Giaitoan.com Toán 9 Luyện tập Toán 9 Chuyên đề Toán 9 thi vào 10

Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức Chuyên đề Toán lớp 9 luyện thi vào lớp 10

Nội dung
  • 9 Đánh giá

Tìm giá trị nhỏ nhất

Chuyên đề Toán 9: Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức là một dạng toán khó thường gặp trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán. Tài liệu được  GiaiToan.com biên soạn và giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô tham khảo. Nội dung tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh học tốt môn Toán lớp 9 hiệu quả hơn. Mời các bạn tham khảo.

A. Cách tìm gtln, gtnn của biểu thức

Một số công thức bất đẳng thức thường dùng

1. Nếu a và b là hai số cùng dấu thì \frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geqslant 2

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b

2. Nếu a.b > 0 thì \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geqslant \frac{4}{{a + b}}

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b

3. \left| {a + b} \right| \leqslant \left| a \right| + \left| b \right|

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a.b ≥ 0

4. \left| {a - b} \right| \geqslant \left| a \right| - \left| b \right|

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a ≥ b ≥ 0 hoặc 0 ≥ b ≥ a

Bất đẳng thức Cauchy

Với a, b ≥ 0 thì \frac{{a + b}}{2} \geqslant \sqrt {ab} hay a + b \geqslant 2\sqrt {ab}

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b

Bất đẳng thức Cauchy suy rộng

\begin{matrix} \dfrac{1}{{\sqrt {ab} }} \geqslant \dfrac{2}{{a + b}},\left( {a,b > 0} \right) \hfill \\ {\left( {\dfrac{{a + b}}{2}} \right)^2} \geqslant ab \hfill \\ {\left( {a + b} \right)^2} \geqslant 4ab \hfill \\ {a^2} + {b^2} \geqslant 2ab \hfill \\ ab \leqslant {\left( {\dfrac{{a + b}}{2}} \right)^2} \leqslant \dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{2} \hfill \\ \end{matrix}

B. Bài tập tìm GTLN, GTNN của biểu thức

Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = {\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {\frac{{{x^2}}}{{x + 1}} + 2} \right)^2},\forall x \ne - 1

Hướng dẫn giải

\begin{matrix} A = {\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {\dfrac{{{x^2}}}{{x + 1}} + 2} \right)^2} \hfill \\ A = {\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {\dfrac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2} + 1}}{{x + 1}}} \right)^2} \hfill \\ A = {\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {x + 1 + \dfrac{1}{{x + 1}}} \right)^2} \hfill \\ A = 2{\left( {x + 1} \right)^2} + \dfrac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} + 2\mathop \geqslant \limits_{Cauchy} 2\sqrt {2{{\left( {x + 1} \right)}^2}.\dfrac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}} + 2 = 2\sqrt 2 + 2 \hfill \\ \end{matrix}

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 2{\left( {x + 1} \right)^2} = \frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} \Rightarrow x = \frac{{ - 2 \pm \sqrt[4]{8}}}{2}

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức là MinA = 2\sqrt 2 + 2

Ví dụ 2: Cho số thức m \geqslant 6. Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức B = {m^2} + \frac{{18}}{m}

Hướng dẫn giải

Ta biến đổi biểu thức như sau: B = {m^2} + \frac{{18}}{m} = {m^2} + \frac{9}{m} + \frac{9}{m}

Dễ thấy giá trị m càng tăng thì giá trị của B cũng tăng. Dự đoán giá trị nhỏ nhất khi m = 6

Ta liên kết bài toán để tìm điểm rơi như sau:

m = 6 \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{{{m^2}}}{a} = \dfrac{{36}}{a}} \\ {\dfrac{9}{m} = \dfrac{9}{6} = \dfrac{3}{2}} \end{array} \Rightarrow \frac{{36}}{a} = \dfrac{3}{2}} \right. \Rightarrow a = 24

Lời giải chi tiết

Ta có:

\begin{matrix} B = {m^2} + \dfrac{{18}}{m} \hfill \\ \Rightarrow B = \dfrac{{{m^2}}}{{24}} + \dfrac{9}{m} + \dfrac{9}{m} + \dfrac{{23{m^2}}}{{24}} \hfill \\ \Rightarrow B \geqslant 3\sqrt[3]{{\dfrac{{{m^2}}}{{24}}.\dfrac{9}{m}.\dfrac{9}{m}}} + \frac{{23{m^2}}}{{24}} \geqslant \dfrac{9}{2} + \dfrac{{23.36}}{{24}} = 39 \hfill \\ \end{matrix}

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \frac{{{m^2}}}{{24}} = \frac{9}{m} \Rightarrow m = 6

Vậy giá trị nhỏ nhất của B là 39 khi và chỉ khi m = 6

Ví dụ 3: Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn a + b \leqslant 1. Tìm GTNN của biểu thức C = \frac{1}{{2ab}} + \frac{1}{{{a^2} + {b^2} + 1}}

Hướng dẫn giải

Do C là biểu thức đối xứng với a, b nên ta dự đoán GTNN của C đạt tại a = b = 0,5

Ta liên kết bài toán để tìm điểm rơi như sau:

a = b = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{1}{{{a^2} + {b^2} + 1}} = \dfrac{2}{3}} \\ {\dfrac{1}{{2mab}} = \dfrac{2}{m}} \end{array} \Rightarrow \dfrac{2}{3} = \dfrac{2}{m}} \right. \Rightarrow m = 3

Lời giải chi tiết

Ta có:

\begin{matrix} C = \dfrac{1}{{2ab}} + \dfrac{1}{{{a^2} + {b^2} + 1}} \hfill \\ \Rightarrow C = \dfrac{1}{{6ab}} + \dfrac{1}{{3ab}} + \dfrac{1}{{{a^2} + {b^2} + 1}} \hfill \\ \Rightarrow C \geqslant \sqrt {\dfrac{1}{{6ab}}.\dfrac{1}{{{a^2} + {b^2} + 1}}} + \dfrac{1}{{3ab}} \hfill \\ \Rightarrow C \geqslant \dfrac{1}{{\dfrac{{1 + {a^2} + {b^2} + 6ab}}{2}}} + \dfrac{1}{{3ab}} = \dfrac{4}{{{{\left( {a + b} \right)}^2} + 1 + 4ab}} + \dfrac{1}{{3ab}} \hfill \\ \Rightarrow C \geqslant \dfrac{4}{{{{\left( {a + b} \right)}^2} + 1 + 4{{\left( {\dfrac{{a + b}}{2}} \right)}^2}}} + \dfrac{1}{{3{{\left( {\dfrac{{a + b}}{2}} \right)}^2}}} \hfill \\ \Rightarrow C \geqslant \dfrac{4}{{2{{\left( {a + b} \right)}^2} + 1}} + \dfrac{4}{{3{{\left( {a + b} \right)}^2}}} \geqslant \dfrac{4}{{2.1 + 1}} + \dfrac{4}{{3.1}} = \dfrac{8}{3} \hfill \\ \end{matrix}

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {1 + {a^2} + {b^2} = 6ab} \\ {a = b} \\ {a + b = 1} \end{array}} \right. \Rightarrow a = b = \frac{1}{2}

Vậy giá trị nhỏ nhất của C là 8/3.

Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức D = \sqrt {{x^2} + {y^2} - 2xy + 2x - 2y + 5} + 2{y^2} - 8y + 2018

A. 2018

B. 2018 + \sqrt 5

C. 2012

D. Một kết quả khác

Hướng dẫn giải

\begin{matrix} D = \sqrt {{x^2} + {y^2} - 2xy + 2x - 2y + 5} + 2{y^2} - 8y + 2018 \hfill \\ = \sqrt {{{\left( {x - y + 1} \right)}^2} + 4} + 2{\left( {y - 2} \right)^2} + 2010 \geqslant 2012 \hfill \\ \end{matrix}

Vậy MinD = 2012

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x - y + 1 = 0} \\ {y - 2 = 0} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 1} \\ {y = 2} \end{array}} \right.

Ví dụ 5: Tính giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức B = \sqrt {6 - x} + \sqrt {x + 2} là:

A. \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{B_{\max }} = 4} \\ {{B_{\min }} = 2\sqrt 2 } \end{array}} \right.

B. \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{B_{\max }} = 4} \\ {{B_{\min }} = 0} \end{array}} \right.

C. \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{B_{\max }} = \sqrt 6 + \sqrt 2 } \\ {{B_{\min }} = 2\sqrt 2 } \end{array}} \right.

D. \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{B_{\max }} = \sqrt 6 + \sqrt 2 } \\ {{B_{\min }} = 0} \end{array}} \right.

Hướng dẫn giải

Điều kiện xác định: - 2 \leqslant x \leqslant 6

B = \sqrt {6 - x} + \sqrt {x + 2} \leqslant \sqrt {2\left( {6 - x + x + 2} \right)} = 4

Vậy maxB = 4. Dấy đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 6 – x = x + 2 => x = 2

B = \sqrt {6 - x} + \sqrt {x + 2}

Ta có:

\begin{matrix} {B^2} = {\left( {\sqrt {6 - x} + \sqrt {x + 2} } \right)^2} \hfill \\ = 6 - x + 2\sqrt {\left( {6 - x} \right)\left( {x + 2} \right)} + x + 2 \hfill \\ = 8 + 2\sqrt {\left( {6 - x} \right)\left( {x + 2} \right)} \hfill \\ \end{matrix}

Vì 2\sqrt {\left( {6 - x} \right)\left( {x + 2} \right)} \geqslant 0 \Rightarrow {B^2} \geqslant 8

=> B \geqslant 2\sqrt 2 khi và chỉ khi \left( {6 - x} \right)\left( {x + 2} \right) = 0 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 6} \\ {x = 2} \end{array}} \right.

Ví dụ 6: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A = \frac{{5\sqrt x }}{{x + \sqrt x + 1}}

Hướng dẫn giải

Vì \sqrt x \geqslant 0;\forall x \geqslant 0 \Leftrightarrow A \geqslant 0

Dấu bằng xảy khi khi và chỉ khi x = 0

Vậy minA = 0 => x = 0

Chia cả tử và mấu số cho \sqrt x ta được

A = \frac{5}{{\sqrt x + 1 + \frac{1}{{\sqrt x }}}}. Áp dụng bất đẳng thức cosi cho \sqrt x ;\frac{1}{{\sqrt x }} ta được:

\begin{matrix} \sqrt x + \dfrac{1}{{\sqrt x }} \geqslant 2\sqrt {\sqrt x .\dfrac{1}{{\sqrt x }}} \hfill \\ \Rightarrow \sqrt x + \dfrac{1}{{\sqrt x }} + 1 \geqslant 3 \hfill \\ \Rightarrow A = \dfrac{5}{{\sqrt x + \dfrac{1}{{\sqrt x }} + 1}} \leqslant \dfrac{5}{3} \hfill \\ \end{matrix}

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \sqrt x = \frac{1}{{\sqrt x }} \Rightarrow x = 1

Vậy giá trị nhỏ nhất của A = 5/3 khi và chỉ khi x = 1

Cách khác: Thay vì tìm max A ta đi tìm \min \frac{1}{A}

Xét biểu thức B = \frac{1}{A} = \frac{{x + \sqrt x + 1}}{{5\sqrt x }} = \frac{{\sqrt x }}{5} + \frac{1}{5} + \frac{1}{{5\sqrt x }};\left( {x > 0} \right)

Áp dụng bất đẳng thức cosi cho hai số \frac{{\sqrt x }}{5};\frac{1}{{5\sqrt x }} ta có:

\frac{{\sqrt x }}{5} + \frac{1}{{5\sqrt x }} \geqslant 2\sqrt {\frac{{\sqrt x }}{5}.\frac{1}{{5\sqrt x }}} = \frac{2}{5}

=> B \geqslant \frac{2}{5} + \frac{1}{5} = \frac{3}{5}

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \frac{{\sqrt x }}{5} = \frac{1}{{5\sqrt x }} => x = 1

Vậy giá trị lớn nhất của A = 5/3 khi x = 1

C. Bài tập tự luyện tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức

Bài tập 1: Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c \leqslant \frac{3}{2}. Tìm GTNN của biểu thức F = {a^2} + {b^2} + {c^2} + \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}

Bài tập 2: Cho hai số thực dương a, b. Tìm GTNN của biểu thức D = \frac{{a + b}}{{\sqrt {ab} }} + \frac{{\sqrt {ab} }}{{a + b}}

Bài tập 3: Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn a + b \leqslant 1. Tìm GTNN của biểu thức E = \frac{1}{{{a^2} + {b^2}}} + \frac{1}{{ab}} + 4ab

Một số đề thi thử vào lớp 10 trên toàn quốc:

-----------------------------------------------------

Hy vọng tài liệu Tìm GTNN, GTLN của biểu thức Toán 9 sẽ giúp ích cho các bạn học sinh học nắm chắc các cách biến đổi biểu thức chứa căn đồng thời học tốt môn Toán lớp 9. Chúc các bạn học tốt, mời các bạn tham khảo!

Ngoài ra mời quý thầy cô và học sinh tham khảo thêm một số nội dung:

Tham khảo thêm:

  • 3.929 lượt xem
Chia sẻ bởi: Xucxich14
Tìm thêm: Toán 9 chuyên đề toán 9
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi

    Chủ đề liên quan

    Chuyên đề Toán 9 ôn thi vào 10