Nhẩm nghiệm phương trình bậc 2 Nghiệm của phương trình bậc 2

20 Đánh giá

Giải phương trình bậc 2 được xem là dạng toán căn bản quan trọng trong chương trình Toán 9 và đề thi tuyển sinh vào lớp 10. Tài liệu dưới đây do đội ngũ GiaiToan.com biên soạn và chia sẻ giúp học sinh hiểu rõ hơn về phương trình bậc 2, nghiệm phương trình bậc 2, các cách tính nhẩm nhanh nghiệm phương trình bậc 2. Qua đó giúp các bạn học sinh rèn luyện tư duy, khái quát vấn đề ôn tập và rèn luyện cho kì thi tuyển sinh vào lớp 10 sắp tới. Mời các bạn học sinh và quý thầy cô cùng tham khảo!

Cách giải phương trình bậc 2 Toán 9

A. Phương trình bậc hai:
B. Hệ thức Vi – ét
- Định lý Vi – ét thuận
- Định lý Vi – ét đảo
C. Các dạng bài tính nhẩm nghiệm phương trình bậc 2
D. Bài tập vận dụng nhẩm nghiệm phương trình

A. Phương trình bậc hai:

$a{x^2} + bx + c = 0;\left( {a \ne 0} \right)$

B. Hệ thức Vi – ét

- Cơ sở của việc nhẩm nghiệm chính là hệ thức Vi – ét, ta có:

Định lý Vi – ét thuận

Nếu phương trình $a{x^2} + bx + c = 0;\left( {a \ne 0} \right)$ có hai nghiệm ${x_1},{x_2}$ thì $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a}} \\ {{x_1}.{x_2} = \dfrac{c}{a}} \end{array}} \right.$

Định lý Vi – ét đảo

Nếu hai số u và v có $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {u + v = S} \\ {u.v = P} \end{array}} \right.$ thì u và v là các nghiệm của phương trình

${x^2} - Sx + P = 0$

C. Các dạng bài tính nhẩm nghiệm phương trình bậc 2

$A{x^2} + Bx + C = 0;\left( {A \ne 0} \right)$

1. Dạng 1: A + B + C = 0

Nếu tổng các hệ số A + B + C = 0 thì phương trình có nghiệm $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1} = 1} \\ {{x_2} = \dfrac{c}{a}} \end{array}} \right.$

Ví dụ: Nhẩm nghiệm của phương trình:

a) x² - 5x + 4 = 0

b) $\sqrt 2 {x^2} + \left( {1 - \sqrt 2 } \right)x - 1 = 0$

Hướng dẫn giải

a) x² - 5x + 4 = 0

Ta có:

1 – 5 + 4 = 0

=> Phương trình có hai nghiệm $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1} = 1} \\ {{x_2} = \dfrac{4}{1} = 4} \end{array}} \right.$

b) $\sqrt 2 {x^2} + \left( {1 - \sqrt 2 } \right)x - 1 = 0$

Ta có: $\sqrt 2 + \left( {1 - \sqrt 2 } \right) - 1 = 0$

=> Phương trình có hai nghiệm $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1} = 1} \\ {{x_2} = \dfrac{{ - 1}}{{\sqrt 2 }}} \end{array}} \right.$

2. Dạng 2: A - B + C = 0

Nếu hệ số A - B + C = 0 thì phương trình có nghiệm $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1} = - 1} \\ {{x_2} = \dfrac{{ - c}}{a}} \end{array}} \right.$

Ví dụ: Nhẩm nghiệm của phương trình:

a) x⁴ + 4x² + 3 = 0

b) $\left( {1 + \sqrt 3 } \right){x^2} + 2\sqrt 3 x - 1 + \sqrt 3 = 0$

Hướng dẫn giải

a) x⁴ + 4x² + 3 = 0

Ta có:

1 - 4 + 3 = 0

=> Phương trình có nghiệm $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}^2 = - 1\left( L \right)} \\ {{x_2}^2 = - 3\left( L \right)} \end{array}} \right.$

b. $\left( {1 + \sqrt 3 } \right){x^2} + 2\sqrt 3 x - 1 + \sqrt 3 = 0$

Ta có: $1 + \sqrt 3 - 2\sqrt 3 - 1 + \sqrt 3 = 0$

=> Phương trình có hai nghiệm $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1} = - 1} \\ {{x_2} = \dfrac{{ - 1}}{{1 + \sqrt 3 }} = \dfrac{{1 - \sqrt 3 }}{2}} \end{array}} \right.$

3. Dạng 3: A = 1; B = S ( = m + n), C = P (= m.n)

Nếu phương trình bậc hai có dạng:

$\begin{matrix} {x^2} - Sx + P = 0 \hfill \\ \Rightarrow {x^2} - \left( {m + n} \right)x + m.n = 0 \hfill \\ \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = m} \\ {x = n} \end{array}} \right. \hfill \\ \end{matrix}$

Nếu phương trình bậc hai có dạng:

$\begin{matrix} {x^2} + Sx + P = 0 \hfill \\ \Rightarrow {x^2} + \left( {m + n} \right)x + m.n = 0 \hfill \\ \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = - m} \\ {x = - n} \end{array}} \right. \hfill \\ \end{matrix}$

Ví dụ: Nhẩm nghiệm của phương trình:

a) x² - 2x - 15 = 0

b) ${x^2} - \left( {\sqrt 2 + \sqrt 3 } \right)x + \sqrt 6 = 0$

Hướng dẫn giải

a) x² - 2x - 15 = 0

Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2 = 5 - 3} \\ { - 15 = 5.\left( { - 3} \right)} \end{array}} \right. \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1} = 5} \\ {{x_2} = - 3} \end{array}} \right.$

b) ${x^2} - \left( {\sqrt 2 + \sqrt 3 } \right)x + \sqrt 6 = 0$

Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\sqrt 2 + \sqrt 3 } \\ {\sqrt 6 = \sqrt 2 .\sqrt 3 } \end{array}} \right. \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1} = \sqrt 2 } \\ {{x_2} = \sqrt 3 } \end{array}} \right.$

4. Dạng 4: Hai nghiệm là nghịch đảo của nhau

$\begin{matrix} u{x^2} - \left( {{u^2} + 1} \right)x + u = 0;\left( {u \ne 0} \right) \hfill \\ \Leftrightarrow {x^2} - \left( {u + \dfrac{1}{u}} \right)x + u.\dfrac{1}{u} = 0 \hfill \\ \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1} = u} \\ {{x_2} = \dfrac{1}{u}} \end{array}} \right. \hfill \\ \end{matrix}$

Ví dụ: Nhẩm nghiệm của phương trình sau: 2x² - 5x + 2 = 0

Hướng dẫn giải

Ta có:

$\begin{matrix} 2{x^2} - 5x + 2 = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow {x^2} - \dfrac{5}{2}x + 1 = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow {x^2} - \left( {2 + \dfrac{1}{2}} \right)x + 2.\dfrac{1}{2} = 0 \hfill \\ \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1} = 2} \\ {{x_2} = \dfrac{1}{2}} \end{array}} \right. \hfill \\ \end{matrix}$

D. Bài tập vận dụng nhẩm nghiệm phương trình

Bài 1: Nhẩm nghiệm của mỗi phương trình sau:

a) 2x² + 3x - 5 = 0	b) 35x² - 37x + 2 = 0
c) 2x² - x - 3 = 0	d) $2{a^2} - \left( {2 + \sqrt 5 } \right)a + \sqrt 5 = 0$
e) b² - b - 2 = 0	f) 4321y² - 21y - 4300 = 0
g) $2{x^2} + \left( {\sqrt 7 - 2} \right)x - \sqrt 7 = 0$	h) 7x² + 500x - 507 = 0
i) 2x² - 5x + 2 = 0	k) 2x² - 5x + 2 = 0

Bài 2: Nhẩm nghiệm các phương trình:

a) x² + 2003x - 2004 = 0	b) x² - 3x - 10 = 0
c) $\left( {1 + \sqrt 3 } \right){x^2} + 2\sqrt 3 x + \sqrt 3 - 1 = 0$	d) $4{x^2} - 2\sqrt 3 x - 1 = 0$

Bài 3: Nhẩm nghiệm các phương trình sau:

a) $3{x^2} - 2\sqrt 3 x - 2 = 0$	b) x² - 7x - 2 = 0
c) 2x² + 5x - 3 = 0	d) 3a² + 2a + 5 = 0
e) x² - 5x + 6 = 0	f) 2x² - 3x + 1 = 0
g) x² - 6x - 16 = 0	h) x² - 24x - 70 = 0
i) ${x^2} - \sqrt 3 x - 2 - \sqrt 6 = 0$	k) 3x² + 5x + 61 = 0
m) x² - 14x + 33 = 0	n) x² - 14x + 30 = 0
p) ${x^2} - \left( {1 + \sqrt 2 } \right)x + \sqrt 2 = 0$	q) x² - 10x + 21 = 0
u) 3x² - 19x - 22 = 0	v) x² - 12x + 27 = 0

Bài 4:

a) Phương trình x² - 2px + 5 = 0 có một nghiệm bằng 2. tìm p và nghiệm còn lại của phương trình.

b) Phương trình x² + 4x + q = 0 có một nghiệm bằng 5. tìm q và nghiệm còn lại của phương trình.

c) Phương trình x² - 7x + q = 0 có một nghiệm bằng 11. tìm q và nghiệm còn lại của phương trình.

d) Phương trình x² - qx + 50 = 0 có một nghiệm có hai nghiệm trong đó có một nghiệm gấp đôi nghiệp kia, tìm q và hai nghiệm của phương trình.

Bài 5: Xác định tham số m và tìm nghiệm còn lại của các phương trình:

a) Phương trình x² + mx - 35 = 0 có một nghiệm bằng -5

b) Phương trình 2x² - (m + 4)x + m = 0 có một nghiệm bằng -3

c) Phương trình mx² -2(m - 2)x +m - 3 = 0 có một nghiệm bằng -5

-----------------------------------------------------

Hy vọng tài liệu Nghiệm phương trình bậc 2 Toán 9 sẽ giúp ích cho các bạn học sinh học nắm chắc các cách biến đổi biểu thức chứa căn đồng thời học tốt môn Toán lớp 9. Chúc các bạn học tốt, mời các bạn tham khảo!

Tài liệu liên quan: