Giaitoan.com Toán 9 Chuyên đề Toán 9 thi vào 10

Bài toán tương giao đường thẳng và parabol Chuyên đề Toán lớp 9 luyện thi vào lớp 10

Nội dung
  • 1 Đánh giá

Bài tập Toán 9: Tương giao đồ thị

Tìm m để đường thẳng d cắt parabol P là một dạng toán khó thường gặp trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán. Tài liệu được GiaiToan.com biên soạn và giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô tham khảo. Nội dung tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh học tốt môn Toán lớp 9 hiệu quả hơn. Mời các bạn tham khảo.

A. Cách làm bài toán tương giao

Kiến thức cần nhớ:

Khi biện luận số giao điểm của một đường thẳng (d) và parabol (P): y = ax2 ta cần chú ý:

a) Nếu đường thẳng (d) là y = m (song song với trục Ox) ta có thể dựa vào đồ thị để biện luận hoặc biện luận dựa vào a{x^2} = m.

b) Nếu đường thẳng (d): y = mx + n ta thường xét phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là: a{x^2} = mx + n \Leftrightarrow a{x^2} - mx - n = 0 từ đó ta xét số giao điểm dựa trên số nghiệm của phương trình a{x^2} - mx - n = 0 bằng cách xét dấu của ∆.

Trong trường hợp đường thẳng (d) cắt đồ thị hàm số (P) tại hai điểm phân biệt A, B thì A\left( {{x_1};m{x_1} + n} \right),B\left( {{x_2};m{x_2} + n} \right) khi đó ta có:

AB = \sqrt {{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}^2} + {m^2}{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}^2}} = \sqrt {\left( {{m^2} + 1} \right)\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 4{x_1}{x_2}} \right]}

Mọi câu hỏi liên quan đến nghiệm x1; x2 ta đều quy về định lý Vi – ét

Chú ý: Đường thẳng (d) có hệ số góc đi qua điểm M(x0; y0) thì có dạng: y = a\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}

B. Các bài toán tương giao đường thẳng và parabol

Ví dụ 1: Tìm phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm I(0; 1) và cắt parabol (P): y = x2 tại hai điểm M, N sao cho MN = 2\sqrt {10}

Hướng dẫn giải

Đường thẳng (d) qua I với hệ số góc a có dạng y = ax + 1

Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là:

{x^2} = ax + 1 \Leftrightarrow {x^2} - ax - 1 = 0{\text{ }}\left( 1 \right)

Vì ∆ = a2 + 4 > 0 với mọi a, (1) luôn có hai nghiệm phân biệt nên (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt.

M\left( {{x_1};{y_1}} \right),N\left( {{x_2};{y_2}} \right) hay M\left( {{x_1};a{x_1} + 1} \right),N\left( {{x_2};a{x_2} + 1} \right). Theo định lý Vi – ét ta có: \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1} + {x_2} = a} \\ {{x_1}.{x_2} = - 1} \end{array}} \right.

\begin{matrix} MN = 2\sqrt {10} \hfill \\ \Leftrightarrow {\left( {{x_2} - {x_1}} \right)^2} + {\left( {a{x_2} + 1 - a{x_1} - 1} \right)^2} = 40 \hfill \\ \Leftrightarrow \left( {{a^2} + 1} \right){\left( {{x_2} - {x_1}} \right)^2} = 40 \hfill \\ \Leftrightarrow \left( {{a^2} + 1} \right)\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 4{x_1}{x_2}} \right] = 40 \hfill \\ \Leftrightarrow \left( {{a^2} + 1} \right)\left( {{a^2} + 4} \right) = 40 \hfill \\ \Leftrightarrow {a^2} = 4 \Rightarrow a = \pm 2 \hfill \\ \end{matrix}

Ví dụ 2: Cho Parabol (P): y = \frac{1}{2}{x^2} và đường thẳng (d): y = mx - \frac{1}{2}{m^2} + m + 1

a) Với m = 1, xác định tọa độ giao điểm A, B và (d) và (P)

b) Tìm các giá trị của m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1; x2 sao cho |x1 – x2| = 2

Hướng dẫn giải

a) Với m = 1 ta có phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là:

\begin{matrix} \dfrac{1}{2}{x^2} = x + \dfrac{3}{2} \hfill \\ \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 3 = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = - 1} \\ {x = 3} \end{array}} \right. \hfill \\ \end{matrix}

Ta có: y\left( { - 1} \right) = \frac{1}{2};y\left( 3 \right) = \frac{9}{2}. Vậy tọa độ các giao điểm là A\left( { - 1;\frac{1}{2}} \right);B\left( {3;\frac{9}{2}} \right)

b) Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là:

\begin{matrix} \dfrac{1}{2}{x^2} = mx - \dfrac{1}{2}{m^2} + m + 1 \hfill \\ \Leftrightarrow {x^2} - 2mx + {m^2} - 2m - 2 = 0\left( * \right) \hfill \\ \end{matrix}

Để (P) và (d) tại hai điểm phân biệt x1; x2 thì phương trình (*) phải có hai nghiệm phân biệt.

Khi đó \Delta ' = {m^2} - {m^2} + 2m + 2 > 0 \Leftrightarrow m > - 1

Cách 1: Khi m > -1 ta có:

\begin{matrix} \left| {{x_1} - {x_2}} \right| = 2 \hfill \\ \Leftrightarrow x_1^2 + x_2^2 - 2{x_1}{x_2} = 4 \hfill \\ \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} = 4 \hfill \\ \Leftrightarrow 4{m^2} - 4\left( {{m^2} - 2m - 2} \right) = 4 \hfill \\ \Leftrightarrow 8m = - 4 \Leftrightarrow m = - \frac{1}{2} \hfill \\ \end{matrix}

Cách 2: Khi m > -1 ta có:

\begin{matrix} \left| {{x_1} - {x_2}} \right| = 2 \hfill \\ \Leftrightarrow \left| {\dfrac{{ - b + \sqrt {\Delta '} }}{a} - \dfrac{{ - b - \sqrt {\Delta '} }}{{a'}}} \right| = 2\sqrt {\Delta '} = 2\sqrt {2m + 2} \hfill \\ \end{matrix}

Theo yêu cầu bài toán ta có:

2\sqrt {2m + 2} = 2 \Leftrightarrow \sqrt {2m + 2} = 1 \Leftrightarrow m = - \frac{1}{2}

Ví dụ 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P): y = - \frac{1}{2}{x^2}, điếm M(m; 0) với m là tham số khác 0 và điểm I(0; -2). Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua hai điểm M, I. Chứng minh rằng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B với độ dài đoạn AB > 4.

Hướng dẫn giải

Phương trình đường thẳng (d): y = \frac{2}{m}x - 2. Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol là:

- \frac{1}{2}{x^2} = \frac{2}{m}x - 2 \Leftrightarrow m{x^2} + 4x - 4m = 0

Ta có: \Delta ' = 4 + 4{m^2} > 0,\forall m

Suy ra (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A\left( {{x_1};\frac{{ - {x_1}^2}}{2}} \right);B\left( {{x_2};\frac{{ - {x_2}^2}}{2}} \right)

AB = {\left( {{x_2} - {x_1}} \right)^2} + \left( {\frac{1}{2}{x_2}^2 - \frac{1}{2}{x_1}^2} \right) = \left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 4{x_1}{x_2}} \right]\left[ {1 + \frac{1}{4}{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2}} \right]

Theo định lí Vi – et ta có: \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - 4}}{m}} \\ {{x_1}.{x_2} = - 4} \end{array}} \right.

Vậy AB = \left[ {\frac{{16}}{{{m^2}}} + 16} \right]\left[ {1 + \frac{4}{{{m^2}}}} \right] > 16 \Rightarrow AB > 4

------------------------------------------------

Hy vọng tài liệu Tìm giá trị của m để d cắt P thỏa mãn điều kiện cho trước sẽ giúp ích cho các bạn học sinh học nắm chắc kiến thức về tương giao đồ thị, hàm số bậc hai đồng thời học tốt môn Toán lớp 9. Chúc các bạn học tốt, mời các bạn tham khảo!

Ngoài ra mời quý thầy cô và học sinh tham khảo thêm một số nội dung:

Chia sẻ bởi: Cự Giải
Mời bạn đánh giá!
  • Lượt xem: 1.291
Tìm thêm: Toán 9 Chuyên đề Toán 9
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi

    Chủ đề liên quan

    Mới nhất trong tuần