt {x - 4} < 2$ khi đó

$A = \frac{{x\left( {\sqrt {x - 4} + 2 + 2 - \sqrt {x - 4} } \right)}}{{x - 4}} = \frac{{4x}}{{x - 4}} = 4 + \frac{{16}}{{x - 4}}$

Do 4 < x < 8 nên 0 < x - 4 < 4 => A > 8

Trường hợp 2: Nếu x ≥ 8 thì $\sqrt {x - 4} \geqslant 2$ khi đó:

$A = \frac{{x\left( {\sqrt {x - 4} + 2 + \sqrt {x - 4} - 2} \right)}}{{x - 4}} = \frac{{2x\sqrt {x - 4} }}{{x - 4}} = \frac{{2x}}{{\sqrt {x - 4} }}$

$= 2\sqrt {x - 4} + \frac{8}{{\sqrt {x - 4} }} \geqslant 2\sqrt {16} = 8$ (Áp dụng bất đẳng thức Cauchy)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = 8

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A bằng 8 khi x = 8

c) Xét 4 < x < 8 thì $A = 4 + \frac{{16}}{{x - 4}}$ . Ta thấy biểu thức A nguyên khi và chỉ khi $\frac{{16}}{{x - 4}} \in \mathbb{Z}$ => x = 4 là ước số nguyên dương của 16

Ta có Ư(16) = {1; 2; 4; 8; 16}

Hay x - 4 ∈ {1; 2; 4; 8; 16}

=> x ∈ {5; 6; 8; 12; 20} đối chiếu với điều kiện suy ra x = 5 hoặc x = 6

Xét x ≥ 8 ta có:

$A = \frac{{2x}}{{\sqrt {x - 4} }}$ . Đặt $\sqrt {x - 4} = m$ $\Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = {m^2} + 4} \\ {m \geqslant 2} \end{array}} \right.$ . Khi đó ta có:

$A = \frac{{2\left( {{m^2} + 4} \right)}}{m} = 2m + \frac{8}{m}$ suy ra m ∈ {2; 4; 8} => x ∈ {8; 20; 68}

Kết luận: Để A nhận giá trị nguyên thì x ∈ {5; 6; 8; 20; 68}.

Ví dụ: Cho biểu thức: $P = \frac{x}{{x - \sqrt x }} + \frac{2}{{x + 2\sqrt x }} + \frac{{x + 2}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + 2\sqrt x } \right)}}$

a) Rút gọn biểu thức P.

b) Tính giá trị biểu thức P khi $x = 3 + 2\sqrt 2$

c) Tính giá trị nguyên của x để biểu thức P nhận giá trị nguyên.

Hướng dẫn giải

a) Rút gọn biểu thức P.

$\begin{matrix} P = \dfrac{x}{{x - \sqrt x }} + \dfrac{2}{{x + 2\sqrt x }} + \dfrac{{x + 2}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + 2\sqrt x } \right)}} \hfill \\ P = \dfrac{x}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}} + \dfrac{2}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right)}} + \dfrac{{x + 2}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}} \hfill \\ P = \dfrac{{x\left( {\sqrt x + 2} \right) + 2\left( {\sqrt x - 1} \right) + x + 2}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}} \hfill \\ P = \dfrac{{x\sqrt x + 2x + 2\sqrt x - 2 + x + 2}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}} \hfill \\ \end{matrix}$

$\begin{matrix} P = \dfrac{{x\sqrt x + 2x + 2\sqrt x + x}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}} \hfill \\ P = \dfrac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}} = \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}} \hfill \\ \end{matrix}$

b) Tính giá trị biểu thức P khi $x = 3 + 2\sqrt 2$

Ta có:

$x = 3 + 2\sqrt 2 \Rightarrow \sqrt x = \sqrt {2 + 2\sqrt 2 + 1} = \sqrt {{{\left( {\sqrt 2 + 1} \right)}^2}} = \sqrt 2 + 1$

Thay vào biểu thức rút gọn P ta có:

$P = \frac{{\sqrt 2 + 1 + 1}}{{\sqrt 2 + 1 - 1}} = 1 + \sqrt 2$

c) Tính giá trị nguyên của x để biểu thức P nhận giá trị nguyên.

Điều kiện xác định $x > 0,x \ne 1$

$P = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}} = \frac{{\sqrt x - 1 + 2}}{{\sqrt x - 1}} = 1 + \frac{2}{{\sqrt x - 1}}$

Học sinh lập luận để tìm ra x = 4 hoặc x = 9

Ví dụ: Cho biểu thức: $M = \frac{{3a + \sqrt {9a} - 3}}{{a + \sqrt a - 2}} - \frac{{\sqrt a + 1}}{{\sqrt a + 2}} + \frac{{\sqrt a - 2}}{{1 - \sqrt a }};\left( {a \geqslant 0,a \ne 1} \right)$

a) Rút gọn biểu thức M.

b) Tìm tất cả các giá trị nguyên của a để biểu thức M nhận giá trị nguyên.

Hướng dẫn giải

$\begin{matrix} M = \dfrac{{3a + 3\sqrt a - 3}}{{a + \sqrt a - 2}} - \dfrac{{\left( {\sqrt a + 1} \right)\left( {\sqrt a - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt a + 2} \right)\left( {\sqrt a - 1} \right)}} + \dfrac{{\left( {\sqrt a - 2} \right)\left( {\sqrt a + 2} \right)}}{{\left( {1 - \sqrt a } \right)\left( {\sqrt a + 2} \right)}} \hfill \\ M = \dfrac{{3a + 3\sqrt a - 3 - \left( {a - 1} \right) - \left( {a - 4} \right)}}{{\left( {\sqrt a - 1} \right)\left( {\sqrt a + 2} \right)}} = \dfrac{{a + 3\sqrt a + 2}}{{\left( {\sqrt a - 1} \right)\left( {\sqrt a + 2} \right)}} \hfill \\ \end{matrix}$

$\begin{matrix} M = \dfrac{{\left( {\sqrt a + 1} \right)\left( {\sqrt a + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt a - 1} \right)\left( {\sqrt a + 2} \right)}} = \dfrac{{\sqrt a + 1}}{{\sqrt a - 1}} \hfill \\ M = \dfrac{{\sqrt a - 1 + 2}}{{\sqrt a - 1}} = 1 + \dfrac{2}{{\sqrt a - 1}} \hfill \\ \end{matrix}$

M nguyên khi và chỉ khi $\frac{2}{{\sqrt a - 1}}$ nguyên

=> $\sqrt a - 1$ là ước của 2

=> $\sqrt a - 1 \in \left\{ { - 1;1;2} \right\} \Rightarrow a \in \left\{ {0;4;9} \right\}$ (do $\sqrt a \geqslant 0$ )

3. Bài tập tìm giá trị x nguyên để biểu thức nhận giá trị nguyên

Bài 1: Tìm x ∈ $\mathbb{Z}$ để biểu thức sau nhận giá trị nguyên:

a. $A = \frac{{{x^2} - 4x - 17}}{{x + 2}}$

b. $B = \frac{{{x^2} - x + 2}}{{x - 3}}$

Bài 2: Tìm giá trị của x nguyên để các biểu thức sau có giá trị nguyên:

a. $\frac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}}$	b. $\frac{9}{{\sqrt x - 2}}$
c. $\frac{{\sqrt x + 5}}{{\sqrt x - 3}}$	d. $\frac{{{x^2} + 3x + 3}}{{2x - 1}}$

Bài 3: Cho biểu thức:

$A = \frac{1}{{\sqrt {4{x^2} + 4x + 1} }};B = \frac{{2x - 2}}{{\sqrt {{x^2} - 2x + 1} }}$

Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức $Q = \frac{{2A + B}}{3}$ cũng có giá trị nguyên.

Bài 4: Cho biểu thức:

$P = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}} + \frac{3}{{\sqrt x + 1}} - \frac{{6\sqrt x - 4}}{{x - 1}};\left( {x \geqslant 0,x \ne 1} \right)$

a. Rút gọn P

b. Tìm x để P = -1

c. Tìm giá trị của x nguyên để P nhận giá trị nguyên.

Bài 5: Cho biểu thức:

$A = \frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 2}};B = \frac{{x - 2}}{{\sqrt x - 2}} + \frac{2}{{\sqrt x }} + \frac{4}{{x - 2\sqrt x }};\left( {x > 0;x \ne 4} \right)$

a. Tính giá trị của biểu thức A khi x = 9

b. Rút gọn B

c. Tìm tất cả các giá trị nguyên của x để C = A.B nhận giá trị nguyên.

Bài 6: Cho hai biểu thức:

$A = \frac{{\sqrt x + 5}}{{\sqrt x - 3}};B = \frac{4}{{\sqrt x + 3}} + \frac{{2x - \sqrt x + 13}}{{x - 9}} - \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}}$

(với x ≥ 0; x ≠ 9)

a) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 4.

b) Đặt P = A/B. Chứng minh rằng $P = \frac{{\sqrt x - 5}}{{\sqrt x + 3}}$

c) Tính giá trị của x nguyên nhỏ nhất để biểu thức P có giá trị nguyên.

Bài 7: Cho các biểu thức:

$A = \frac{{3\sqrt x - 21}}{{x - 9}};B = \frac{2}{{\sqrt x - 3}}$ (với x ≥ 0; x ≠ 9)

a) Tính giá trị của biểu thức B khi x = 16

b) Rút gọn biểu thức M = A + B

c) Tìm tất cả các số nguyên x để M có giá trị là số nguyên.

Bài 8: Cho biểu thức $B = \frac{{\sqrt a }}{{\sqrt a - 3}} - \frac{3}{{\sqrt a + 3}} - \frac{{a - 2}}{{a - 9}}$ với $a \geqslant 0;a \ne 9$

a) Rút gọn biểu thức B

b) Tìm các số nguyên a để B nhận giá trị nguyên.

Bài 9: Cho biểu thức $A=\left(\frac{3x+\sqrt{16x}-7}{x+2\sqrt{x}-3}-\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+3}-\frac{\sqrt{x}+7}{\sqrt{x}-1}\right):\left(2-\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}\right)$