Giaitoan.com Toán 9 Chuyên đề Toán 9 thi vào 10

Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện Luyện thi vào lớp 10 môn Toán

Nội dung Tải về
  • 30 Đánh giá

Tìm m để phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện

Tìm điều kiện của m để phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện cho trước là một dạng toán thường gặp trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán được GiaiToan biên soạn và giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô tham khảo. Nội dung tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh học tốt môn Toán lớp 9 hiệu quả hơn. Mời các bạn tham khảo.

I. Kiến thức cần nhớ về hệ thức Vi-ét và các ứng dụng

1. Định lý Vi-ét thuận

Cho phương trình bậc 2 một ẩn: ax2 + bx + c (a ≠ 0) có hai nghiệm x1, x2. Khi đó hai nghiệm thỏa mãn hệ thức:

\left\{ \begin{matrix} S = {x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a} \hfill \\ P = {x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a} \hfill \\ \end{matrix} \right.

Hệ quả: Dựa vào hệ thức Vi-ét khi phương trình bậc 2 một ẩn có nghiệm, ta có thể nhẩm trực tiếp nghiệm của phương trình trong một số trường hợp đặc biệt sau:

+ Nếu a + b + c = 0 thì phương trình * có 2 nghiệm {x_1} = 1 và {x_2} = \frac{c}{a}

+ Nếu a – b + c = 0 thì phương trình * có 2 nghiệm {x_1} = - 1 và {x_2} = - \frac{c}{a}

2. Định lý Vi-ét đảo

Giả sử hai số x1, x2 thực thỏa mãn hệ thức:

\left\{ \begin{matrix} {x_1} + {x_2} = S \hfill \\ {x_1}{x_2} = P \hfill \\ \end{matrix} \right.\left( {{S^2} \geqslant 4P} \right)

thì x1, x2 là hai nghiệm của phương trình bậc hai x2 - Sx + P = 0.

3. Cách giải bài toán tìm m để phương trình bậc hai có hai nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước

+ Tìm điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có hai nghiệm x1 và x2 (thường là a ≠ 0 và \Delta \geqslant 0)

+ Áp dụng hệ thức Vi-ét để biến đổi biểu thức nghiệm đã cho

+ Đối chiếu với điều kiện xác định của tham số để xác định giá trị cần tìm.

II. Bài tập ví dụ về bài toán tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện cho trước

Bài 1: Cho phương trình bậc hai x2 - 2(m - 1)x + 2m - 5 = 0 (x là ẩn số, m là tham số)

a) Chứng minh phương trình trên luôn có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi m,

b) Tìm m để hai nghiệm x1, x2 của phương trình có tổng hai nghiệm bằng 6

Lời giải chi tiết:

a) Ta có: \Delta ' = b{'^2} - ac

= {\left( {m - 1} \right)^2} - \left( {2m - 5} \right) = {m^2} - 4m + 6 = {\left( {m - 2} \right)^2} + 2 > 0\forall m

Vậy với mọi m thì phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2

b, Với mọi m thì phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn hệ thức Vi-ét:

\left\{ \begin{matrix} {x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a} = 2\left( {m - 1} \right) \hfill \\ {x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a} = 2m - 5 \hfill \\ \end{matrix} \right.

Ta có tổng hai nghiệm bằng 6

\Rightarrow {x_1} + {x_2} = 6 \Leftrightarrow 2\left( {m - 1} \right) = 6 \Leftrightarrow m = 4

Vậy với m = 4 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn tổng hai nghiệm bằng 6.

Bài 2: Cho phương trình x2 - (2m + 3)x + m = 0 (x là ẩn số, m là tham số)

a, Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

b, Tìm m để hai nghiệm phân biệt của phương trình thỏa mãn x_1^2 + x_2^2 có giá trị nhỏ nhất.

Lời giải chi tiết:

a, Ta có: \Delta = {b^2} - 4ac = {\left( {2m + 3} \right)^2} - 4m = 4{m^2} + 8m + 9 = 4{\left( {m + 1} \right)^2} + 3 > 0\forall m

Vậy với mọi m phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2

b, Với mọi m thì phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn hệ thức Vi-ét:

\left\{ \begin{matrix} {x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a} = 2m + 3 \hfill \\ {x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a} = m \hfill \\ \end{matrix} \right.

Ta có:

\begin{matrix} x_1^2 + x_2^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} \hfill \\ = 4{m^2} + 12m + 9 - 2m = 4{m^2} + 10m + 9 \hfill \\ = {\left( {2m + \dfrac{5}{2}} \right)^2} + \dfrac{{11}}{4} \geqslant \dfrac{{11}}{4} \hfill \\ \end{matrix}

Dấu “=” xảy ra khi m = \frac{{ - 5}}{4}

Vậy với m = \frac{{ - 5}}{4} thì phương trình có hai nghiệm phân biệt x_1^2 + x_2^2 đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài 3: Tìm m để phương trình x2 + 2(m + 1) - 2 = 0 có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn:

3x1 + 2x2 = 4.

Lời giải chi tiết:

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt \Leftrightarrow \Delta ' > 0

Ta có \Delta ' = {\left( {m + 1} \right)^2} - 4\left( { - 2} \right) = {\left( {m + 1} \right)^2} + 8 > 0\forall m

Với mọi m phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn hệ thức Vi-ét:

\left\{ \begin{matrix} {x_1} + {x_2} = - \dfrac{b}{a} = - 2\left( {m + 1} \right) \Rightarrow {x_1} = - 2\left( {m + 1} \right) - {x_2} \hfill \\ {x_2}{x_2} = \dfrac{c}{a} = - 2 \hfill \\ \end{matrix} \right.

Ta có 3{x_1} + 2{x_2} = 4 \Leftrightarrow 3\left[ { - 2\left( {m + 1} \right) - {x_2}} \right] + 2{x_2} = 4

\begin{matrix} \Leftrightarrow - 6\left( {m + 1} \right) - 3{x_2} + 2{x_2} = 4 \hfill \\ \Leftrightarrow {x_2} = - 6\left( {m + 1} \right) - 4 = - 10 - 6m \hfill \\ \Rightarrow {x_1} = - 2\left( {m + 1} \right) + 6\left( {m + 1} \right) + 4 = 4m + 8 \hfill \\ \end{matrix}

Có  {x_1}{x_2} = - 2 \Leftrightarrow - \left( {6m + 10} \right)\left( {4m + 8} \right) = - 2

\begin{matrix} \Leftrightarrow \left( {6m + 10} \right)\left( {4m + 8} \right) = 2 \hfill \\ \Leftrightarrow 24{m^2} + 48m + 40m + 80 = 2 \hfill \\ \Leftrightarrow 24{m^2} + 88m + 78 = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} m = \dfrac{{ - 3}}{2} \hfill \\ m = \dfrac{{ - 13}}{6} \hfill \\ \end{matrix} \right. \hfill \\ \end{matrix}

Vậy với m = - \frac{3}{2} hoặc m = \frac{{ - 13}}{6} thì phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn 3x1 + 2x2 = 4.

Bài 4: Cho phương trình x2 - 5x + m = 0. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn |x1 - x2| = 3.

Lời giải chi tiết:

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt \Leftrightarrow \Delta > 0

Ta có \Leftrightarrow 25 - 4m > 0 \Leftrightarrow m < \frac{{25}}{4}

Vậy với m < \frac{{25}}{4} phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn hệ thức Vi-ét:

\left\{ \begin{matrix} {x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a} = 5 \hfill \\ {x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a} = m \hfill \\ \end{matrix} \right.

Có A = \left| {{x_1} - {x_2}} \right| = 3 \Rightarrow {A^2} = {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} = 9

\begin{matrix} \Leftrightarrow x_1^2 + x_2^2 - 2{x_1}{x_2} = 9 \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} = 9 \hfill \\ \Leftrightarrow 25 - 4m = 9 \Leftrightarrow 4m = 16 \Leftrightarrow m = 4 \hfill \\ \end{matrix}

Vậy với m = 4 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn |x1 - x2| = 3.

III. Bài tập tự luyện về bài toán tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện cho trước

Bài 1: Tìm m để các phương trình sau có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn x1 = 2x2:

a) x2 + 6x + m = 0

b) x2 + mx + 8 = 0

c) mx2 - 3x + 2 = 0

Xem lời giải chi tiết

Bài 2: Tìm phương trình x2 + 2x + m = 0 (x là ẩn số, m là tham số) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện trong các trường hợp sau:

a) 3{x_1} + 2{x_2} = 1

b) x_1^2 - x_2^2 = 12

c) x_1^2 + x_2^2 = 1

Xem lời giải chi tiết

Bài 3: Cho phương trình x2 - mx - 2(m2 + 8) = 0. Tìm giá trị của m để hai nghiệm phân biệt của phương trình thỏa mãn:

a) x_1^2 + x_2^2 = 52

b) x_1^2 + x_2^2 đạt giá trị nhỏ nhất.

Xem lời giải chi tiết

Bài 4: Cho phương trình x2 - 2x + m - 1 = 0, với m là tham số:

a) Giải phương trình với m = 1.

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn x_1^2 = 4x_2^2

Bài 5: Cho phương trình x2 + mx + 2m - 4 = 0 (với m là tham số)

a) Chứng minh phương trình trên luôn có nghiệm với mọi giá trị của m

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn {x_1}^2+{x_2}^2=4

Bài 6: Cho phương trình x2 - 2x + m - 1 = 0 (với m là tham số)

a) Giải phương trình khi m = – 2

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1 = 2x2.

Bài 7: Tìm m để phương trình 2x2 + (2m - 1)x + m2 - m + 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2  thỏa mãn 3x1 - 4x2 = 11.

Bài 8: Cho phương trình x2 - 5x + m + 1 = 0 (m là tham số)

a) Tìm m để phương trình có một nghiệm bằng 2.

b) Tìm m để phương trình có nghiệm kép.

c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 sao cho |x1 - x2| < 0

Bài 9: Cho phương trình x2 - 2(m - 2)x - 6 = 0 (m là tham số) có hai nghiệm x1, x2. Lập

phương trình có hai nghiệm \frac{x_2}{x_1} và \frac{x_1}{x_2}

Bài 10: Cho phương trình ẩn x: (m - a)x2 + 2mx + m - 2 = 0

a) Giải phương trình khi m = 5.

b) Tìm m để phương trình có nghiệm x = \sqrt 2. Tìm nghiệm còn lại.

c) Tìm m để phương trình có nghiệm? Có 2 nghiệm phân biệt? Vô nghiệm? Có nghiệm kép?

d) Khi phương trình có nghiệm x1, x2 hãy tính:

i) A = x21 + x22 theo tham số m.

ii) Tìm m để A = 1

Bài 11:  Tìm m để phương trình (m - 1)x2 - 2x + 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn 2x1 + 3x2 = - 1.

--------------------------------------

Chuyên đề luyện thi vào 10

Chia sẻ bởi: Cự Giải
Mời bạn đánh giá!
  • Lượt tải: 270
  • Lượt xem: 224.916
  • Dung lượng: 302 KB
Tìm thêm: Toán 9
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi

    Tài liệu tham khảo khác

    Chủ đề liên quan

    Mới nhất trong tuần