Giaitoan.com Toán 9 Luyện tập Toán 9 Chuyên đề Toán 9 thi vào 10

Tìm giá trị của x để các biểu thức dưới đây nhận giá trị nguyên Luyện thi vào lớp 10

Nội dung
  • 1 Đánh giá

Tìm giá trị của x để biểu thức A nhận giá trị nguyên là một dạng toán khó thường gặp trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán. Tài liệu được GiaiToan.com biên soạn và giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô tham khảo. Nội dung tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh học tốt môn Toán lớp 9 hiệu quả hơn. Mời các bạn tham khảo.

Bài tập: Tìm giá trị của x để các biểu thức dưới đây nhận giá trị nguyên:

a. \frac{7}{{\sqrt x + 3}}

b. \frac{{\sqrt x + 13}}{{\sqrt x + 5}}

c. \frac{{3\sqrt x + 13}}{{\sqrt x + 3}}

d. \frac{7}{{x + \sqrt x + 2}}

e. \frac{{2\sqrt x }}{{x + \sqrt x + 1}}

Lời giải chi tiết:

a) Để biểu thức A đạt giá trị nguyên \Leftrightarrow \frac{7}{{\sqrt x + 3}} \in \mathbb{Z}

Với \sqrt x \geqslant 0 \Rightarrow \sqrt x + 3 \geqslant 3

\Rightarrow 0<\frac{7}{\sqrt{x}+3}\le \frac{7}{3}

\Rightarrow \frac{7}{\sqrt{x}+3} \in \left \{ 1; 2 \right \}

Ta có bảng giá trị sau:

\frac{7}{{\sqrt x + 3}}

1

2

x

16

\frac{1}{4}

Vậy x \in \left\{ {16;\frac{1}{4}} \right\} thì biểu thức \frac{7}{{\sqrt x + 3}} nhận giá trị nguyên.

b) Ta có:

\frac{\sqrt{x}+13}{\sqrt{x}+5}=\frac{\sqrt{x}+5+8}{\sqrt{x}+5}=1+\frac{8}{\sqrt{x}+5}

Để biểu thức B đạt giá trị nguyên \Leftrightarrow \frac{8}{\sqrt{x}+5} \in \mathbb{Z}

Với \sqrt x \geqslant 0 \Rightarrow \sqrt x + 5 \geqslant 5

\Rightarrow 0<\frac{8}{\sqrt{x}+5}\le \frac{8}{5}

\Leftrightarrow \frac{8}{\sqrt{x}+5} = 1

\Leftrightarrow \sqrt{x}+5 = 8

\Leftrightarrow x = 9

Vậy x = 9 thì biểu thức \frac{{\sqrt x + 13}}{{\sqrt x + 5}} nhận giá trị nguyên.

c) Ta có:

\frac{3\sqrt{x}+13}{\sqrt{x}+3}=\frac{3\left(\sqrt{x}+3\right)+4}{\sqrt{x}+3}=3+\frac{4}{\sqrt{x}+3}

Để biểu thức C đạt giá trị nguyên \Leftrightarrow \frac{4}{\sqrt{x}+3} \in \mathbb{Z}

Với \sqrt x \geqslant 0 \Rightarrow \sqrt x + 3 \geqslant 3

\Rightarrow 0<\frac{4}{\sqrt{x}+3}\le \frac{4}{3}

\Leftrightarrow \frac{4}{\sqrt{x}+3} = 1

\Leftrightarrow \sqrt{x}+ 3 = 4

\Leftrightarrow x = 1

Vậy x = 1 thì biểu thức \frac{{3\sqrt x + 13}}{{\sqrt x + 3}} nhận giá trị nguyên.

d) Ta có:  \frac{7}{x+\sqrt{x}+2}=\frac{7}{\left(\sqrt{x}+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{7}{4}}

Để biểu thức D đạt giá trị nguyên \Leftrightarrow \frac{7}{\left(\sqrt{x}+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{7}{4}} \in \mathbb{Z}

Với \sqrt x \geqslant 0 \Rightarrow \left(\sqrt{x}+\frac{1}{2}\right)^2 + \frac{7}{4} \geqslant 2

\Rightarrow 0<\frac{7}{\left(\sqrt{x}+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{7}{4}} \le \frac{7}{2}

\Rightarrow \frac{7}{\left(\sqrt{x}+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{7}{4}} \in \left \{ 1; 2;3 \right \}

Ta có bảng giá trị sau:

\frac{7}{\left(\sqrt{x}+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{7}{4}}

1

2

3

x

\frac{11-\sqrt{21}}{2}

\frac{4-\sqrt{7}}{2}

\frac{5-\sqrt{21}}{6}

Vậy x \in \left\{ {\frac{11-\sqrt{21}}{2} ;\frac{4-\sqrt{7}}{2}; \frac{5-\sqrt{21}}{6} } \right\} thì biểu thức \frac{7}{{x + \sqrt x + 2}} nhận giá trị nguyên.

e) Điều kiện xác định: x ≥ 0

x \geqslant 0 \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2\sqrt x \geqslant 0} \\ {x + \sqrt x + 1 \geqslant 0} \end{array} \Rightarrow \frac{{2\sqrt x }}{{x + \sqrt x + 1}} \geqslant 0} \right.\left( * \right)

Ta có:

+) Với x = 0 thì C = 0

+) Với x > 0 \Rightarrow \dfrac{{2\sqrt x }}{{x + \sqrt x + 1}} = \dfrac{{\dfrac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x }}}}{{\dfrac{x}{{\sqrt x }} + \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x }} + \dfrac{1}{{\sqrt x }}}} = \dfrac{2}{{\sqrt x + 1 + \dfrac{1}{{\sqrt x }}}}

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy với hai số không âm \sqrt{x} và \frac{1}{\sqrt{x}}, ta có:

\begin{matrix} \sqrt x + \dfrac{1}{{\sqrt x }} \geqslant 2 \Rightarrow \sqrt x + \dfrac{1}{{\sqrt x }} + 1 \geqslant 2 + 1 = 3 \hfill \\ \Rightarrow \dfrac{2}{{\sqrt x + 1 + \dfrac{1}{{\sqrt x }}}} \leqslant \dfrac{2}{3}\left( {**} \right) \hfill \\ \end{matrix}

Từ (*) và (**) \Rightarrow 0 \leqslant \frac{2}{{\sqrt x + 1 + \dfrac{1}{{\sqrt x }}}} \leqslant \frac{2}{3}

Mà C nhận giá trị nguyên ⇔ C = 0

Vậy với x = 0 thì C nhận giá trị nguyên

1. Cách tìm giá trị x để biểu thức nhận giá trị nguyên

Phương pháp 1: Đưa biểu thức về dạng phân thức mà chứa tử thức là số nguyên, tìm giá trị của biến để mẫu thức là ước của tử thức.

Bước 1: Biến đổi biểu thức về dạng A = f\left( x \right) + \frac{k}{{g\left( x \right)}} trong đó f(x) là một biểu thức nguyên khi x nguyên và k có giá trị là số nguyên.

Bước 2: Áp dụng điều kiện cùng với các bất đẳng thức đã được, chứng minh m < A < M trong đó m, M là các số nguyên.

Bước 3: Trong khoảng từ m đến M, tìm các giá trị nguyên.

Bước 4: Với mỗi giá trị nguyên ấy, tìm giá trị của biến x

Bước 5: Kết hợp với điều kiện đề bài, loại bỏ những giá trị không phù hợp rồi kết luận.

Phương pháp 2: Đánh giá khoảng giá trị của biểu thức, từ khoảng giá trị đó ra có các giá trị nguyên mà biểu thức có thể đạt được.

Bước 1: Đặt điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa.

Bước 2: Rút gọn biểu thức A.

Bước 3: Đánh giá khoảng giá trị mà biểu thức A có thể đạt được, từ khoảng giá trị đó ta có các giá trị nguyên mà biểu thức A có thể đạt được.

Bước 4: Giải phương trình vế trái là biểu thức A đã rút gọn, vế phải là các giá trị nguyên nằm trong miền giá trị của A, đối chiếu điều kiện và kết luận.

Phương pháp 3: Đặt biểu thức bằng một tham số nguyên, tìm khoảng giá trị của tham số, từ khoảng giá trị đó ta xét các giá trị nguyên của tham số, giải ra tìm ẩn.

Bước 1: Đặt điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa

Bước 2: Rút gọn biểu thức A

Bước 3: Đánh giá khoảng giá trị mà biểu thức A có thể đạt được, từ khoảng giá trị đó ta có các giá trị nguyên mà biểu thức A có thể đạt được

Bước 4: Giải phương trình vế trái là biểu thức A đã rút gọn, vế phải là các giá trị nguyên nằm trong miền giá trị của A, đối chiếu điều kiện và kết luận.

--------------------------------

Chia sẻ bởi: Cự Giải
Mời bạn đánh giá!
  • Lượt xem: 133
Tìm thêm: Toán 9 Chuyên đề Toán 9
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi

    Chủ đề liên quan

    Mới nhất trong tuần