Chứng minh Bất đẳng thức luyện thi vào 10 Chuyên đề Toán 9 thi vào 10

4 Đánh giá

Bất đẳng thức Cosi

Bất đẳng thức lớp 9 là một dạng toán thường gặp trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán được biên soạn và giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô tham khảo. Nội dung tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh học tốt môn Toán 9 hiệu quả hơn. Mời các bạn tham khảo.

Bài tập bất đẳng thức gồm hướng dẫn giải chi tiết cho dạng toán chứng minh bất đẳng thức lớp 9, vốn là bài tập thường gặp trong câu hỏi phụ của phần Bất đẳng thức. Đồng thời tài liệu cũng tổng hợp thêm các bài toán để các bạn học sinh có thể luyện tập, củng cố kiến thức. Qua đó sẽ giúp các bạn học sinh ôn tập các kiến thức, chuẩn bị cho các bài thi học kì và ôn thi vào lớp 10 và làm tốt đề tuyển sinh lớp 10 môn Toán sắp tới hiệu quả nhất.

Bất đẳng thức AM - GM

Bài 1: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab + bc + ca = 1. Chứng minh rằng:

$a\sqrt {{b^2} + 1} + b\sqrt {{c^2} + 1} + c\sqrt {{a^2} + 1} \geqslant 2$

Trích đề TS lớp 10 trường THPT chuyên Tỉnh Phú Yên

Bài 2: Cho x, y, z là số thực không âm thỏa mãn $12x + 10y + 15z \leqslant 60$ . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

$R = {x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x - 4y - z$

Trích đề TS lớp 10 trường THPT Chuyên Thái Bình

Bài 3: Cho các số thực dương thỏa mãn $\sqrt a + \sqrt b = 1$ . Chứng minh rằng:

$3{\left( {a + b} \right)^2} - \left( {a + b} \right) + 4ab \geqslant \frac{1}{2}\sqrt {\left( {3a + b} \right)\left( {a + 3b} \right)}$

Trích đề TS lớp 10 trường THPT Chuyên Nam Định

Bài 4: Với a, b là các số thực dương thay đổi thỏa mãn điều kiện $\sqrt {a + 2b} = 2 + \sqrt {\frac{b}{3}}$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $M = \frac{a}{{\sqrt {a + 2b} }} + \frac{b}{{\sqrt {b + 2a} }}$

Trích đề TS lớp 10 trường THPT Chuyên KHTN Hà Nội

Bài 5: Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng:

$\left( {\sqrt {\frac{{ab}}{{a + b}}} + \sqrt {\frac{{bc}}{{b + c}}} } \right).\left( {\frac{1}{{\sqrt {a + b} }} + \frac{1}{{\sqrt {b + c} }}} \right) \leqslant 2$

Trích đề TS lớp 10 trường THPT Chuyên Thái Bình

Bài 6: Cho a, b, c, d là các số thực thỏa mãn đồng thời các điều kiện

$\begin{matrix} \left( {a + b} \right)\left( {c + d} \right) = 2 \hfill \\ \left( {a + c} \right)\left( {b + d} \right) = 3 \hfill \\ \left( {a + d} \right)\left( {b + c} \right) = 4 \hfill \\ \end{matrix}$

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = {a^2} + {b^2} + {c^2} + {d^2}$

Trích đề TS lớp 10 trường THPT Chuyên tỉnh Phú Thọ

Bài 7: Cho các số thực dương a, b thỏa mãn $\left| a \right| \geqslant 2,\left| b \right| \geqslant 2$ . Chứng minh rằng:

$\left( {{a^2} + 1} \right)\left( {{b^2} + 1} \right) \geqslant \left( {a + b} \right)\left( {ab + 1} \right) + 5$

Trích đề TS lớp 10 trường THPT Chuyên tỉnh Quảng Ninh

Bài 8: Cho các số thực không âm x, y, z thỏa mãn ${x^2} + {y^2} + {z^2} \leqslant 3y$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = \frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} + \frac{4}{{{{\left( {y + 2} \right)}^2}}} + \frac{8}{{{{\left( {z + 3} \right)}^2}}}$

Trích đề TS lớp 10 trường THPT Chuyên tỉnh Hưng Yên

Bài 9: Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn xy + yz + zx = 1. Chứng minh rằng:

$\frac{1}{{1 + {x^2}}} + \frac{1}{{1 + {y^2}}} + \frac{1}{{1 + {z^2}}} \geqslant \frac{2}{3}{\left( {\frac{x}{{\sqrt {1 + {x^2}} }} + \frac{y}{{\sqrt {1 + {y^2}} }} + \frac{z}{{\sqrt {1 + {z^2}} }}} \right)^3}$

Trích đề TS lớp 10 trường THPT Chuyên ĐHKHTN Hà Nội

Bài 10: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc = a + b + c + 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

$P = \frac{1}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} + \frac{1}{{\sqrt {{b^2} + {c^2}} }} + \frac{1}{{\sqrt {{c^2} + {a^2}} }}$

Trích đề TS lớp 10 trường THPT Chuyên Nghệ An

Hướng dẫn đáp án bài tập

Bài 1:

BĐT cần chứng minh tương đương với

${\left( {a\sqrt {{b^2} + 1} + b\sqrt {{c^2} + 1} + c\sqrt {{a^2} + 1} } \right)^2} \geqslant 4$

Đặt $T = {\left( {a\sqrt {{b^2} + 1} + b\sqrt {{c^2} + 1} + c\sqrt {{a^2} + 1} } \right)^2}$ ta có:

$\begin{matrix} T = {a^2}\left( {{b^2} + 1} \right) + {b^2}\left( {{c^2} + 1} \right) + {c^2}\left( {{a^2} + 1} \right) + 2ab\sqrt {\left( {{b^2} + 1} \right)\left( {{c^2} + 1} \right)} \hfill \\ + 2ac\sqrt {\left( {{b^2} + 1} \right)\left( {{a^2} + 1} \right)} + 2bc\sqrt {\left( {{c^2} + 1} \right)\left( {{a^2} + 1} \right)} \hfill \\ ADBDT{\text{ AM - GM:}} \hfill \\ \sqrt {\left( {{b^2} + 1} \right)\left( {{c^2} + 1} \right)} = \sqrt {{b^2}{c^2} + {b^2} + {c^2} + 1} \geqslant bc + 1 \hfill \\ \sqrt {\left( {{b^2} + 1} \right)\left( {{a^2} + 1} \right)} = \sqrt {{b^2}{a^2} + {a^2} + {b^2} + 1} \geqslant ab + 1 \hfill \\ \sqrt {\left( {{c^2} + 1} \right)\left( {{a^2} + 1} \right)} = \sqrt {{a^2}{c^2} + {a^2} + {c^2} + 1} \geqslant ac + 1 \hfill \\ \end{matrix}$

Kết hợp với bất đẳng thức trên ta được

$\begin{matrix} T \geqslant {a^2}\left( {{b^2} + 1} \right) + {b^2}\left( {{c^2} + 1} \right) + {c^2}\left( {{a^2} + 1} \right) + 2ab\left( {bc + 1} \right) + 2bc\left( {ac + 1} \right) \hfill \\ = {\left( {ab + bc + ca} \right)^2} + {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2\left( {ab + bc + ac} \right) \hfill \\ \end{matrix}$

Mặt khác do

$\begin{matrix} {a^2} + {b^2} + {c^2} \geqslant ab + bc + ac \hfill \\ \Rightarrow T \geqslant {\left( {ab + bc + ac} \right)^2} + 3\left( {ab + bc + ac} \right) = 4 \hfill \\ \end{matrix}$

Vậy bất đẳng thức ${\left( {a\sqrt {{b^2} + 1} + b\sqrt {{c^2} + 1} + c\sqrt {{a^2} + 1} } \right)^2} \geqslant 4$

$\Rightarrow a\sqrt {{b^2} + 1} + b\sqrt {{c^2} + 1} + c\sqrt {{a^2} + 1} \geqslant 2$

Vậy bất đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a = b = c = \frac{1}{{\sqrt 3 }}$

Bài 2:

Xét hiệu

$\begin{matrix} 5T - \left( {12x + 10y + 15z} \right) \hfill \\ = 5{x^2} + 5{y^2} + 5{z^2} - 20x - 20y - 5z - \left( {12x + 10y + 15z} \right) \hfill \\ = 5x\left( {x - 6,4} \right) + 5y\left( {y - 6} \right) + 5z\left( {z - 4} \right) \hfill \\ \end{matrix}$

Vì x, y, z không nhỏ hơn 0 nên từ điều kiện $12x + 10y + 15z \leqslant 60$ ta suy ra:

$\begin{matrix} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {12x \leqslant 60} \\ {10y \leqslant 60} \\ {15z \leqslant 60} \end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x \leqslant 5} \\ {y \leqslant 6} \\ {z \leqslant 4} \end{array} \Leftrightarrow } \right.} \right.\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x - 5 \leqslant 0} \\ {y - 6 \leqslant 0} \\ {z - 4 \leqslant 0} \end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x\left( {x - 6,4} \right) \leqslant 0} \\ {y\left( {y - 6} \right) \leqslant 0} \\ {z\left( {z - 4} \right) \leqslant 0} \end{array}} \right.} \right. \hfill \\ \Rightarrow 5x\left( {x - 6,4} \right) + 5y\left( {y - 6} \right) + 5z\left( {z - 4} \right) \leqslant 0 \hfill \\ \Rightarrow 5T - \left( {12x + 10y + 15z} \right) \leqslant 0 \hfill \\ \Rightarrow 5T \leqslant 12x + 10y + 15z \leqslant 60 \hfill \\ \Rightarrow T \leqslant 12 \hfill \\ \end{matrix}$

Dấu bất đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x\left( {x - 6,4} \right) = y\left( {y - 6} \right) = z\left( {z - 4} \right)} \\ {12x + 10y + 15z = 60} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = y = 0,z = 4} \\ {x = z = 0,y = 6} \end{array}} \right.$

Vậy giá trị lớn nhất của T là 12, xảy ra tại x = y = 0, z = 4 hoặc x = z = 0, y = 6

(Còn tiếp)

---------------------------------------------------

Ngoài Các bất đẳng thức này, mời các bạn học sinh tham khảo thêm các đề thi học kì 2 các môn Toán, Văn, Anh, Lý, Hóa, ... và các đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán mà chúng tôi đã sưu tầm và chọn lọc để bổ sung thêm kiến thức. Chúc các bạn học tập tốt!