Giaitoan.com Toán 9 Chuyên đề Toán 9 thi vào 10

Cách giải phương trình trùng phương Chuyên đề Toán lớp 9 luyện thi vào lớp 10

Nội dung
  • 1 Đánh giá

Phương trình quy về phương trình bậc hai

Bài tập Toán 9: Giải phương trình trùng phương là một dạng toán khó thường gặp trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán. Tài liệu được  GiaiToan.com biên soạn và giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô tham khảo. Nội dung tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh học tốt môn Toán lớp 9 hiệu quả hơn. Mời các bạn tham khảo.

A. Phương trình trùng phương

Phương trình trùng phương (lớp 9) có dạng

ax4 + bx2 + c = 0 (a ≠ 0)

B. Giải phương trình trùng phương

Cho phương trình trùng phương

ax4 + bx2 + c = 0 (a ≠ 0) (1)

Cách 1: Đặt ẩn phụ

Phương pháp giải

Đặt x2 = t (điều kiện t ≥ 0). Ta được phương trình: at2 + bt + c = 0

  • Nếu phương trình (2) (phương trình trung gian) có 2 nghiệm dương thì phương trình trùng phương có 4 nghiệm,
  • Nếu phương trình trung gian có một nghiệm dương, một nghiệm âm hoặc có nghiệm kép dương thì phương trình trùng phương có hai nghiệm.
  • Nếu phương trình trung gian có 2 nghiệm âm hoặc vô nghiệm thì phương trình trùng phương vô nghiệm.

Cụ thể:

- Phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt

=> Phương trình (2) có hai nghiệm dương phân biệt \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\Delta > 0} \\ {P > 0} \\ {S > 0} \end{array}} \right.

- Phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt

=> Phương trình (2) có một nghiệm dương và một nghiệm bằng 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\Delta > 0} \\ {P = 0} \\ {S > 0} \end{array}} \right.

- Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt

=> Phương trình (2) có một nghiệm kép dương hoặc có hai nghiệm trái dấu \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\Delta = 0} \\ {S > 0} \end{array}} \right.} \\ {\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\Delta > 0} \\ {P < 0} \end{array}} \right.} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\Delta = 0} \\ {S > 0} \end{array}} \right.} \\ {a.c < 0} \end{array}} \right.

- Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt

=> Phương trình (2) có một nghiệm kép bằng 0 hoặc có một nghiệm bằng không và nghiệm còn lại âm \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\Delta = 0} \\ \begin{gathered} S = 0 \hfill \\ P = 0 \hfill \\ \end{gathered} \end{array}} \right.} \\ {\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\Delta > 0} \\ \begin{gathered} P = 0 \hfill \\ S < 0 \hfill \\ \end{gathered} \end{array}} \right.} \end{array}} \right.

- Phương trình (1) vô nghiệm

=> Phương trình (2) vô nghiệm hoặc có hai nghiệm âm \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\Delta ,0} \\ {\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\Delta > 0} \\ \begin{gathered} P > 0 \hfill \\ S < 0 \hfill \\ \end{gathered} \end{array}} \right.} \end{array}} \right.

- Nếu phương trình có 4 nghiệm thì tổng các nghiệm luôn bằng 0 và tích các nghiệm luôn bằng

Cách 2: Giải trực tiếp hoặc đưa về phương trình tích

Phương pháp

Biến đổi đưa về phương trình tích A.B = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {A = 0} \\ {B = 0} \end{array}} \right.

C. Bài tập Giải phương trình trùng phương

Ví dụ 1: Giải phương trình {x^4} - 13{x^2} + 36 = 0 (1)

Hướng dẫn giải

Cách 1: Đặt ẩn phụ

Đặt {x^2} = t (điều kiện t ≥ 0). Ta được phương trình (1) có dạng

{t^2} - 13t + 36 = 0 (2)

Ta có: a = 1; b = -13; c = 36

\begin{matrix} \Delta = {b^2} - 4ac = {\left( { - 13} \right)^2} - 4.1.36 = 25 > 0 \hfill \\ \Rightarrow \sqrt \Delta = \sqrt {25} = 5 \hfill \\ \end{matrix}

Phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt:

{t_1} = \frac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}} = \frac{{ - \left( { - 13} \right) + 5}}{2} = 9 (Thỏa mãn điều kiện bài toán)

{t_2} = \frac{{ - b - \sqrt \Delta }}{{2a}} = \frac{{ - \left( { - 13} \right) - 5}}{2} = 4 (Thỏa mãn điều kiện bài toán)

Với {t_1} = 9 \Rightarrow {x^2} = 9 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt 9 \Rightarrow x = \pm 3

Với {t_2} = 4 \Rightarrow {x^2} = 4 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt 4 \Rightarrow x = \pm 2

Vậy phương trình (1) có 4 nghiệm x1 = 3; x2 = - 3; x3 = 2; x4 = -2

Cách 2: Đưa phương trình về dạng phương trình tích:

\begin{matrix} {x^4} - 13{x^2} + 36 = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \left( {{x^4} - 12{x^2} + 36} \right) - {x^2} = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow {\left( {{x^2} - 6} \right)^2} - {x^2} = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 6 - x} \right)\left( {{x^2} - 6 + x} \right) = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x^2} - 6 - x = 0} \\ {{x^2} - 6 + x = 0} \end{array}} \right. \hfill \\ \end{matrix}

Giải phương trình {x^2} - 6 - x = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1} = - 2} \\ {{x_2} = 3} \end{array}} \right.

Giải phương trình {x^2} - 6 + x = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1} = 2} \\ {{x_2} = - 3} \end{array}} \right.

Vậy phương trình (1) có 4 nghiệm x1 = 3; x2 = - 3; x3 = 2; x4 = -2

Ví dụ 2: Giải phương trình 5{x^4} + 3{x^2} - 2 = 0 (1)

Hướng dẫn giải

Đặt {x^2} = t (điều kiện t ≥ 0). Ta được phương trình (1) có dạng

5{t^2} + 3t - 2 = 0 (2)

Ta có: a = 5; b = 3; c = -2

\begin{matrix} \Delta = {b^2} - 4ac = {\left( 3 \right)^2} - 4.5.\left( { - 2} \right) = 49 > 0 \hfill \\ \Rightarrow \sqrt \Delta = \sqrt {49} = 7 \hfill \\ \end{matrix}

Phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt:

{t_1} = \frac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}} = \frac{{ - 3 + 7}}{{2.5}} = \frac{2}{5} (Thỏa mãn điều kiện bài toán)

{t_2} = \frac{{ - b - \sqrt \Delta }}{{2a}} = \frac{{ - 3 - 7}}{{2.5}} = - 1 (Không thỏa mãn điều kiện bài toán)

Với {t_1} = \frac{2}{5} \Rightarrow {x^2} = \frac{2}{5} \Leftrightarrow x = \pm \sqrt {\frac{2}{5}}

Vậy phương trình (1) có 2 nghiệm {x_1} = \sqrt {\frac{2}{5}} ;{x_2} = - \sqrt {\frac{2}{5}}

Ví dụ 3: Giải phương trình {x^4} + 5{x^2} + 6 = 0 (1)

Hướng dẫn giải

Đặt {x^2} = t (điều kiện t ≥ 0). Ta được phương trình (1) có dạng

{t^2} + 5t + 6 = 0 (2)

Ta có: a = 1; b = 5; c = 6

\begin{matrix} \Delta = {b^2} - 4ac = {5^2} - 4.1.6 = 1 > 0 \hfill \\ \Rightarrow \sqrt \Delta = \sqrt 1 = 1 \hfill \\ \end{matrix}

Phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt:

{t_1} = \frac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}} = \frac{{ - 5 + 1}}{{2.1}} = - 2 (Không thỏa mãn điều kiện bài toán)

{t_2} = \frac{{ - b - \sqrt \Delta }}{{2a}} = \frac{{ - 5 - 1}}{{2.1}} = - 3 (Không thỏa mãn điều kiện bài toán)

Vậy phương trình (1) vô nghiệm.

-----------------------------------------------------

Hy vọng tài liệu Cách giải phương trình trùng phương Toán 9 sẽ giúp ích cho các bạn học sinh học nắm chắc các cách biến đổi hệ phương trình đồng thời học tốt môn Toán lớp 9. Chúc các bạn học tốt, mời các bạn tham khảo!

  • 1.318 lượt xem
Chia sẻ bởi: Xucxich14
Tìm thêm: Toán 9
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi

    Chủ đề liên quan

    Chuyên đề Toán 9 ôn thi vào 10