Giaitoan.com Toán 9 Chuyên đề Toán 9 thi vào 10

Chứng minh (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt Chuyên đề Toán lớp 9 luyện thi vào lớp 10

Nội dung
  • 7 Đánh giá

Chứng minh (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt

Chứng minh đường thẳng (d) và parabol (P) luôn cắt nhau với mọi giá trị của tham số m là một dạng toán khó thường gặp trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán. Tài liệu được  GiaiToan biên soạn và giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô tham khảo. Nội dung tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh học tốt môn Toán 9 hiệu quả hơn. Mời các bạn tham khảo.

A. Cách chứng minh d luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt

Cho đường thẳng (d): y = px + q và parabol (P): y = ax2 (a ≠ 0). Để chứng minh đường thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị tham số m như sau:

Bước 1: Viết phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P)

px + q = ax2 => ax2 - px – q = 0 (*)

Bước 2: Xét điều kiện để đường thẳng (d) và Parabol (P) có điểm chung với nhau:

+ Trường hợp 1: (P) cắt (d) tại hai điểm phân biệt (có hai điểm chung phân biệt)

=> Phương trình hoành độ giao điểm có hai nghiệm phân biệt

=> ∆ > 0 hoặc ∆’ > 0

+ Trường hợp 2: (P) tiếp xúc với đường thẳng (có 1 điểm chung)

=> Phương trình hoành độ giao điểm có nghiệm kép

=> ∆ = 0 hoặc ∆’ = 0

B. Bài tập chứng minh (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt

Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P) có phương trình y = \frac{{ - {x^2}}}{2}. Gọi (d) là đường thẳng đi qua I(0; - 2) và có hệ số góc k.

a) Viết phương trình đường thẳng (d). Chứng minh đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A, B khi k thay đổi.

b) Gọi H và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A và B trên trục hoành. Chứng minh tam giác IHK là tam giác vuông tại I.

Hướng dẫn giải

a) Đường thẳng (d): y = kx – 2

Xét phương trình \frac{{ - {x^2}}}{2} = kx - 2 \Leftrightarrow {x^2} + 2kx - 4 = 0\left( * \right)

Ta có: \Delta ' = {k^2} + 4 > 0 với mọi k, suy ra (*) có hai nghiệm phân biệt.

Vậy (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt.

b) Giả sử (*) có hai nghiệm phân biệt x1, x2

Suy ra A(x1, y1), B(x2, y2) thì H(x1; 0); K(x2; 0). Khi đó

IH2 = x12 + 4

IK2 = x22 + 4

KH2 = (x1 – x2)2

Theo định lí Vi – ét thì x1 . x2 = -4 nên IH2 + IK2 = x12 + x22 + 8 = KH2.

Vậy tam giác IHK vuông tại I.

Ví dụ 2: Cho Parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d): y = mx + 4

Chứng minh đường thẳng (d) luôn cắt đồ thị (P) tại hai điểm phân biệt A, B. Gọi x1, x2 là hoành độ của các điểm A, B. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Q = \frac{{2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 7}}{{{x_1}^2 + {x_2}^2}}

Hướng dẫn giải

Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là:

{x^2} = mx + 4 \Leftrightarrow {x^2} - mx - 4 = 0

Ta có:

\Delta = {m^2} + 16 > 0 với mọi m nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt, suy ra đường thẳng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị của tham số m.

Theo định lý Vi – ét ta có: \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1} + {x_2} = m} \\ {{x_1}.{x_2} = - 4} \end{array}} \right.

Thay các giá trị vào biểu thức Q ta có:

Q = \frac{{2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 7}}{{{x_1}^2 + {x_2}^2}} = \frac{{2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 7}}{{{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}.{x_2}}} = \frac{{2m + 7}}{{{m^2} + 8}}

Dùng phương pháp miền giá trị hàm số ta dễ dàng tìm được giá trị lớn nhất của Q là 1, giá trị nhỏ nhất của Q là - 1/8 đạt được khi m = 1 và m = - 8.

Ví dụ 3: Cho parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d): y = mx + 1

a) Chứng minh rằng đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị của tham số m.

b) Gọi A(x1, y1), B(x2, y2) là các giao điểm của (d) và (P). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M = (y1 – 1)(y2 – 1).

Hướng dẫn giải

a) Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng và parabol là:

x2 = mx + 1

=> x2 – mx – 1 = 0 (1)

∆ = m2 + 4 > 0 với mọi giá trị của tham số m

=> (1) có hai nghiệm phân biệt

=> (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A(x1, y1), B(x2, y2)

b) Theo định lý Vi – ét ta có: \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1} + {x_2} = m} \\ {{x_1}.{x_2} = - 1} \end{array}} \right.

Theo bài ra ta có:

M = (y1 – 1)(y2 – 1)

M = (x12 – 1)(x22 – 1)

M = x12x22 + 2x1.x2 – (x1 + x2)2 + 1 = -m2 ≤ 0

Vậy giá trị lớn nhất của M bằng 0 khi m = 0.

C. Bài tập tự luyện

Bài 1: Trong cùng một hệ tọa độ, cho đường thẳng d: y = x + 2 và Parabol (P): y = - x2. Gọi A và B là giao điểm của d và (P)

a) Tính độ dài AB

b) Chứng minh đường thẳng d': y = - x - m2 luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt

Bài 2: Cho Parabol (P): y = x2/2 và đường thẳng d: y = mx - m + 2 (m là tham số). Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, đường thẳng d luôn cắt Parabol (P) tại hai điểm phân biệt

Bài 3: Cho đường thẳng d: y = (m - 2)x + m + 3 và parabol y = mx2 với m là tham số; x là ẩn số.

Chứng minh với m ≠ 0, (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt.

Bài 4: Cho (P): y = x2 và (d): y = mx + 1.

a) Tìm điểm cố định của (d).

b) Chứng minh rằng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B nằm khác phía trục tung.

Bài 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d): y = 3x + m2 + 1 và parabol (P): y = x2

a) Chứng minh (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt với mọi m.

b) Gọi x1 và x2 là hoành độ các giao điểm của (d) và (P). Tìm m để (x1 + 1)(x2 + 1) = 1.

Bài 6: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d): y = (m + 2)x + 3 và parabol (P): y= x2

a) Chứng minh đường thẳng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt

b) Tìm tất cả các giá trị của m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt có các hoành độ là các số nguyên.

-----------------------------------------------------

Chia sẻ bởi: Đen2017
Mời bạn đánh giá!
  • Lượt xem: 29.797
Tìm thêm: Toán 9 chuyên đề toán 9
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi

    Tài liệu tham khảo khác

    Chủ đề liên quan

    Mới nhất trong tuần