Các bước giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình Chuyên đề Toán lớp 9 luyện thi vào lớp 10

1 Đánh giá

Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

A. Cách giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình
B. Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình dạng chuyển động
- Công thức tính quãng đường
- Công thức tính vận tốc dòng nước
C. Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình dạng nặng suất
D. Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình dạng làm chung làm riêng
E. Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình dạng tìm số tự nhiên

Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình được biên soạn bao gồm đáp án chi tiết cho từng bài tập giúp các bạn học sinh ngoài bài tập trong sách giáo khoa (sgk) có thể luyện tập thêm các dạng bài tập cơ bản nhất để biết được cách giải các bài toán bằng cách lập phương trình. Đây là tài liệu tham khảo hay dành cho quý thầy cô và các vị phụ huynh lên kế hoạch ôn tập học kì môn Toán lớp 9. Chúc các bạn học tập tốt!

A. Cách giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

Bước 1: Lập hệ phương trình:

+ Đặt ẩn và tìm điều kiện của ẩn (nếu có).

+ Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.

+ Lập hệ phương trình biểu diễn tương quan giữa các đại lượng.

Bước 2: Giải hệ phương trình.

Bước 3: So sánh với điều kiện và kết luận.

B. Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình dạng chuyển động

Công thức tính quãng đường

- Quãng đường bằng vận tốc nhân với thời gian

Công thức: $S = v.t \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {v = \dfrac{S}{t}} \\ {t = \dfrac{S}{v}} \end{array}} \right.$

Trong đó: S là quãng đường (km), v là vận tốc (km/h); s là thời gian (s)

- Các dạng bài toán chuyển động thường gặp là: chuyển động cùng nhau ngược nhau, chuyển dộng trước sau; chuyển động xuôi dòng – ngược dòng; …

Công thức tính vận tốc dòng nước

- Vận tốc của cano khi chuyển động trên dòng nước:

Vận tốc xuôi dòng = vận tốc thực của cano + vận tốc dòng nước

Vận tốc ngược dòng = vận tốc thực của cano - vận tốc dòng nước

Vận tốc dòng nước = (vận tốc xuôi dòng – vận tốc ngược dòng)/2

Ví dụ: Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình:

Quãng đường AB là một con dốc. Một người đi xe đạp xuống dốc với vận tốc lớn hơn lên dốc là 4km/h và đi từ A đến B mất 2 giờ 10phút, từ B đến A mất ít hơn 10 phút. Tìm vận tốc của xe đạp khi lên dốc.

Hướng dẫn giải

Gọi vận tốc khi lên dốc là x (km/h)

Vận tốc lúc xuống dốc là y (km/h) (x; y > 0)

Vận tốc xuống dốc lớn hơn vận tốc lên dốc 4km/h nên ta có phương trình:

y – x = 4 (1)

Thời gian từ A đến B lớn hơn thời gian từ B đến A nên từ A đến B là lên dốc và từ B đến A là xuống dốc

Thời gian lên dốc từ A đến B là ${t_1} = \frac{S}{x} = \frac{{13}}{6}$ (giờ)

Thời gian xuống dốc từ B đến A là: ${t_2} = \frac{S}{y} = 2$ (giờ)

$\begin{matrix} \Rightarrow \dfrac{{{t_1}}}{{{t_2}}} = \dfrac{y}{x} = \dfrac{{\dfrac{{13}}{6}}}{2} = \dfrac{{13}}{{12}} \hfill \\ \Rightarrow y = \dfrac{{13}}{{12}}x{\text{ }}\left( 2 \right) \hfill \\ \end{matrix}$

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {y - x = 4} \\ {y = \dfrac{{13}}{{12}}x} \end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 48} \\ {y = 52} \end{array}} \right.$

Vậy thời gian lên dốc là 48km/h.

C. Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình dạng nặng suất

Công thức:

- Thời gian hoàn thành một công việc: $T = \frac{1}{N}$ (N là năng suất)

- Số công việc hoàn thành trong một đơn vị thời gian T: Công việc = N. T

Ví dụ: Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình.

Hai đội xây dựng cùng làm chung một công việc và dự định xong trong 12 ngày. Họ cùng làm chung với nhau được 8 ngày thì đội 1 được điều đi làm việc khác. Đội 2 tiếp tục làm, do cải tiến kĩ thuật năng suất tăng gấp đôi nên đội 2 đã làm xong phần công việc còn lại trong 3,5 ngày. Hỏi mỗi đội làm một mình thì sau bao lâu sẽ làm xong công việc trên.

Hướng dẫn giải

Gọi x, y là số ngày đội 1, đội 2 làm xong công việc (x, y > 12)

Trong 1 ngày đội 1 làm được: $\frac{1}{x}$ công việc

Trong 1 ngày đội 2 làm được: $\frac{1}{y}$ công việc

Trong một ngày cả hai đội làm được: $\frac{1}{{12}}$ công việc

Ta có phương trình $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{{12}}$ (1)

Khi cả hai đội làm chung 8 ngày, cả hai đội làm được 2/3 công việc

Số công việc còn lại để đội 2 làm là 1/3 công việc

Do đội 2 làm với năng suất gấp đôi: $\frac{2}{y}$

Theo bài ra: $3,5.\frac{2}{y} = \frac{1}{3}$ (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {3,5.\dfrac{2}{y} = \dfrac{1}{3}} \\ {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{{12}}} \end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 28} \\ {y = 21} \end{array}} \right.$

Kết luận: ……

D. Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình dạng làm chung làm riêng

Ví dụ: Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình
Hai người làm chung một công việc thì sau 20 ngày sẽ hoàn thành. Nhưng sau khi làm chung được 10 ngày thì người thứ nhất đi làm việc khác, người thứ hai vẫn tiếp tục công việc đó và hoàn thành trong 15 ngày. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người phải làm trong bao nhiêu ngày để hoàn thành công việc?

Hướng dẫn giải

Gọi số ngày người thứ nhất làm một mình hoàn thành công việc là x (ngày)

Số ngày người thứ làm một mình hoàn thành công việc là: y (ngày) (x, y > 0)

Một ngày người thứ nhất làm được số công việc là: $\frac{1}{x}$ (công việc)

Một ngày người thứ hai làm được số công việc là: $\frac{1}{y}$ (công việc)

Hai người làm chung một công việc thì sau 20 ngày sẽ hoàn thành. Ta có phương trình:

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{{20}}$ (1)

Khi làm chung được 10 ngày số công việc làm được là: $10\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} \right)$ (công việc)

Người thứ hai vẫn tiếp tục công việc còn lại và hoàn thành trong 15 ngày

Ta có phương trình:

$10\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} \right) + \frac{{15}}{y} = 1$ (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{{20}}} \\ {10\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}} \right) + \dfrac{{15}}{y} = 1} \end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 60} \\ {y = 30} \end{array}} \right.} \right.$

Vậy người thứ nhất làm một mình xong công việc trong 60 ngày

E. Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình dạng tìm số tự nhiên

Số tự nhiên có hai chữ số có dạng:

$\overline {ab} = a.10 + b;\left( {a \ne 0} \right)$

Số tự nhiên có ba chữ số có dạng:

$\overline {abc} = a.100 + b.10 + c;\left( {a \ne 0} \right)$

Ví dụ: Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình:

Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết tổng hai chữ số của số đó là 11, hiệu các bình phương của chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị là 33.

Hướng dẫn giải

Gọi số tự nhiên có hai chữ số là: $\overline {ab} = a.10 + b;\left( {a \ne 0} \right)$

Tổng hai chữ số bằng 11 ta có:

a + b = 11 (1)

Hiệu các bình phương của chữ số hàng chục và hàng đơn vị là 33 ta có 2 trường hợp:

TH1: ${a^2} - {b^2} = 33$ (2)

Th2: ${b^2} - {a^2} = 33$ (3)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

$\begin{matrix} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a + b = 11} \\ {{a^2} - {b^2} = 33} \end{array} \Leftrightarrow } \right.\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a + b = 11} \\ {\left( {a + b} \right)\left( {a - b} \right) = 33} \end{array}} \right. \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a + b = 11} \\ {a - b = 3} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a = 7} \\ {b = 4} \end{array}} \right. \hfill \\ \end{matrix}$

Vậy số tự nhiên cần tìm là 74

Từ (1) và (3) ta có hệ phương trình:

$\begin{matrix} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a + b = 11} \\ {{b^2} - {a^2} = 33} \end{array} \Leftrightarrow } \right.\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a + b = 11} \\ {\left( {b - a} \right)\left( {b + a} \right) = 33} \end{array}} \right. \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a + b = 11} \\ {b - a = 3} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a = 4} \\ {b = 7} \end{array}} \right. \hfill \\ \end{matrix}$