Tìm m để phương trình có nghiệm x1 x2 thỏa mãn điều kiện Chuyên đề Toán lớp 9 luyện thi vào lớp 10

12 Đánh giá

Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ thỏa mãn điều kiện

A. Cách tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện
- Định lí Vi – et
B. Ví dụ tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 x2 thỏa mãn điều kiện
C. Bài tập tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt

Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ thỏa mãn điều kiện là một dạng toán khó thường gặp trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán. Tài liệu được GiaiToan.com biên soạn và giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô tham khảo. Nội dung tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh học tốt môn Toán lớp 9 hiệu quả hơn. Mời các bạn tham khảo.

A. Cách tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện

Định lí Vi – et

Nếu x₁, x₂ là nghiệm của phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) thì

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {S = {x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a}} \\ {P = {x_1}.{x_2} = \dfrac{c}{a}} \end{array}} \right.$

Các biểu thức biến đổi thường gặp:

${x_1}^2 + {x_2}^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = {S^2} - 2P$
${x_1}^3 + {x_2}^3 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^3} - 3{x_1}{x_2}\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = {S^3} - 3S.P$
${x_1}^4 + {x_2}^4 = {\left( {{x_1}^2 + {x_2}^2} \right)^2} - 2{x_1}^2{x_2}^2 = {\left( {{S^2} - 2P} \right)^2} - 2{P^2}$
${\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} = {S^2} - 4P$
${x_1} - {x_2} = \sqrt {{S^2} - 4P} ;\left( {{x_1} \geqslant {x_2}} \right)$
${x_1}^2 - {x_2}^2 = S.\sqrt {{S^2} - 4P} ;\left( {{x_1} \geqslant {x_2}} \right)$
${x_1}^4 - {x_2}^4 = \left( {{S^2} - 2P} \right)\left( {S.\sqrt {{S^2} - 4P} } \right);\left( {{x_1} \geqslant {x_2}} \right)$
$\dfrac{1}{{{x_1}}} + \dfrac{1}{{{x_2}}} = \dfrac{{{x_1} + {x_2}}}{{{x_1}{x_2}}} = \dfrac{S}{P}$
$\dfrac{1}{{{x_1}^2}} + \dfrac{1}{{{x_2}^2}} = \dfrac{{{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2}}}{{{{\left( {{x_1}{x_2}} \right)}^2}}} = \dfrac{{{S^2} - 2P}}{{{P^2}}}$
$\dfrac{{{x_1}}}{{{x_2}}} + \dfrac{{{x_2}}}{{{x_1}}} = \dfrac{{{x_1}^2 + {x_2}^2}}{{{x_1}{x_2}}} = \dfrac{{{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2}}}{{{x_1}{x_2}}} = \dfrac{{{S^2} - 2P}}{P}$

B. Ví dụ tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁ x₂ thỏa mãn điều kiện

Ví dụ 1: Cho phương trình x² - 2mx + 4 = 0 (1)

a) Giải phương trình bậc hai khi m = 3.

b) Tìm giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm x₁; x₂ thỏa mãn

(x₁ + 1)² + (x₂ + 1)² = 2

Hướng dẫn giải

a) Với m = 3 ta có phương trình x² - 6x + 4 = 0.

Giải phương trình ta được hai nghiệm $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1} = 3 + \sqrt 5 } \\ {{x_2} = 3 - \sqrt 5 } \end{array}} \right.$

b) Ta có: $\Delta ' = {m^2} - 4$

Phương trình (1) có nghiệm $\Leftrightarrow \Delta ' \geqslant 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {m \geqslant 2} \\ {m \leqslant - 2} \end{array}\left( * \right)} \right.$

Áp dụng hệ thức Vi – et ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1} + {x_2} = 2m} \\ {{x_1}{x_2} = 4} \end{array}} \right.$

Theo bài ra ta có:

$\begin{matrix} {\left( {{x_1} + 1} \right)^2} + {\left( {{x_2} + 1} \right)^2} = 2 \hfill \\ \Leftrightarrow {x_1}^2 + 2{x_1} + {x_2}^2 + 2{x_2} = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} + 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow 4{m^2} - 8 + 4m = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{m_1} = 1} \\ {{m_2} = - 2} \end{array}} \right. \hfill \\ \end{matrix}$

Kết hợp với điều kiện (*) ta thấy chỉ có nghiệm m = -2 thỏa mãn

Vậy m = -1 thì phương trình có hai nghiêm thỏa mãn điều kiện đã cho.

Ví dụ 2: Cho phương trình x² - x + 1 + m = 0 (1)

a) Giải phương trình khi m = 0.

b) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm x₁, x₂ thỏa mãn:

x₁x₂ . (x₁x₂ - 2) = 3(x₁ + x₂)

Hướng dẫn giải

a) Với m = 0 phương trình trở thành x² - x + 1 = 0

Vì $\Delta = - 3 < 0$ nên phương trình vô nghiệm.

b) Ta có: $\Delta = 1 - 4\left( {1 + m} \right) = - 3 - 4m$

Để phương trình có nghiệm thì

$\begin{matrix} \Delta \geqslant 0 \hfill \\ \Leftrightarrow - 3 - 4m \geqslant 0 \hfill \\ \Leftrightarrow m \leqslant \dfrac{{ - 3}}{4}\left( * \right) \hfill \\ \end{matrix}$

Áp dụng hệ thức Vi – et ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1} + {x_2} = 1} \\ {{x_1}{x_2} = 1 + m} \end{array}} \right.$

Thay vào đẳng thức x₁x₂ . (x₁x₂ - 2) = 3(x₁ + x₂), ta được:

$\begin{matrix} \left( {1 + m} \right)\left( {1 + m - 2} \right) = 3 \hfill \\ \Leftrightarrow {m^2} = 4 \hfill \\ \Leftrightarrow m = \pm 2 \hfill \\ \end{matrix}$

Đối chiếu với điều kiện (*) suy ra chỉ có m = - 2 thỏa mãn

Vậy m = - 2 thì phương trình có hai nghiệm thỏa mãn điều kiện đã cho.

Ví dụ 3: Cho phương trình: (x² - x - m)(x - 1) = 0 (1)

a) Giải phương trình khi m = 2.

b) Tìm m để phương trình có đúng hai nghiệm phân biệt.

Hướng dẫn giải

a) Với m = 2 phương trình trở thành:

$\left( {{x^2} - x - 2} \right)\left( {x - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x^2} - x - 2 = 0} \\ {x - 1} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = - 1;x = 2} \\ {x = 1} \end{array}} \right.$

Vậy tập nghiệm của phương trình S = {- 1; 1; 2}

b) Vì phương trình (1) luôn có nghiệm x = 1 nên phương trình (1) có đúng hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi

Trường hợp 1: f(x) = x² - x - m = 0 có nghiệm kép khác 1

$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\Delta = 0} \\ {f\left( 1 \right) \ne 0} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {1 + 4m = 0} \\ {1 - 1 - m \ne 0} \end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m = \dfrac{{ - 1}}{4}} \\ {m \ne 0} \end{array}} \right.} \right. \Leftrightarrow m = - \frac{1}{4}$

Trường hợp 2: f(x) = x² - x - m = 0 có hai nghiệm phân biệt và có một nghiệm bằng 1

$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\Delta > 0} \\ {f\left( 1 \right) = 0} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {1 + 4m > 0} \\ {1 - 1 - m = 0} \end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m > \dfrac{{ - 1}}{4}} \\ {m = 0} \end{array}} \right.} \right. \Leftrightarrow m = 0$

Vậy phương trình có đúng hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi m = 0 hoặc m = -1/4.

Ví dụ 4: Cho phương trình ẩn x: x² - 2mx - 1 = 0 (1)

a) Chứng minh rằng phương trình (1) đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂.

b) Tìm các giá trị của tham số m để x₁² + x₂² – x₁. x₂ = 7.

Hướng dẫn giải

a) Ta có: Δ' = m² + 1 > 0 với mọi giá trị của tham số m.

Do đó phương trình (1) đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂.

b) Theo định lí Vi - ét thì: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1} + {x_2} = 2m} \\ {{x_1}.{x_2} = - 1} \end{array}} \right.$

Ta có: x₁² + x₂² – x₁. x₂ = 7

=> (x₁ + x₂)² - 3x₁. x₂ = 7

=> 4m² + 3 = 7

=> m² = 1

=> m = 1 hoặc m = -1

Vậy m = 1 hoặc m = -1 thỏa mãn điều kiện đề bài.

C. Bài tập tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt

Bài 1: Cho phương trình: x² - 14x + 29 = 0 có hai nghiệm x₁, x₂

Hãy tính:

a) ${x_1}^3 + {x_2}^3$

b) $\frac{{1 - {x_1}}}{{{x_1}}} + \frac{{1 - {x_2}}}{{{x_2}}}$

Bài 2: Cho phương trình x² - 2(m + 1)x + m - 4 = 0, m là tham số.

a) Giải phương trình khi m = - 5.

b) Chứng minh rằng: Phương trình luôn có nghiệm x₁, x₂ với mọi tham số m.

c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu.

d) Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương.

e) Chứng minh rằng biểu thức A = x₁(1 - x₂) + x₂(x - x₁) không phụ thuộc tham số m.

Bài 3: Cho phương trình ẩn x: (m - a)x² + 2mx + m - 2 = 0

a) Giải phương trình khi m = 5.

b) Tìm m để phương trình có nghiệm $x = \sqrt 2$ . Tìm nghiệm còn lại.

c) Tìm m để phương trình có nghiệm? Có 2 nghiệm phân biệt? Vô nghiệm? Có nghiệm kép?

d) Khi phương trình có nghiệm x₁, x₂ hãy tính:

i) A = x²₁ + x²₂ theo tham số m.

ii) Tìm m để A = 1

Bài 4: Cho phương trình: x² + 2(m + 1)x + m² = 0 (1).

a) Giải phương trình với m = 5.

b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt, trong đó có một nghiệm bằng -2.

Bài 5: Cho phương trình: x² - 2(m - 1)x - m - 3 = 0 (1)

a) Giải phương trình với m = -3.

b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm thỏa mãn hệ thức : x²₁ + x²₂ = 10.

c) Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc vào giá trị của tham số m.

Bài 6: Cho phương trình x² - (m + 5)x - m + 6 = 0 (1)

a) Giải phương trình với m = 1.

b) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có một nghiệm x = -2.

c) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình (1) có nghiệm x₁, x₂ thỏa mãn điều kiện: ${x_1}^2.{x_2} + {x_1}.{x_2}^2 = 24$ .

Bài 7: Cho phương trình bậc hai 2x² + (2m - 1)x + m - 1 = 0 với m là tham số.

a) Giải phương trình với m = 1 và m = 2.

b) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình có nghiệm x₁, x₂ thỏa mãn điều kiện: $4{x_1}^2 + 2{x_1}{x_2} + 4{x_2}^2 = 1$ .

Bài 8: Cho phương trình x² + ax + b + 1 = 0 với a, b là các tham số.

a) Giải phương trình khi a = 3; b = -5.

b) Tìm giá trị của a và b để phương trình trên có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ thỏa mãn điều kiện: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1} - {x_2} = 3} \\ {{x_1}^2 - {x_2}^2 = 9} \end{array}} \right.$ .