Chuyên đề Hệ thức Vi-ét Chuyên đề Toán 9 thi vào 10

1 Đánh giá

Chuyên đề: Hệ thức Vi-ét

A. Lý thuyết Hệ thức Vi-ét và ứng dụng
- 1. Định lý Vi-ét thuận
- 2. Định lý Vi-ét đảo
B. Các bài toán ứng dụng định lý Vi-ét thường gặp
C. Một số bài tập ví dụ
D. Bài tập vận dụng

GiaiToan xin giới thiệu đến quý thầy cô và học sinh Chuyên đề Hệ thức Vi-ét dưới sự trình bày chi tiết, rõ ràng giúp cho các bạn học sinh ôn tập và củng cố lý thuyết môn Toán lớp 9 vững vàng. Mời các bạn tham khảo!

A. Lý thuyết Hệ thức Vi-ét và ứng dụng

1. Định lý Vi-ét thuận

Cho phương trình bậc hai một ẩn ax² + bx + c = (a ≠ 0) có hai nghiệm x₁, x₂. Khi đó hai nghiệm này thỏa mãn hệ thức dưới đây:

$\left\{ \begin{gathered} S = {x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a} \hfill \\ P = {x_1}{x_2} = \frac{c}{a} \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Hệ quả

Dựa vào hệ thức Vi-ét khi phương trình bậc 2 một ẩn có nghiệm, ta có thể nhẩm trực tiếp nghiệm của phương trình trong một số trường hợp đặc biệt:

Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có hai nghiệm ${x_1} = 1;\,\,{x_2} = \frac{c}{a}$
Nếu a - b + c = 0 thì phương trình có nghiệm ${x_1} = - 1;\,\,{x_2} = - \frac{c}{a}$

2. Định lý Vi-ét đảo

Giả sử hai số thực x₁, x₂ thỏa mãn hệ thức:

$\left\{ \begin{gathered} {x_1} + {x_2} = S \hfill \\ {x_1}{x_2} = P \hfill \\ \end{gathered} \right.\left( {{S^2} - 4P \geqslant 0} \right)$

thì x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình bậc hai x² - Sx + P = 0.

B. Các bài toán ứng dụng định lý Vi-ét thường gặp

1. Dùng hệ thức Vi-ét để nhẩm nghiệm của phương trình

Phương pháp:

Nếu a + b + c = 0 thì phương trình (1) có một nghiệm x₁ = 1, nghiệm kia là $x_{2}=\frac{c}{a}$ .

Nếu a - b + c = 0 thì phương trình (1) có một nghiệm là x₁ = - 1, nghiệm kia là $x_{2}=-\frac{c}{a}$

Với những phương trình bậc hai có hệ số a, b, c đơn giản có thể dùng hệ thức Vi-ét để nhẩm nghiệm của chúng.

2. Tìm hai nghiệm khi biết tổng và tích của chúng

Phương pháp:

Cho phương trình bậc hai một ẩn ax² + bx + c = (a ≠ 0) có hai nghiệm x₁, x₂. Khi đó hai nghiệm này thỏa mãn hệ thức dưới đây:

$\left\{ \begin{gathered} S = {x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a} \hfill \\ P = {x_1}{x_2} = \frac{c}{a} \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Giải hệ phương trình để tìm hai nghiệm x₁, x₂.

3. Tính giá trị của biểu thức có chứa các nghiệm của phương trình

Phương pháp:

Ta cần biến đổi các số hạng trong biểu thức về dạng tổng hoặc tích của các nghiệm của phương trình, rồi dùng công thức: $x_{1} x_{2}=\frac{c}{a}$ và $x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}$ , thế $\frac{c}{a}$ vào vị trí của $x_1x_2$ , thế $-\frac{b}{a}$ vào vị trí của x₁ + x₂, kết quả thu được chính là giá trị của biểu thức cần tìm

4. Xác định tính chất các nghiệm của phương trình

Phương pháp:

Cho phương trình bậc hai một ẩn ax² + bx + c = (a ≠ 0) (1)

Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi a.c < 0

Phương trình có hai nghiệm cùng dấu $\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{1}}{∆ \ge 0 }\\{P=\frac{c}{a}>0 }\end{array}} \right.$

Phương trình có hai nghiệm cùng dấu dương $\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{1}}{∆ \ge 0 }\\{P=\frac{c}{a}>0 } \\ S=-\frac{b}{a}>0\end{array}} \right.$

Phương trình có hai nghiệm cùng dấu âm $\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{1}}{∆ \ge 0 }\\{P=\frac{c}{a}>0 } \\ S=-\frac{b}{a} < 0\end{array}} \right.$

Phương trình có hai nghiệm trái dấu mà nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm dương $\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{1}}{ac<0 } \\ S=-\frac{b}{a} < 0\end{array}} \right.$

C. Một số bài tập ví dụ

Ví dụ 1: Không giải phương trình, nhẩm nghiệm của các phương trình sau:

a) x² - 5x + 4 = 0

b) x² - x - 2 = 0

Lời giải chi tiết:

a) x² - 5x + 4 = 0

Ta có: a = 1, b = - 5, c = 4

Khi đó: a + b + c = 1 - 5 + 4 = 0

Vậy phương trình có hai nghiệm x₁ = 1 và x₂ = 4

b) x² - x - 2 = 0

Ta có: a = 1, b = - 1, c = - 2

Khi đó: a - b + c = 1 + 1 - 2 = 0

Vậy phương trình có hai nghiệm x₁ = - 1 và x₂ = 2

Ví dụ 2: Tìm hai số x₁ và x₂ trong các trường hợp sau:

a) x₁ + x₂ = 32 và x₁x₂ = 231

b) x₁ - x₂ = 3 và x₁x₂ = 2

Lời giải chi tiết:

a) Ta có S = 32 và P = 231 nên hai số cần tìm là nghiệm của phương trình:

X² - 32X + 231 = 0

Xét ∆' = 16² - 231 = 25 > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Do đó $\left\{ {\begin{array}{*{20}{1}}{x_1=16 + \sqrt{15} = 21 } \\ x_2 = 16 -\sqrt{15} = 11\end{array}} \right.$

b) Ta có: x₁ - x₂ = 3 hay x₁ + (- x₂) = 3

x₁x₂ = 2 hay x₁ . (- x₂) = - 2

Ta có S = 3 và P = - 2 nên hai số cần tìm là nghiệm của phương trình:

X² - 3X - 2 = 0

Xét ∆ = 3² - 4 . (- 2) = 17 > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Do đó $\left\{ {\begin{array}{*{20}{1}}{x_1= \frac{3+\sqrt{17}}{2} } \\ -x_2 = \frac{3-\sqrt{17}}{2}\end{array}} \right.$ hay $\left\{ {\begin{array}{*{20}{1}}{x_1= \frac{3+\sqrt{17}}{2} } \\ x_2 = -\frac{3-\sqrt{17}}{2}\end{array}} \right.$

Ví dụ 3: Tìm điều kiện của m để phương trình x² + 2(m + 1)x + 2m = 0:

a) Có hai nghiệm trái dấu

b) Có hai nghiệm cùng âm

Lời giải chi tiết:

Xét ∆' = (m + 1)² - 2m = m² + 1 > 0 với mọi m

Do đó phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.

a) Để phương trình có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi 2m < 0 hay m < 0

b) Có hai nghiệm cùng âm $\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{1}}{∆ \ge 0 }\\{ \frac{c}{a}>0 } \\ -\frac{b}{a} < 0\end{array}} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{1}}{∆ \ge 0 \ (luôn \ đúng) }\\{2m > 0 } \\ -2(m+1) < 0\end{array}} \right.$

$\Leftrightarrow$ m > 0

Ví dụ 4: Cho phương trình x² + 5x + 6 = 0. Gọi x₁ và x₂ là hai nghiệm của phương trình, không tính giá trị của x₁ và x₂, hãy tính giá trị của biểu thức sau:

$A=\frac{6x_1^2+10x_1x_2+6x_2^2}{5x_1x_2^3+5x_1^3x_2}$