Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện Luyện thi vào lớp 10 môn Toán

Nội dung Tải về
  • 28 Đánh giá

Tìm điều kiện của m để phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện cho trước là một dạng toán thường gặp trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán được GiaiToan biên soạn và giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô tham khảo. Nội dung tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh học tốt môn Toán lớp 9 hiệu quả hơn. Mời các bạn tham khảo.

Tham khảo thêm chuyên đề Vi-ét thi vào 10:

I. Kiến thức cần nhớ về hệ thức Vi-ét và các ứng dụng

1. Định lý Vi-ét thuận

Cho phương trình bậc 2 một ẩn: a{x^2} + bc + c = 0\left( {a \ne 0} \right)* có hai nghiệm {x_1},\,\,{x_2}. Khi đó hai nghiệm thỏa mãn hệ thức:

\left\{ \begin{matrix}
  S = {x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a} \hfill \\
  P = {x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a} \hfill \\ 
\end{matrix}  \right.

Hệ quả: Dựa vào hệ thức Vi-ét khi phương trình bậc 2 một ẩn có nghiệm, ta có thể nhẩm trực tiếp nghiệm của phương trình trong một số trường hợp đặc biệt sau:

+ Nếu a + b + c = 0 thì phương trình * có 2 nghiệm {x_1} = 1{x_2} = \frac{c}{a}

+ Nếu a – b + c = 0 thì phương trình * có 2 nghiệm {x_1} =  - 1{x_2} =  - \frac{c}{a}

2. Định lý Vi-ét đảo

Giả sử hai số {x_1},\,\,{x_2} thực thỏa mãn hệ thức:

\left\{ \begin{matrix}
  {x_1} + {x_2} = S \hfill \\
  {x_1}{x_2} = P \hfill \\ 
\end{matrix}  \right.\left( {{S^2} \geqslant 4P} \right)

thì {x_1},\,\,{x_2} là hai nghiệm của phương trình bậc hai {x^2} - Sx + P = 0

3. Cách giải bài toán tìm m để phương trình bậc hai có hai nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước

+ Tìm điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có hai nghiệm x1 và x2 (thường là a \ne 0\Delta  \geqslant 0)

+ Áp dụng hệ thức Vi-ét để biến đổi biểu thức nghiệm đã cho

+ Đối chiếu với điều kiện xác định của tham số để xác định giá trị cần tìm.

II. Bài tập ví dụ về bài toán tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện cho trước

Bài 1: Cho phương trình bậc hai {x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + 2m - 5 = 0 (x là ẩn số, m là tham số)

a) Chứng minh phương trình trên luôn có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi m,

b) Tìm m để hai nghiệm x1, x2 của phương trình có tổng hai nghiệm bằng 6

Lời giải:

a) Ta có: \Delta ' = b{'^2} - ac

= {\left( {m - 1} \right)^2} - \left( {2m - 5} \right) = {m^2} - 4m + 6 = {\left( {m - 2} \right)^2} + 2 > 0\forall m

Vậy với mọi m thì phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2

b, Với mọi m thì phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn hệ thức Vi-ét:

\left\{ \begin{matrix}
  {x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a} = 2\left( {m - 1} \right) \hfill \\
  {x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a} = 2m - 5 \hfill \\ 
\end{matrix}  \right.

Ta có tổng hai nghiệm bằng 6

\Rightarrow {x_1} + {x_2} = 6 \Leftrightarrow 2\left( {m - 1} \right) = 6 \Leftrightarrow m = 4

Vậy với m = 4 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn tổng hai nghiệm bằng 6.

Bài 2: Cho phương trình {x^2} - \left( {2m + 3} \right)x + m = 0 (x là ẩn số, m là tham số)

a, Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

b, Tìm m để hai nghiệm phân biệt của phương trình thỏa mãn x_1^2 + x_2^2 có giá trị nhỏ nhất.

Lời giải:

a, Ta có \Delta  = {b^2} - 4ac = {\left( {2m + 3} \right)^2} - 4m = 4{m^2} + 8m + 9 = 4{\left( {m + 1} \right)^2} + 3 > 0\forall m

Vậy với mọi m phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2

b, Với mọi m thì phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn hệ thức Vi-ét:

\left\{ \begin{matrix}
  {x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a} = 2m + 3 \hfill \\
  {x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a} = m \hfill \\ 
\end{matrix}  \right.

Ta có:

\begin{matrix}
  x_1^2 + x_2^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} \hfill \\
   = 4{m^2} + 12m + 9 - 2m = 4{m^2} + 10m + 9 \hfill \\
   = {\left( {2m + \dfrac{5}{2}} \right)^2} + \dfrac{{11}}{4} \geqslant \dfrac{{11}}{4} \hfill \\ 
\end{matrix}

Dấu “=” xảy ra khi m = \frac{{ - 5}}{4}

Vậy với m = \frac{{ - 5}}{4} thì phương trình có hai nghiệm phân biệt x_1^2 + x_2^2 đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài 3: Tìm m để phương trình {x^2} + 2\left( {m + 1} \right)x - 2 = 0 có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn 3{x_1} + 2{x_2} = 4.

Lời giải:

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt \Leftrightarrow \Delta ' > 0

Ta có \Delta ' = {\left( {m + 1} \right)^2} - 4\left( { - 2} \right) = {\left( {m + 1} \right)^2} + 8 > 0\forall m

Với mọi m phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn hệ thức Vi-ét:

\left\{ \begin{matrix}
  {x_1} + {x_2} =  - \dfrac{b}{a} =  - 2\left( {m + 1} \right) \Rightarrow {x_1} =  - 2\left( {m + 1} \right) - {x_2} \hfill \\
  {x_2}{x_2} = \dfrac{c}{a} =  - 2 \hfill \\ 
\end{matrix}  \right.

Ta có 3{x_1} + 2{x_2} = 4 \Leftrightarrow 3\left[ { - 2\left( {m + 1} \right) - {x_2}} \right] + 2{x_2} = 4

\begin{matrix}
   \Leftrightarrow  - 6\left( {m + 1} \right) - 3{x_2} + 2{x_2} = 4 \hfill \\
   \Leftrightarrow {x_2} =  - 6\left( {m + 1} \right) - 4 =  - 10 - 6m \hfill \\
   \Rightarrow {x_1} =  - 2\left( {m + 1} \right) + 6\left( {m + 1} \right) + 4 = 4m + 8 \hfill \\ 
\end{matrix}

Có  {x_1}{x_2} =  - 2 \Leftrightarrow  - \left( {6m + 10} \right)\left( {4m + 8} \right) =  - 2

\begin{matrix}
   \Leftrightarrow \left( {6m + 10} \right)\left( {4m + 8} \right) = 2 \hfill \\
   \Leftrightarrow 24{m^2} + 48m + 40m + 80 = 2 \hfill \\
   \Leftrightarrow 24{m^2} + 88m + 78 = 0 \hfill \\
   \Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
  m = \dfrac{{ - 3}}{2} \hfill \\
  m = \dfrac{{ - 13}}{6} \hfill \\ 
\end{matrix}  \right. \hfill \\ 
\end{matrix}

Vậy với m =  - \frac{3}{2} hoặc m = \frac{{ - 13}}{6} thì phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn 3{x_1} + 2{x_2} = 4.

Bài 4: Cho phương trình {x^2} - 5x + m = 0. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn \left| {{x_1} - {x_2}} \right| = 3

Lời giải:

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt \Leftrightarrow \Delta  > 0

Ta có \Leftrightarrow 25 - 4m > 0 \Leftrightarrow m < \frac{{25}}{4}

Vậy với m < \frac{{25}}{4} phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn hệ thức Vi-ét:

\left\{ \begin{matrix}
  {x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a} = 5 \hfill \\
  {x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a} = m \hfill \\ 
\end{matrix}  \right.

A = \left| {{x_1} - {x_2}} \right| = 3 \Rightarrow {A^2} = {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} = 9

\begin{matrix}
   \Leftrightarrow x_1^2 + x_2^2 - 2{x_1}{x_2} = 9 \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} = 9 \hfill \\
   \Leftrightarrow 25 - 4m = 9 \Leftrightarrow 4m = 16 \Leftrightarrow m = 4 \hfill \\ 
\end{matrix}

Vậy với m = 4 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn \left| {{x_1} - {x_2}} \right| = 3

III. Bài tập tự luyện về bài toán tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện cho trước

Bài 1: Tìm m để các phương trình sau có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn {x_1} = 2{x_2}:

a) {x^2} + 6x + m = 0

b) {x^2} + mx + 8 = 0

c) m{x^2} - 3x + 2 = 0

Bài 2: Tìm phương trình {x^2} + 2x + m = 0 (x là ẩn số, m là tham số) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện trong các trường hợp sau:

a) 3{x_1} + 2{x_2} = 1

b) x_1^2 - x_2^2 = 12

c) x_1^2 + x_2^2 = 1

Bài 3: Cho phương trình {x^2} - mx - 2\left( {{m^2} + 8} \right) = 0. Tìm giá trị của m để hai nghiệm phân biệt của phương trình thỏa mãn:

a) x_1^2 + x_2^2 = 52

b) x_1^2 + x_2^2 đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài 4: Cho phương trình {x^2} - mx + \left( {{m^2} + 1} \right) = 0. Tìm giá trị của m để các nghiệm phân biệt của phương trình thỏa mãn x_1^2 + x_2^2 đạt giá trị lớn nhất.

Bài 5: Cho phương trình {x^2} - 2x + m - 1 = 0, với m là tham số:

a) Giải phương trình với m = 1.

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt {x_1},\,\,{x_2} thỏa mãn x_1^2 = 4x_2^2

Bài 6: Cho phương trình x^2+mx+2m-4=0 (với m là tham số)

a) Chứng minh phương trình trên luôn có nghiệm với mọi giá trị của m

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn {x_1}^2+{x_2}^2=4

Bài 7: Cho phương trình x^2-2x+m-1=0 (với m là tham số)

a) Giải phương trình khi m = – 2

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x_1=2x_2

Bài 8: Tìm m để phương trình  2x^2+(2m-1)x+m^2-m+1=0có hai nghiệm phân biệt x1, x2  thỏa mãn   3x_1-4x_2=11

Bài 9:

Cho phương trình x^2-5x+m+1=0 (m là tham số)

a) Tìm m để phương trình có một nghiệm bằng 2.

b) Tìm m để phương trình có nghiệm kép.

c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x_1,\ x_2 sao cho \left|x_1-x_2\right|<5

Bài 10: 

Cho phương trình x^2-2\left(m-2\right)x-6=0 (m là tham số) có hai nghiệm x_1,\ x_2. Lập

phương trình có hai nghiệm \frac{x_2}{x_1}\frac{x_1}{x_2}

Bài 11: Cho phương trình ẩn x: (m - a)x2 + 2mx + m - 2 = 0

a) Giải phương trình khi m = 5.

b) Tìm m để phương trình có nghiệm x = \sqrt 2. Tìm nghiệm còn lại.

c) Tìm m để phương trình có nghiệm? Có 2 nghiệm phân biệt? Vô nghiệm? Có nghiệm kép?

d) Khi phương trình có nghiệm x1, x2 hãy tính:

i) A = x21 + x22 theo tham số m.

ii) Tìm m để A = 1

Bài 12:  Tìm m để phương trình \left( {m - 1} \right){x^2} - 2x + 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn 2x1 + 3x2 = -1

Chuyên đề luyện thi vào 10

Đề thi thử vào lớp 10 năm 2022 môn Toán

---------------------------

Ngoài chuyên đề trên, mời các bạn học sinh tham khảo thêm các tài liệu học tập lớp lớp 9 mà chúng tôi đã biên soạn và được đăng tải trên GiaiToan. Với chuyên đề này sẽ giúp các bạn rèn luyện thêm kỹ năng giải đề và làm bài tốt hơn, chuẩn bị tốt hành trang cho kì thi tuyển sinh vào 10 sắp tới. Chúc các bạn học tập tốt! Ngoài ra GiaiToan xin giới thiệu đến quý thầy cô và học sinh các tài liệu liên quan: Toán lớp 9, Đề thi học kì 2 lớp 9 Có đáp án chi tiết, Đề thi giữa kì 2 lớp 9 Có đáp án chi tiết,... Chúc các em học tốt!

Chia sẻ bởi: Cự Giải
Mời bạn đánh giá!
  • Lượt tải: 253
  • Lượt xem: 208.149
  • Dung lượng: 302 KB
Tìm thêm: Toán 9
Sắp xếp theo