Tìm m để phương trình có nghiệm nguyên Chuyên đề Toán lớp 9 luyện thi vào lớp 10

18 Đánh giá

Tìm m để phương trình có nghiệm

A. Cách tìm m để phương trình có nghiệm nguyên
B. Bài tập tìm m để phương trình có nghiệm nguyên
C. Chuyên đề Toán 9: Phương trình bậc 2

Tìm tham số m để phương trình có nghiệm nguyên là một dạng toán khó thường gặp trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán. Tài liệu được GiaiToan biên soạn và giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô tham khảo. Nội dung tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh học tốt môn Toán 9 hiệu quả hơn. Mời các bạn tham khảo.

A. Cách tìm m để phương trình có nghiệm nguyên

Ví dụ 1: Cho phương trình x² - 2mx + m - 4 = 0 (m là tham số). Tìm m nguyên để phương trình có hai nghiệm nguyên.

Hướng dẫn giải

Ta có 2 cách làm bài toán được trình bày như sau:

Cách 1:

Ta có:

$\Delta ' = {m^2} - \left( {m - 4} \right) = {m^2} - m + 4A$

Để phương trình có nghiệm nguyên thì ∆’ phải là số chính phương

Do đó ta có:

$\begin{matrix} {m^2} - m + 4 = {k^2},\left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \hfill \\ \Rightarrow 4{m^2} - 4m + 16 = 4{k^2} \hfill \\ \Rightarrow {\left( {2m - 1} \right)^2} - 4{k^2} = - 15 \hfill \\ \Rightarrow \left( {2m - 1 - 2k} \right)\left( {2m - 1 + 2k} \right) = - 15 \hfill \\ \end{matrix}$

Do k² luôn lớn hơn 0 nên không ảnh hưởng tới giá trị cần tìm của m ta giả sử k ≥ 0 ta có:

(2m – 1 + 2k) ≥ (2m – 1 – 2k)

Do đó ta có các trường hợp như sau:

$\begin{matrix} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2m - 1 - 2k = - 1} \\ {2m - 1 + 2k = 15} \end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m = 4} \\ {k = 4} \end{array}} \right. \hfill \\ \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2m - 1 - 2k = - 3} \\ {2m - 1 + 2k = 55} \end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m = 1} \\ {k = 2} \end{array}} \right. \hfill \\ \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2m - 1 - 2k = - 5} \\ {2m - 1 + 2k = 3} \end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m = 0} \\ {k = 2} \end{array}} \right. \hfill \\ \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2m - 1 - 2k = - 15} \\ {2m - 1 + 2k = 1} \end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m = - 3} \\ {k = 4} \end{array}} \right. \hfill \\ \end{matrix}$

Thử kiểm tra lại kết quả, thay các giá trị m = -3, m = 0, m = 4 vào phương trình ta thấy đều thỏa mãn điều kiện bài toán

Cách 2: Sử dụng hệ thức Vi – et

Gọi x_1,, x₂ (x₁ < x₂) là hai nghiệm nguyên của phương trình ta có:

$\begin{matrix} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1} + {x_2} = 2m} \\ {{x_1}{x_2} = m - 4} \end{array}} \right. \hfill \\ \Rightarrow {x_1} + {x_2} - 2{x_1}{x_2} = 8 \hfill \\ \Rightarrow 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) - 4{x_1}{x_2} - 1 = 15 \hfill \\ \Rightarrow \left( {2{x_1} - 1} \right)\left( {2{x_2} - 1} \right) = - 15 \hfill \\ \end{matrix}$

Trường hợp 1: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2{x_1} - 1 = - 1} \\ {2{x_2} - 1 = 15} \end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1} = 0} \\ {{x_2} = 8} \end{array} \Rightarrow m = 4} \right.$

Trường hợp 2: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2{x_1} - 1 = - 5} \\ {2{x_2} - 1 = 3} \end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1} = - 2} \\ {{x_2} = 2} \end{array} \Rightarrow m = 0} \right.$

Trường hợp 3: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2{x_1} - 1 = - 15} \\ {2{x_2} - 1 = 1} \end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1} = - 7} \\ {{x_2} = 1} \end{array} \Rightarrow m = - 3} \right.$

Trường hợp 4: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2{x_1} - 1 = - 3} \\ {2{x_2} - 1 = 5} \end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1} = - 1} \\ {{x_2} = 3} \end{array} \Rightarrow m = 1} \right.$

Thử lại kêt quả với m = 0, m = 3, m = -3, m = 4 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Ví dụ 2: Tìm các số nguyên m để phương trình x² - (4 + m)x + 2m = 0 có các nghiệm là số nguyên.

Hướng dẫn giải

Ta có:

$\begin{matrix} {m^2} + 16 = {k^2},\left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \hfill \\ \Rightarrow {m^2} - {k^2} = - 16 \hfill \\ \Rightarrow \left( {m + k} \right)\left( {m - k} \right) = - 16 \hfill \\ \end{matrix}$

Để phương trình có nghiệm nguyên thì ∆ phải là số chính phương. Khi đó ta có:

Ta thấy (m + k) – (m – k) = 2k

=> (m + k) và (m – k) phải cùng chẵn hoặc cùng lẻ. Do tích là 16 nên là cùng chẵn

Mặt khác m + k ≥ m – k do đó ta có bảng số liệu như sau:

m + k	8	4	2
m – k	- 2	- 4	- 8
m	3	0	- 3

Kiểm tra lại kết quả ta thấy m = -3, m = 0, m = 3 đều thỏa mãn điều kiện phương trình.

Vậy m = - 3, m = 0, m = 3 là các giá trị cần tìm.

Ví dụ 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d): y = (m + 2)x + 3 và parabol (P): y = x². Tìm tất cả các giá trị của m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt có các hoành độ là các số nguyên.

Lời giải chi tiết:

Xét phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d):

x² = (m + 2)x + 3

$\Leftrightarrow$ x² - (m + 2)x - 3 = 0 (1)

Xét pt (1) có ac = - 3 < 0 nên phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt trái dấu.

Áp dụng hệ thức Vi-ét cho phương trình (1), ta có:

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{1}} {x_1+x_2=m+2} \\ {x_1x_2=-3} \end{array}} \right.$

Vì x₁, x₂ nguyên nên x₁, x₂ ∈ Ư(- 3), ta có bảng sau:

x₁	1	3	- 1	- 3
x₂	- 3	- 1	3	1
x₁ + x₂	- 2	2	2	- 2
m	- 4	0	0	- 4

Vậy m = 0 hoặc m = - 4 thì phương trình thỏa mãn bài toán.

B. Bài tập tìm m để phương trình có nghiệm nguyên

Bài tập 1: Cho phương trình b(b + 3)x² - 2x - (b + 1)(b + 2) = 0 (b là tham số)

a) Chứng minh rằng phương trình đã cho luôn có nghiệm hữu tỉ

b) Xác định tham số b để phương trình có các nghiệm đều nguyên.

Bài tập 2: Cho phương trình ${x^2} - \left( {2m + 3} \right)x + 3m + 1 = 0$ (m là tham số). Tìm tất cả các số nguyên m để phương trình đã cho có nghiệm nguyên.