Giaitoan.com Toán 9 Chuyên đề Toán 9 thi vào 10

Delta là gì? Cách tính delta và delta phẩy trong phương trình bậc hai Giải phương trình bậc 2

Nội dung Tải về
  • 41 Đánh giá

Công thức nghiệm của phương trình bậc hai

Công thức nghiệm của phương trình bậc 2 là tài liệu về cách tính delta và cách tính delta phẩy trong phương trình bậc hai do đội ngũ giáo viên của GiaiToan.com biên soạn và giới thiệu cho các bạn học sinh và thầy cô nghiên cứu, học tập tốt môn Toán 9 cũng như luyện tập nhằm chuẩn bị tốt nhất cho kì thi học kì và kì thi vào lớp 10 sắp diễn ra. Mời các bạn tham khảo.

1. Định nghĩa về Delta trong toán học

+ Delta là một chữ cái trong bảng chữ Hy Lạp, được kí hiệu là Δ (đối với chữ hoa) và δ (đối với chữ thường).

+ Trong toán học, đặc biệt là Toán 9, ký hiệu Δ chỉ một biệt thức trong phương trình bậc hai mà dựa vào từng giá trị của delta ta có thể kết luận được số nghiệm của phương trình bậc hai.

+ Ngoài ra delta còn dùng để kí hiệu cho đường thẳng mà các bạn sẽ được học ở các lớp cao hơn.

2. Định nghĩa phương trình bậc hai một ẩn

+ Phương trình bậc hai một ẩn (ẩn x) là phương trình có dạng:

a{x^2} + bx + c = 0

Trong đó a \ne 0, a,b là các hệ số, c là hằng số.

3. Công thức nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn

Ta sử dụng một trong hai công thức nghiệm sau để giải phương trình bậc hai một ẩn:

+ Tính \Delta = {b^2} - 4ac (được gọi là biệt thức Delta)

- Nếu \Delta > 0, phương trình a{x^2} + bx + c = 0 có hai nghiệm phân biệt:

{x_1} = \frac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}};{x_2} = \frac{{ - b - \sqrt \Delta }}{{2a}}

- Nếu \Delta = 0, phương trình a{x^2} + bx + c = 0 có nghiệm kép:

{x_1} = {x_2} = \frac{{ - b}}{{2a}}

- Nếu \Delta < 0, phương trình a{x^2} + bx + c = 0 vô nghiệm.

+ Tính \Delta ' = b{'^2} - ac;\,\,\,b' = \frac{b}{2} (được gọi là biệt thức Delta phẩy)

- Nếu \Delta ' > 0, phương trình a{x^2} + bx + c = 0 có hai nghiệm phân biệt:

{x_1} = \frac{{ - b' + \sqrt {\Delta '} }}{a};{x_2} = \frac{{ - b' - \sqrt {\Delta '} }}{a}

- Nếu \Delta ' = 0, phương trình a{x^2} + bx + c = 0 có nghiệm kép:

{x_1} = {x_2} = \frac{{ - b'}}{a}

- Nếu \Delta ' < 0, phương trình a{x^2} + bx + c = 0 vô nghiệm.

4. Chứng minh công thức Delta

Ta xét phương trình bậc 2:

a{x^2} + bx + c = 0\,\,\,(a \ne 0)

\begin{matrix} \Leftrightarrow a\left( {{x^2} + \dfrac{b}{a}x} \right) + c = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow a\left[ {{x^2} + 2.\dfrac{b}{{2a}}x + {{\left( {\dfrac{b}{{2a}}} \right)}^2} - {{\left( {\dfrac{b}{{2a}}} \right)}^2}} \right] + c = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow a{\left( {x + \dfrac{b}{{2a}}} \right)^2} - \dfrac{{{b^2}}}{{4a}} + c = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow a{\left( {x + \dfrac{b}{{2a}}} \right)^2} - \dfrac{{{b^2} - 4ac}}{{4a}} = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow a{\left( {x + \dfrac{b}{{2a}}} \right)^2} = \dfrac{{{b^2} - 4ac}}{{4a}} \hfill \\ \Leftrightarrow 4{a^2}{\left( {x + \dfrac{b}{{2a}}} \right)^2} = {b^2} - 4ac \hfill \\ \end{matrix}

Vế phải chính là Δ mà chúng ta vẫn hay tính khi giải phương trình bậc hai. Và do vế trái của đẳng thức luôn lớn hơn hoặc bằng 0, nên chúng ta mới phải biện luận nghiệm của {b^2} - 4ac.

+ {b^2} - 4ac < 0: vế trái lớn hơn bằng 0, vế phải nhỏ hơn 0 nên phương trình vô nghiệm.

+ {b^2} - 4ac = 0, phương trình trên trở thành

4{a^2}{\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow x = - \frac{b}{{2a}}

+ {b^2} - 4ac > 0, phương trình trên trở thành

\begin{matrix} 4{a^2}{\left( {x + \dfrac{b}{{2a}}} \right)^2} = {b^2} - 4ac \hfill \\ \Leftrightarrow {\left[ {2a\left( {x + \dfrac{b}{{2a}}} \right)} \right]^2} = {b^2} - 4ac \Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} 2a\left( {x + \dfrac{b}{{2a}}} \right) = \sqrt {{b^2} - 4ac} \hfill \\ 2a\left( {x + \dfrac{b}{{2a}}} \right) = - \sqrt {{b^2} - 4ac} \hfill \\ \end{matrix} \right. \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x + \dfrac{b}{{2a}} = \frac{{\sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}} \hfill \\ x + \dfrac{b}{{2a}} = - \frac{{\sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}} \hfill \\ \end{matrix} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x = \dfrac{{ - b + \sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}} \hfill \\ x = \dfrac{{ - b - \sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}} \hfill \\ \end{matrix} \right. \hfill \\ \end{matrix}

Trên đây là toàn bộ cách chứng minh công thức nghiệm của phương trình bậc hai. Và {b^2} - 4ac là mấu chốt của việc xét điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai. Nên các nhà toán học đã đặt \Delta = {b^2} - 4ac nhằm giúp việc xét điều kiện có nghiệm trở nên dễ dàng hơn, đồng thời giảm thiểu việc sai sót khi tính toán nghiệm của phương trình.

5. Bảng tổng quát nghiệm của phương trình bậc 2

Phương trình bậc hai a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)

Trường hợp nghiệm

Công thức nghiệm \Delta = {b^2} - 4ac

Công thức nghiệm thu gọn (áp dụng khi hệ số b chẵn)

\Delta = b{'^2} - ac với b' = \frac{b}{2}

Phương trình vô nghiệm

\Delta < 0\Delta ' < 0

Phương trình có nghiệm kép

\Delta = 0. Phương trình có nghiệm kép:

{x_1} = {x_2} = \frac{{ - b}}{{2a}}

\Delta ' = 0. Phương trình có nghiệm kép:

{x_1} = {x_2} = \frac{{ - b'}}{a}

Phương trình có hai nghiệm phân biệt

\Delta > 0. Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

{x_1} = \frac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}};\,\,\,{x_2} = \frac{{ - b - \sqrt \Delta }}{{2a}}

\Delta ' > 0. Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

{x_1} = \frac{{ - b' + \sqrt {\Delta '} }}{a};\,\,\,{x_2} = \frac{{ - b' - \sqrt {\Delta '} }}{a}

6. Các dạng bài tập sử dụng công thức delta, delta phẩy

Dạng 1: Giải phương trình bậc hai một ẩn

Ví dụ 1: Giải các phương trình bậc hai dưới đây:

a) {x^2} - 4x + 3 = 0

b) 3{x^2} + 2x + 1 = 0

c) 4{x^2} + 4x + 1 = 0

Lời giải:

a) {x^2} - 4x + 3 = 0 (a = 1; b = - 4 ; c = 3)

Có \Delta = {b^2} - 4ac = {\left( { - 4} \right)^2} - 4.1.3 = 4 > 0

(hoặc \Delta ' = b{'^2} - ac = {\left( { - 2} \right)^2} - 1.3 = 1 > 0)

Phương trình có hai nghiệm phân biệt: {x_1} = \frac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}} = \frac{{4 + 2}}{2} = 3;\,\,\,{x_2} = \frac{{ - b - \sqrt \Delta }}{{2a}} = \frac{{4 - 2}}{2} = 1

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {1; 3}

b) 3{x^2} + 2x + 1 = 0(a = 3; b = 2; c = 1)

Có \Delta = {b^2} - 4ac = {2^2} - 4.3.1 = - 8 < 0

(hoặc \Delta ' = b{'^2} - ac = {1^2} - 1.3 = - 2 < 0)

Vậy phương trình vô nghiệm

c) 4{x^2} + 4x + 1 = 0(a = 4; b = 4; c = 1)

Có \Delta = {b^2} - 4ac = {4^2} - 4.4.1 = 0

(hoặc \Delta ' = b{'^2} - ac = {2^2} - 4.1 = 0)

Phương trình có nghiệm kép: {x_1} = {x_2} = \frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{{ - 4}}{8} = \frac{{ - 1}}{2}

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {\frac{{ - 1}}{2}}

Dạng 2: Biện luận nghiệm phương trình bậc hai một ẩn

Ví dụ 2: Giải và biện luận phương trình:

{x^2} - 2x + m = 0

Lời giải:

Ta có: \Delta = {\left( { - 2} \right)^2} - 4.1.m = 4 - 4m

+ Với \Delta < 0 \Leftrightarrow 4 - 4m < 0 \Leftrightarrow m < 1, phương trình vô nghiệm.

+ Với \Delta = 0 \Leftrightarrow 4 - 4m = 0 \Leftrightarrow m = 1, phương trình có nghiệm kép:

{x_1} = {x_2} = \frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{2}{2} = 1

+ Với \Delta > 0 \Leftrightarrow 4 - 4m > 0 \Leftrightarrow m > 1, phương trình có hai nghiệm phân biệt:

{x_1} = \frac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}} = \frac{{2 + \sqrt {4 - 4m} }}{2};\,\,{x_2} = \frac{{ - b - \sqrt \Delta }}{{2a}} = \frac{{2 - \sqrt {4 - 4m} }}{2}

Ví dụ 3: Tìm m để phương trình 2{x^2} - 4x + m = 0

a) Có hai nghiệm phân biệt

b) Có nghiệm kép

c) Vô nghiệm

d) Có nghiệm

Hướng dẫn giải

Xét phương trình 2{x^2} - 4x + m = 0 với các hệ số a = 2\,\,\left( {a \ne 0} \right),\,\,\,b = - 4,\,\,c = m

Ta có {\Delta ^\prime } = {2^2} - 2m = 4 - 2m

a) Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì {\Delta ^\prime }>0

\Leftrightarrow 4 - 2m > 0 \Leftrightarrow m < 2

b) Để phương trình có nghiệm kép thì {\Delta ^\prime }=0

\Leftrightarrow 4 - 2m = 0 \Leftrightarrow m = 2

c) Để phương trình vô nghiệm thì {\Delta ^\prime }<0

\Leftrightarrow 4- 2m < 0 \Leftrightarrow m > 2

d) Để phương trình có nghiệm thì {\Delta ^\prime }\ge0

\Leftrightarrow 4 - 2m \ge 0 \Leftrightarrow m \le 2

Ví dụ 4: Tìm m để phương trình m{x^2} + 6\left( {m - 2} \right)x + 4m - 7 = 0

a) Có nghiệm

b) Có 2 nghiệm phân biệt

c) Có nghiệm kép

d) Vô nghiệm

Hướng dẫn giải

Xét phương trình m{x^2} + 6\left( {m - 2} \right)x + 4m - 7 = 0 với các hệ số a = m,\,\,b = 6\left( {m - 2} \right)\,\, \Rightarrow \,\,\,{b^\prime } = 3\left( {m - 2} \right),\,\,c = 4m - 7 .

Ta có: {\Delta ^\prime } = {\left[ {3\left( {m - 2} \right)} \right]^2} - m.\left( {4m - 7} \right) = 9{m^2} - 36m + 36 - 4{m^2} + 7m = 5{m^2} - 29m + 36

a) Để phương trình có nghiệm thì:

Xét m = 0. Phương trình trở thành:0{x^2} + 6\left( {0 - 2} \right)x + 4.0 - 7 = 0 = - 12x - 7 \Leftrightarrow x = \frac{{ - 7}}{{12}}

Xét .m \ne 0 {\Delta ^\prime } \ge 0 \Leftrightarrow 5{m^2} - 29m + 36 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m \le \frac{9}{5}}\\{m \ge 4}\end{array}} \right.

b) Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì.\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{\Delta ^\prime } > 0 \Leftrightarrow 5{m^2} - 29m + 36 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m < \frac{9}{5}}\\{m > 4}\end{array}} \right.}\\{m \ne 0}\end{array}} \right.

c) Để phương trình có nghiệm kép thì{\Delta ^\prime } = 0 \Leftrightarrow 5{m^2} - 29m + 36 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = \dfrac{9}{5}}\\{m = 4}\end{array}} \right.

d) Để phương trình vô nghiệm thì {\Delta ^\prime } < 0 \Leftrightarrow 5{m^2} - 29m + 36 \Leftrightarrow \frac{9}{5} < m < 4

6. Bài tập vận dụng công thức delta và delta phẩy

Bài 1: Xác định a, b, b', c rồi dùng công thức nghiệm thu gọn giải các phương trình:

a) 4x^2+4x+1=0

b) 13852x^2-14x+1=0

Bài 2: Giải các phương trình bậc hai dưới đây:

a) - 2{x^2} + 3x + 5 = 0

b) {x^2} + 3x - 4 = 0

c) {x^2} - 2\sqrt 5 x + 4 = 0

d) 2{x^2} + 2x + 1 = 0

e) {x^2} - 6x + 9 = 0

f) 9{x^2} - 1 = 0

Bài 3: Giải và biện luận phương trình bậc hai dưới đây:

{x^2} - 2mx + {m^2} + m = 0

Bài 4: Giải và biện luận phương trình bậc hai dưới đây:

\left( {m - 2} \right){x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + m - 5 = 0

Bài 5: Giải và biện luận phương trình bậc hai dưới đây:

{x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + 2m + 10 = 0

Tham khảo thêm:

Một số đề thi thử vào lớp 10 trên toàn quốc:

---------------

Ngoài Công thức tính delta và delta phẩy phương trình bậc 2, mời các bạn học sinh tham khảo thêm các đề thi học kì 2 Toán 9, đề cương ôn tập môn Toán 9 học kì 2,...được chia sẻ trên trang GiaiToan.com. Với tài liệu này này giúp các bạn rèn luyện thêm kỹ năng giải đề và làm bài tốt hơn. Chúc các bạn học tập tốt!

Câu hỏi mở rộng củng cố kiến thức:

Chia sẻ bởi: Su kem
Mời bạn đánh giá!
  • Lượt tải: 51
  • Lượt xem: 164.883
  • Dung lượng: 285,2 KB
Tìm thêm: Toán 9 Chuyên đề Toán 9
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi

    Tài liệu tham khảo khác

    Chủ đề liên quan

    Mới nhất trong tuần