Giaitoan.com Toán 9

Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình Cách giải bài toán chuyển động

Nội dung Tải về
  • 30 Đánh giá

Giải toán bằng cách lập hệ phương trình

Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình được GiaiToan.com biên soạn bao gồm đáp án chi tiết cho từng bài tập giúp các bạn học sinh ngoài bài tập trong sách giáo khoa (sgk) có thể luyện tập thêm các dạng bài tập cơ bản và nâng cao để biết được cách giải các bài toán bằng cách lập hệ phương trình. Đây là tài liệu tham khảo hay dành cho quý thầy cô và các vị phụ huynh lên kế hoạch ôn tập học kì môn Toán 9 và ôn tập thi vào lớp 10. Mời các bạn học sinh và quý thầy cô cùng tham khảo tài liệu chi tiết!

1. Các bước giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

Bước 1: Lập hệ phương trình:

+ Đặt ẩn và tìm điều kiện của ẩn (nếu có).

+ Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.

+ Lập hệ phương trình biểu diễn tương quan giữa các đại lượng.

Bước 2: Giải hệ phương trình.

Bước 3: So sánh với điều kiện và kết luận.

2. Công thức tính quãng đường, công thức tính vận tốc

- Quãng đường bằng vận tốc nhân với thời gian

Công thức: S = v.t \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {v = \dfrac{S}{t}} \\ {t = \dfrac{S}{v}} \end{array}} \right.

Trong đó: S là quãng đường (km), v là vận tốc (km/h); t là thời gian (s)

- Các dạng bài toán chuyển động thường gặp là: chuyển động cùng nhau ngược nhau, chuyển dộng trước sau; chuyển động xuôi dòng – ngược dòng; …

3. Công thức tính vận tốc dòng nước

- Vận tốc của cano khi chuyển động trên dòng nước:

Vận tốc xuôi dòng = vận tốc thực của cano + vận tốc dòng nước

Vận tốc ngược dòng = vận tốc thực của cano - vận tốc dòng nước

Vận tốc dòng nước = (vận tốc xuôi dòng – vận tốc ngược dòng)/2

4. Cách giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

Ví dụ 1: Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình:

Quãng đường AB là một con dốc. Một người đi xe đạp xuống dốc với vận tốc lớn hơn lên dốc là 4km/h và đi từ A đến B mất 2 giờ 10phút, từ B đến A mất ít hơn 10 phút. Tìm vận tốc của xe đạp khi lên dốc.

Hướng dẫn giải

Gọi vận tốc khi lên dốc là x (km/h)

Vận tốc lúc xuống dốc là y (km/h) (x; y > 0)

Vận tốc xuống dốc lớn hơn vận tốc lên dốc 4km/h nên ta có phương trình:

y – x = 4 (1)

Thời gian từ A đến B lớn hơn thời gian từ B đến A nên từ A đến B là lên dốc và từ B đến A là xuống dốc

Thời gian lên dốc từ A đến B là {t_1} = \frac{S}{x} = \frac{{13}}{6} (giờ)

Thời gian xuống dốc từ B đến A là: {t_2} = \frac{S}{y} = 2 (giờ)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {y - x = 4} \\ {y = \dfrac{{13}}{{12}}x} \end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 48} \\ {y = 52} \end{array}} \right.

Vậy thời gian lên dốc là 48km/h.

Ví dụ 2: Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình
Một cano xuôi dòng 44km rồi ngược dòng 27km hết tất cả 3 giờ 30 phút. Biết vận tốc thực của cano là 20km/h. Tính vận tốc dòng nước.

Hướng dẫn giải

Gọi vận tốc xuôi dòng là x (km/h)

Vận tốc ngược dòng là y (km/h) (x; y > 0)

Thời gian cano đi xuôi dòng là: \frac{{44}}{x}\left( h \right)

Thời gian cano đi ngược dòng là: \frac{{27}}{y}\left( h \right)

Tổng thời gian đi xuôi dòng và ngược dòng của cano là 3 giờ 30 phút

Ta có phương trình: \frac{{44}}{x} + \frac{{27}}{y} = 3,5 (1)

Ta có:

Vận tốc dòng nước = Vận tốc xuôi dòng - vận tốc thực của cano

Vận tốc dòng nước = vận tốc thực của cano - vận tốc ngược dòng

Ta có phương trình:

x – 20 = 20 – y

=> x + y = 40 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x + y = 40} \\ {\dfrac{{44}}{x} + \dfrac{{27}}{y} = 3,5} \end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 22} \\ {y = 18} \end{array}} \right.} \right.

=> Vận tốc dòng nước là: 2km/h

Ví dụ 3: Một xe tải đi từ A đến B với vận tộc 45km/h. Sau 1 giờ 30 phút thì một xe ô tô cũng xuất phát từ A đến B với vận tốc 60km/h và đến B cùng một lúc với xe tải. Tính quãng đường AB

Hướng dẫn giải

Gọi độ dài quãng đường AB là a (km) (a > 0)

Thời gian xe tải đi từ A đến B là \frac{a}{{45}}(km)

Thời gian xe ô tô đi từ A đến B là: \frac{a}{{60}} (km)

Vì xe ô tô xuất phát sau xe tải 1 giờ 30 phút = 1,5 giờ nên ta có phương trình:

\frac{a}{{45}} - \frac{a}{{60}} = 1,5 \Rightarrow a = 270\left( {tm} \right)

Vậy quãng đường AB dài 270km.

Ví dụ 4: Hai tỉnh A và B cách nhau 180km/h. Cùng một lúc, ô tô đi từ A đến B và một xe máy đi từ B về A. Hai xe gặp nhau tại tỉnh C, Từ C đến B ô tô đi hết 2 giờ, còn từ C về A xe máy đi hết 4 giờ 30 phút. Tính vận tốc của xe ôt ô và xe máy biết rằng trên quãng đường AB hai xe đều chạy với vận tốc không thay đổi.

Hướng dẫn giải

Gọi vận tốc của ô tô là x (km/h), vận tốc của xe máy là y (km/h) (điều kiện x, y > 0)

Sau một thời gian hai xe gặp nhau tại C, xe ô tô phải chạy tiếp hai giờ nữa thì tới B nên quãng đường CB dài 2x (km)

Còn xe máy phải đi tiếp 4 giờ 30 phút = 4,5 giờ mới tới A nên quãng đường CA dài 4,5y (km)

Do đó ta có phương trình: 2x + 4,5y = 180 (1)

Vận tốc của ô tô là x (km/h) => Quãng đường AC là \frac{{4,5y}}{x} (km)

Vận tốc của xe máy là y (km/h) => Quãng đường CB là \frac{{2x}}{y} (km)

Vì hai xe khỏi hành cùng một lúc và gặp nhau tại C nên lúc gặp nhau hai xe đã đi được một khoảng thời gian như nhau, khi đó ta có phương trình:

\frac{{4,5y}}{x} = \frac{{2x}}{y} (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2x + 4,5y = 180} \\ {\dfrac{{4,5y}}{x} = \dfrac{{2x}}{y}} \end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 36} \\ {y = 24} \end{array}} \right.} \right.

Vậy vận tốc của ô tô là 36km/h và vận tốc của xe máy là 24km/h.

Ví dụ 5: Một ô tô dự định đi từ A đến B trong một thời gian nhất định. Nếu xe chạy mỗi giờ nhanh hơn km đến sớm hơn dự định 3 giờ, còn xe chạy chậm lại mỗi giờ 10km thì đến nơi chậm mất 5 giờ. Tính vận tốc của xe lúc đầu, thời gian dự định và chiều dài quãng đường AB.

Hướng dẫn giải

Gọi thời gian dự định là x (giờ), vận tốc của xe lúc đầu là y (km/h) (điều kiện x, y > 0)

Khi đó chiều dài quãng đường AB là xy (km)

Khi xe chạy nhanh hơn 10km mỗi giờ thì vận tốc của xe lúc này là y + 10 (km/h)

Thời gian xe đi hết quãng đường AB là x - 3 (giờ)

Ta có phương trình (x - 3)(y + 10) = xy (*)

Khi xe chạy chậm hơn 10km mỗi giờ thì vận tốc xe lúc này là y - 10 (km/h)

Thời gian xe đi hết quãng đường AB là x + 5 (giờ)

Ta có phương trình: (x + 5) (y - 10) = xy (**)

Từ (*) và (**) ta có hệ phương trình:

\begin{matrix} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left( {x - 3} \right)\left( {y + 10} \right) = xy} \\ {\left( {x + 5} \right)\left( {y - 10} \right) = xy} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {xy + 10x - 3y - 30 = xy} \\ {xy - 10x + 5y - 50 = xy} \end{array}} \right. \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {10x - 3y = 30} \\ { - 10x + 5y = 50} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {10x - 3y = 30} \\ { - 10x + 5y = 50} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {10x - 3y = 30} \\ {2y = 80} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 15} \\ {y = 40} \end{array}} \right.\left( {tm} \right) \hfill \\ \end{matrix}

Thời gian xe dự định đi hết quãng đường AB là 15 giờ

Vận tốc của xe lúc đầu là 40km/h

Quãng đường AB có độ dài là 15.40 = 600 (km)

5. Bài tập giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình dạng chuyển động

Bài 1: Trên quãng đường AB dài 200km có hai xe đi ngược chiều nhau, xe 1 khởi hành từ A đến B, xe hai khởi hành từ B về A. Hai xe khởi hành cùng một lúc và gặp nhau sau 2 giờ. Tính vận tốc mỗi xe, biết xe hai đi nhanh hơn xe 1 là 10km/h.

Bài 2: Một cano xuôi dòng từ bến A đến bến B với vận tốc trung bình 30km/h. sau đó lại ngược dòng từ B về A. Thời gian đi xuôi dòng ít hơn thời gian đi ngược dòng là 40 phút. Tính khoảng cách giữa hai bến A và B, biết vận tốc dòng nước là 3km/h và vận tốc thực của cano không thay đổi.

Bài 3: Một ô tô chuyển động trên một đoạn đường. Trong nửa thời gian đầu ô tô chuyển động với vận tốc 60km/h, trong nửa thời gian còn lại ô tô chuyển động với vận tốc 40km/h. Tính vận tốc trung bình của ô tô trên cả đoạn đường.

Bài 4: Một cano chuyển động đều xuôi dòng sông từ A đến B mất thời gian 1 giờ khi canô chuyển động ngược dòng sông từ B về A mất thời gian 1,5 giờ biết vận tốc cano đối với dòng nước và vận tốc của dòng nước là không đổi nếu cano tắt máy thả trôi từ A đến B thì mất thời gian là?

Bài 5: Hai bến sông A và B cách nhau 36km. Dòng nước chảy theo hướng từ A đến B với vận tốc 4km/h. Một canô chuyển động từ A về B hết 1 giờ. Hỏi canô đi ngược từ B đến A trong bao lâu?

Bài 6: Hai ô tô khởi hành cùng một lúc từ 2 tỉnh A và B cách nhau 400km đi ngược chiều và gặp nhau sau 5h. Nếu vận tốc của mỗi xe không thay đổi nhưng xe đi chậm xuất phát trước xe kia 40 phút thì 2 xe gặp nhau sau 5h22 phút kể từ lúc xe khởi hành. Tính vận tốc của mỗi xe?

Bài 7: Một ô tô dự định đi từ A đến B trong một thời gian nhất định. Nếu xe chạy mỗi giờ nhanh hơn 10km thì đến sớm hơn dự định 3 giờ, nếu xe chạy chậm lại mỗi giờ 10km thì đến nơi chậm mất 5 tiếng. Tính vận tốc của xe lúc ban đầu, thời gian dự định và độ dài quãng đường AB.

Bài 8: Quãng đường AB dài 60km, người thứ nhất đi từ A đến B người thứ 2 đi từ B đến A. Họ khởi hành cùng một lúc và gặp nhau tại C sau 1,2 giờ. Người thứ nhất đi tiếp đến B với vận tốc giảm hơn trước là 6km/h, người thứ hai đi đến A với vận tốc như cũ. Kết quả người thứ nhất đến sớm hơn người thứ hai là 48 phút. Tính vận tốc ban đầu của mỗi người.

6. Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình dạng làm chung làm riêng

Ví dụ 1: Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình.

Hai đội công nhân cùng làm việc và hoàn thành trong 24 giờ. Nếu đội thứ nhất làm 10 giờ, đội thứ hai làm 15 giờ, thì cả hai đội làm được một nửa công việc. Tính thời gian mỗi đội làm một mình để xong công việc.

Hướng dẫn giải

Gọi a, b lần lượt là số phần công việc mà đội I và đội II làm được trong 1h

Vì 2 đội cùng làm việc thì hoàn thành công việc trong 24h nên trong 1h cả 2 đội làm được \frac{1}{{24}} công việc

\Rightarrow a + b = \frac{1}{{24}} (1)
Trong 10h, đội I làm được 10a phần công việc, trong 15h đội II làm được 15b phần công việc.

Vì khi đó cả 2 đội làm được \frac{1}{2} công việc nên:

\Rightarrow 10a + 15b = \frac{1}{2} (2)

Từ (1) và (2) ta được hệ phương trình:

\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a + b = \dfrac{1}{{24}}} \\ {10a + 15b = \dfrac{1}{2}} \end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a = \dfrac{1}{{40}}} \\ {b = \dfrac{1}{{60}}} \end{array}} \right.} \right.

Vậy đội I làm trong 40h thì xong công việc, đội II làm trong 60h thì xong công việc.

Ví dụ 2: Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình
Hai người làm chung một công việc thì sau 20 ngày sẽ hoàn thành. Nhưng sau khi làm chung được 10 ngày thì người thứ nhất đi làm việc khác, người thứ hai vẫn tiếp tục công việc đó và hoàn thành trong 15 ngày. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người phải làm trong bao nhiêu ngày để hoàn thành công việc?

Hướng dẫn giải

Gọi số ngày người thứ nhất làm một mình hoàn thành công việc là x (ngày)

Số ngày người thứ làm một mình hoàn thành công việc là: y (ngày) (x, y > 0)

Một ngày người thứ nhất làm được số công việc là: \frac{1}{x} (công việc)

Một ngày người thứ hai làm được số công việc là: \frac{1}{y} (công việc)

Hai người làm chung một công việc thì sau 20 ngày sẽ hoàn thành. Ta có phương trình:

\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{{20}} (1)

Khi làm chung được 10 ngày số công việc làm được là: 10\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} \right) (công việc)

Người thứ hai vẫn tiếp tục công việc còn lại và hoàn thành trong 15 ngày

Ta có phương trình:

10\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} \right) + \frac{{15}}{y} = 1 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{{20}}} \\ {10\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}} \right) + \dfrac{{15}}{y} = 1} \end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 60} \\ {y = 30} \end{array}} \right.} \right.

Vậy người thứ nhất làm một mình xong công việc trong 60 ngày.

Bài tập tự luyện: Hai vòi nước cùng chảy vào một bể nước cạn (không có nước) thì sau 4\frac{4}{5} giờ đầy bể. Nếu lúc đầu chỉ mở vòi thứ nhất và 9 giờ sau mới mở thêm vòi thứ hai thì sau \frac{6}{5}giờ nữa mới đầy bể. Hỏi nếu ngay từ đầu chỉ mở vòi thứ hai thì sau bao lâu mới đầy bể?

Xem chi tiết tại đây

7. Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình dạng năng suất

Ví dụ 1: Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình.

Hai đội xây dựng cùng làm chung một công việc và dự định xong trong 12 ngày. Họ cùng làm chung với nhau được 8 ngày thì đội 1 được điều đi làm việc khác. Đội 2 tiếp tục làm, do cải tiến kĩ thuật năng suất tăng gấp đôi nên đội 2 đã làm xong phần công việc còn lại trong 3,5 ngày. Hỏi mỗi đội làm một mình thì sau bao lâu sẽ làm xong công việc trên.

Hướng dẫn giải

Gọi x, y là số ngày đội 1, đội 2 làm xong công việc (x, y > 12)

Trong 1 ngày đội 1 làm được: \frac{1}{x} công việc

Trong 1 ngày đội 2 làm được: \frac{1}{y} công việc

Trong một ngày cả hai đội làm được: \frac{1}{{12}} công việc

Ta có phương trình \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{{12}} (1)

Khi cả hai đội làm chung 8 ngày, cả hai đội làm được 2/3 công việc

Số công việc còn lại để đội 2 làm là 1/3 công việc

Do đội 2 làm với năng suất gấp đôi: \frac{2}{y}

Theo bài ra: 3,5.\frac{2}{y} = \frac{1}{3} (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {3,5.\dfrac{2}{y} = \dfrac{1}{3}} \\ {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{{12}}} \end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 28} \\ {y = 21} \end{array}} \right.

Kết luận: Đội thứ nhất hoàn thành công việc một mình trong 28 giờ.

Đội thứ hai hoàn thành công việc một mình trong 21 giờ.

Ví dụ 2: Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình:
Một tổ sản xuất phải làm được 600 sản phẩm trong một thời gian quy định với năng suất quy định. Sau khi làm xong 400 sản phẩm tổ sản xuất tăng năng suất lao động, mỗi ngày làm tăng thêm 10 sản phẩm so với quy định. Vì vậy mà công việc được hoàn thành sớm hơn quy định một ngày. Tính xem, theo quy định, mỗi ngày tổ sản xuất phải làm bao nhiêu sản phẩm?

Hướng dẫn giải

Gọi số sản phẩm làm theo quy định trong 1 ngày là x (sản phẩm) (0 < x < 600)

Số sản phẩm làm được khi tăng năng suất là y (sản phẩm) (y > 0)

Ta có y = x + 10 (1)

Thời gian hoàn thành theo quy định là: \frac{{600}}{x} (ngày)

Thời gian làm 400 sản phẩm đầu là \frac{{400}}{x} (ngày)

Thời gian làm 200 sản phẩm còn lại là \frac{{200}}{y} (ngày)

Ta có phương trình: \frac{{400}}{x} + \frac{{200}}{y} = \frac{{600}}{x} - 1 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {y = x + 10} \\ {\dfrac{{400}}{x} + \dfrac{{200}}{y} = \dfrac{{600}}{x} - 1} \end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 40} \\ {y = 50} \end{array}} \right.

Vậy theo quy định mỗi ngày tổ sản xuất phải làm 40 sản phẩm.

Xem chi tiết tại đây

8. Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình dạng tìm số

Bước 1: Lập hệ phương trình:

+ Đặt ẩn và tìm điều kiện của ẩn (nếu có).

+ Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.

+ Lập hệ phương trình biểu diễn tương quan giữa các đại lượng.

Bước 2: Giải hệ phương trình.

Bước 3: So sánh với điều kiện và kết luận.

Bài tập:

Bài 1: Tìm hai số tự nhiên biết rằng tổng của chúng bằng 1006 và nếu lấy số lớn chia cho số nhỏ thì được thương là 2 và số dư là 124

Bài 2: Giải bài toán cổ sau:

Quýt, cam mười bảy quả tươi

Đem chia cho một tẳm người cùng vui

Chia ba mỗi quả quýt rồi

Còn cam mỗi quả chia mười vừa xinh

Trăm người trăm miếng ngọt lành

Quýt, cam mỗi loại tính rành là bao?

Bài 3: Có 45 người gồm bác sĩ và luật sư, tuổi trung bình của họ là 40. Tính số bác sĩ và luật sư biết rằng tuổi trung bình của bác sĩ là 35 tuổi, tuổi trung bình của luật sư là 50 tuổi.

Bài 4: Tìm tất cả các số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng chữ số hàng đơn vị nhỏ hơn chữ số hàng chục là 2 và tích của hai chữ số đó của nó luôn hơn tổng hai chữ số của nó là 34.

Xem chi tiết tại đây

----------------------------------------

Tài liệu liên quan:

------------------------------------------------------------

Hy vọng tài liệu Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình giúp sẽ giúp ích cho các bạn học sinh học nắm chắc cách giải hệ phương trình đồng thời học tốt môn Toán lớp 9. Chúc các bạn học tốt, mời các bạn tham khảo! Mời thầy cô và bạn đọc tham khảo thêm một số tài liệu liên quan: Lý thuyết Toán 9, Giải Toán 9, Luyện tập Toán 9, ...

  • 85.970 lượt xem
Chia sẻ bởi: Bọ Cạp
Liên kết tải về

Link Download chính thức:

Tìm thêm: Toán 9 Chuyên đề Toán 9 Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình
1 Bình luận
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
  • kirito gaming
    kirito gaming

    Ví dụ 3 vẫn chưa hiểu tính sao ra 270=)

    Thích Phản hồi 20:20 01/06
    • Khang Anh
      Khang Anh

      Đáp án đã đúng rồi bạn nhé, ko biết bạn ko hiểu chỗ nào ạ?

      Thích Phản hồi 21:26 01/06

Xem thêm bài viết khác

Xem thêm Toán 9

Chủ đề liên quan

Chuyên đề Toán 9 ôn thi vào 10