Trục căn thức ở mẫu Toán 9 Chuyên đề rút gọn biểu thức lớp 9

23 Đánh giá

Trục căn thức ở mẫu và rút gọn Toán 9

A. Toàn bộ công thức trục căn thức
B. Bài tập rèn luyện Trục căn thức ở mẫu

Trục căn thức ở mẫu và rút gọn được xem là dạng toán căn bản quan trọng trong chương trình Toán 9 và đề thi tuyển sinh vào lớp 10. Tài liệu dưới đây do đội ngũ GiaiToan.com biên soạn và chia sẻ giúp học sinh hiểu rõ hơn về căn thức bậc hai cũng như bài toán rút gọn biểu thức. Qua đó giúp các bạn học sinh ôn tập và rèn luyện cho kì thi tuyển sinh vào lớp 10 sắp tới. Mời các bạn học sinh và quý thầy cô cùng tham khảo!

A. Toàn bộ công thức trục căn thức

1. Công thức trục căn thức ở mẫu

Công thức	Điều kiện
$\sqrt {{A^2}B} = \left\| A \right\|\sqrt B$	B ≥ 0
$A\sqrt B = \sqrt {{A^2}B}$	A ≥ 0, B ≥ 0
$A\sqrt B = - \sqrt {{A^2}B}$	A < 0, B ≥ 0
$\sqrt {\frac{A}{B}} = \sqrt {\frac{{A.B}}{{B.B}}} = \frac{{\sqrt {AB} }}{{\left\| B \right\|}}$	A ≥ 0, B > 0
$\frac{A}{{\sqrt B }} = \frac{{A\sqrt B }}{B}$	B > 0
$\frac{C}{{\sqrt A + B}} = \frac{{C\left( {\sqrt A - B} \right)}}{{A - {B^2}}}$	A ≥ 0, A ≠ B²
$\frac{C}{{\sqrt A - B}} = \frac{{C\left( {\sqrt A + B} \right)}}{{A - {B^2}}}$	A ≥ 0, A ≠ B²
$\frac{C}{{\sqrt A + \sqrt B }} = \frac{{C\left( {\sqrt A - \sqrt B } \right)}}{{A - B}}$	A ≥ 0, B ≥ 0, A ≠ B
$\frac{C}{{\sqrt A - \sqrt B }} = \frac{{C\left( {\sqrt A + \sqrt B } \right)}}{{A - B}}$	A ≥ 0, B ≥ 0, A ≠ B

2. Công thức trục căn thức mở rộng

$\frac{T}{{\sqrt[3]{a} \pm \sqrt[3]{b}}} = \frac{{T\left( {\sqrt[3]{{{a^2}}} \mp \sqrt[3]{{ab}} + \sqrt[3]{{{b^2}}}} \right)}}{{\left( {\sqrt[3]{a} \pm \sqrt[3]{b}} \right)\left( {\sqrt[3]{{{a^2}}} \mp \sqrt[3]{{ab}} + \sqrt[3]{{{b^2}}}} \right)}} = \frac{{T\left( {\sqrt[3]{{{a^2}}} \mp \sqrt[3]{{ab}} + \sqrt[3]{{{b^2}}}} \right)}}{{a \pm b}}$

3. Hướng dẫn cách trục căn thức ở mẫu của biểu thức

Ví dụ 1: Trục các căn thức sau:

a. $\sqrt {\frac{{11}}{{12}}}$	b. $\sqrt {\frac{{{{\left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right)}^2}}}{5}}$
c. $\sqrt {\frac{{5{x^2}}}{{64y}}}$ với x ≥ 0; y > 0	d. $- xy\sqrt {\frac{y}{x}}$ với x > 0, y ≥ 0

Hướng dẫn giải

a. $\sqrt {\frac{{11}}{{12}}} = \frac{{\sqrt {11} }}{{\sqrt {12} }} = \frac{{\sqrt {11} .\sqrt {12} }}{{\sqrt {12} .\sqrt {12} }} = \frac{{\sqrt {11.12} }}{{{{\sqrt {12} }^2}}} = \frac{{\sqrt {132} }}{{12}}$

b. $\sqrt {\frac{{{{\left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right)}^2}}}{5}} = \frac{{\sqrt {{{\left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right)}^2}} }}{{\sqrt 5 }} = \frac{{\left| {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right|}}{{\sqrt 5 }} = \frac{{\sqrt 3 - \sqrt 2 }}{{\sqrt 5 }}$

c. $\sqrt {\frac{{5{x^2}}}{{64y}}} = \sqrt {\frac{{5{x^2}}}{{{8^2}y}}} = \frac{{\sqrt 5 .\sqrt {{x^2}} }}{{\sqrt {{8^2}} .\sqrt y }} = \frac{{\sqrt 5 .\left| x \right|}}{{\left| 8 \right|.\sqrt y }}$

Do x ≥ 0 $\Rightarrow \frac{{\sqrt 5 .\left| x \right|}}{{\left| 8 \right|.\sqrt y }} = \frac{{x\sqrt 5 }}{{8\sqrt y }}$

d. $- xy\sqrt {\frac{y}{x}} = - xy\frac{{\sqrt y }}{{\sqrt x }} = - xy.\frac{{\sqrt y .\sqrt x }}{{\sqrt x .\sqrt x }} = - xy.\frac{{\sqrt {xy} }}{{\sqrt {{x^2}} }} = - xy.\frac{{\sqrt {xy} }}{{\left| x \right|}} = - y\sqrt {xy}$

Ví dụ 2: Trục các căn thức sau:

a. $\frac{{2 - \sqrt 3 }}{{3\sqrt 6 }}$	b. $\frac{1}{{\sqrt 4 + \sqrt 5 }}$
c. $\frac{{4 - \sqrt 3 }}{{5\sqrt 2 - 2\sqrt 5 }}$	d. $\frac{{x - y}}{{\sqrt x + \sqrt y }}$

Hướng dẫn giải

a. $\frac{{2 - \sqrt 3 }}{{3\sqrt 6 }} = \frac{{\left( {2 - \sqrt 3 } \right)\sqrt 6 }}{{3\sqrt 6 .\sqrt 6 }} = \frac{{2\sqrt 6 - \sqrt {18} }}{{3.\sqrt {{6^2}} }} = \frac{{2\sqrt 6 - 3\sqrt 2 }}{{18}}$

b. $\frac{1}{{\sqrt 4 + \sqrt 5 }} = \frac{{1.\left( {\sqrt 5 - \sqrt 4 } \right)}}{{\left( {\sqrt 4 + \sqrt 5 } \right)\left( {\sqrt 5 - \sqrt 4 } \right)}} = \frac{{\sqrt 5 - \sqrt 4 }}{{{{\sqrt 5 }^2} - {{\sqrt 4 }^2}}} = \frac{{\sqrt 5 - \sqrt 4 }}{{5 - 4}} = \frac{{\sqrt 5 - \sqrt 4 }}{1} = \sqrt 5 - \sqrt 4$

c. $\frac{{4 - \sqrt 3 }}{{5\sqrt 2 - 2\sqrt 5 }}$

$= \frac{{\left( {4 - \sqrt 3 } \right)\left( {5\sqrt 2 + 2\sqrt 5 } \right)}}{{\left( {5\sqrt 2 - 2\sqrt 5 } \right)\left( {5\sqrt 2 + 2\sqrt 5 } \right)}}$

$= \frac{{\left( {4 - \sqrt 3 } \right)\left( {5\sqrt 2 + 2\sqrt 5 } \right)}}{{{{\left( {5\sqrt 2 } \right)}^2} - {{\left( {2\sqrt 5 } \right)}^2}}}$

$\begin{matrix} = \dfrac{{\left( {4 - \sqrt 3 } \right)\left( {5\sqrt 2 + 2\sqrt 5 } \right)}}{{50 - 20}} \hfill \\ = \dfrac{{\left( {4 - \sqrt 3 } \right)\left( {5\sqrt 2 + 2\sqrt 5 } \right)}}{{30}} \hfill \\ \end{matrix}$

d. Điều kiện xác định: $x \geqslant 0;y \geqslant 0;\sqrt x + \sqrt y > 0$

$\frac{{x - y}}{{\sqrt x + \sqrt y }} = \frac{{{{\left( {\sqrt x } \right)}^2} - {{\left( {\sqrt y } \right)}^2}}}{{\sqrt x + \sqrt y }} = \frac{{\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)}}{{\sqrt x + \sqrt y }} = \sqrt x - \sqrt y$

Ví dụ 3: Trục căn thức bậc ba: $\sqrt[3]{{26 + 15\sqrt 3 }} - \sqrt[3]{{26 - 15\sqrt 3 }}$

Hướng dẫn giải

$\begin{matrix} \sqrt[3]{{26 + 15\sqrt 3 }} - \sqrt[3]{{26 - 15\sqrt 3 }} \hfill \\ = \sqrt[3]{{3\sqrt 3 + 18 + 12\sqrt 3 + 8}} - \sqrt[3]{{8 - 12\sqrt 3 + 18 - 3\sqrt 3 }} \hfill \\ = \sqrt[3]{{\sqrt {{3^3}} + 3.3.2 + 3.4\sqrt 3 + {2^3}}} - \sqrt[3]{{{2^3} - 2.4\sqrt 3 + 3.3.2 - \sqrt {{3^3}} }} \hfill \\ = \sqrt[3]{{{{\left( {\sqrt 3 + 2} \right)}^3}}} - \sqrt[3]{{{{\left( {2 - \sqrt 3 } \right)}^3}}} \hfill \\ = \sqrt 3 + 2 - 2 + \sqrt 3 = 2\sqrt 3 \hfill \\ \end{matrix}$

B. Bài tập rèn luyện Trục căn thức ở mẫu

Bài 1: Trục căn thức ở mẫu của các phân thức sau:

a. $\frac{{12}}{{5\sqrt 3 }}$	b. $\frac{3}{{2\sqrt 5 }}$	c. $\frac{2}{{\sqrt 2 }}$
d. $\sqrt {\frac{5}{7}}$	e. $\sqrt {\frac{7}{{20}}}$	f. $\sqrt {\frac{{11}}{{12}}}$

Bài 2: Trục căn thức ở mẫu của các phân thức sau:

a. $\frac{{2 - \sqrt 3 }}{{3\sqrt 5 }}$	b. $\frac{1}{{\sqrt 3 + \sqrt 7 }}$	c. $\frac{{\sqrt 5 - 1}}{{\sqrt 5 + 1}}$
d. $\frac{{2\sqrt {10} - 5}}{{4 - \sqrt {10} }}$	e. $\sqrt {\frac{7}{{20}}}$	f. $\sqrt {\frac{{11}}{{12}}}$
i. $\frac{{6\sqrt 2 - 7\sqrt 7 }}{{\sqrt 6 }}$	k. $\frac{{2\sqrt 6 + 6\sqrt 7 }}{{3\sqrt 3 }}$	l. $\frac{{2\sqrt {10} - 5}}{{4 - \sqrt {10} }}$
m. $\frac{{3\sqrt 2 - 6}}{{\sqrt 2 - 1}}$	n. $\frac{{5\sqrt 6 + 6\sqrt 5 }}{{\sqrt 5 + \sqrt 6 }}$	p. $\frac{{\sqrt {14} - \sqrt 7 }}{{1 - \sqrt 2 }}$

Bài 3: Trục căn thức ở mẫu của các phân thức sau:

a. $\frac{{1 + \sqrt x }}{{2 - \sqrt x }}$ với $x > 0;x \ne 4$	b. $\frac{{x - y}}{{\sqrt x - \sqrt y }}$
c. $\frac{{x + \sqrt {xy} }}{{\sqrt x - \sqrt y }}$ với x > 0; y > 0	d. $\frac{{x - 2}}{{\sqrt {{x^2} - 4x + 4} }}$ với x ≠ 2

Bài 4: Trục căn thức ở mẫu các biểu thức sau:

a. $\sqrt[3]{{6\sqrt 3 + 10}} + \sqrt[3]{{6\sqrt 3 - 10}}$	b. $\sqrt[3]{{45 + 29\sqrt 2 }} + \sqrt[3]{{45 - 29\sqrt 2 }}$
c. $\frac{1}{{\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y} + \sqrt[3]{z}}}$

Bài 5: Thực hiện phép tính:

a. $\frac{1}{{3 + \sqrt 2 }} + \frac{1}{{3 - \sqrt 2 }}$	b. $\frac{2}{{3\sqrt 2 - 4}} - \frac{2}{{3\sqrt 2 + 4}}$
e. $\frac{1}{{2 - \sqrt 3 + \sqrt 5 }}$	f. $\frac{a}{{2\sqrt a - 3\sqrt b }}$
c. $\frac{1}{{1 + \sqrt 2 + \sqrt 3 }}$	d. $\frac{1}{{2 - \sqrt 3 + \sqrt 5 }}$

-----------------------------------------------------

Hy vọng tài liệu Trục căn thức ở mẫu Toán lớp 9 sẽ giúp ích cho các bạn học sinh học nắm chắc Cách biến đổi đơn giản căn thức bậc hai đồng thời học tốt môn Toán lớp 9. Chúc các bạn học tốt, mời các bạn tham khảo!

Ngoài ra mời quý thầy cô và học sinh tham khảo thêm một số nội dung:

Câu hỏi mở rộng củng cố kiến thức: