Chứng minh đẳng thức chứa căn Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai

3 Đánh giá

Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai

A. Cách rút gọn biểu thức và một số dạng toán liên quan
B. Bài tập Rút gọn biểu thức
C. Bài tập Rút gọn biểu thức chứa căn

GiaiToan.com biên soạn và giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô tham khảo tài liệu Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai. Đây là một trong những dạng toán khó và thường gặp trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán, đòi hỏi việc vận dụng linh hoạt các kiến thức Đại số Toán 9. Nội dung tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh học tốt môn Toán lớp 9 hiệu quả hơn. Mời các bạn tham khảo.

A. Cách rút gọn biểu thức và một số dạng toán liên quan

1) Dạng 1: Rút gọn biểu thức có chứa căn

Phương pháp rút gọn biểu thức

Bước 1: Tìm điều kiện xác định.

Bước 2: Tìm mẫu thức chung, quy đồng mẫu thức, rút gọn tử, phân tích tử thành nhân tử.

Bước 3: Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung của tử và mẫu.

Bước 4: Khi nào phân thức được tối giản thì ta hoàn thành việc rút gọn.

2) Dạng 2: Tính giá trị của biểu thức tại x = x₀

Phương pháp:

Bước 1: Rút gọn biểu thức A

Bước 2: Thay giá trị x = x₀ vào biểu thức đã rút gọn rồi tính kết quả.

3) Dạng 3: Tính giá trị của biến x để biểu thức A = k (hằng số)

Phương pháp:

Bước 1: Rút gọn biểu thức A

Bước 2: Giải phương trình A – k = 0

Bước 3: Kiểm tra nghiệm với điều kiện và kết luận.

B. Bài tập Rút gọn biểu thức

Ví dụ 1: Cho biểu thức: $A = \frac{{x - 2\sqrt x }}{{x\sqrt x - 1}} + \frac{{\sqrt x + 1}}{{x\sqrt x + x + \sqrt x }} + \frac{{1 + 2x - 2\sqrt x }}{{{x^2} - \sqrt x }}$

a) Rút gọn biểu thức A.

b) Tìm x để biểu thức A nhận giá trị là số nguyên.

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

$\begin{matrix} A = \dfrac{{x - 2\sqrt x }}{{x\sqrt x - 1}} + \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{x\sqrt x + x + \sqrt x }} + \dfrac{{1 + 2x - 2\sqrt x }}{{{x^2} - \sqrt x }} \hfill \\ A = \dfrac{{\sqrt x + 2}}{{x + \sqrt x + 1}} \hfill \\ \end{matrix}$

b) Cách 1: Với x > 0, x ≠ 1 $\Rightarrow x + \sqrt x + 1 > \sqrt x + 1 > 1$

Vậy $0 < A \Rightarrow \frac{{\sqrt x + 2}}{{x + \sqrt x + 1}} < \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x + 1}} = 1 + \frac{1}{{\sqrt x + 1}} < 2$

Vì A nguyên nên A = 1 $\Leftrightarrow \frac{{\sqrt x + 2}}{{x + \sqrt x + 1}} = 1 \Leftrightarrow x = 1\left( {ktm} \right)$

Vậy không có giá trị nguyên nào của x để giá trị A là một số nguyên.

Cách 2: $A = \frac{{\sqrt x + 2}}{{x + \sqrt x + 1}} \Leftrightarrow Ax + \left( {A - 1} \right)\sqrt x - 2 = 0$

Trường hợp 1: $A = 0 \Rightarrow \sqrt x = - 2 \Rightarrow x \in \emptyset$

Trường hợp 2:

$\begin{matrix} A \ne 0 \hfill \\ \Rightarrow \Delta = {\left( {A - 1} \right)^2} - 4A.\left( {A - 2} \right) = - 3{A^2} + 6A + 1 \geqslant 0 \hfill \\ \Leftrightarrow {A^2} - 2A - \dfrac{1}{3} \leqslant 0 \hfill \\ \Leftrightarrow {A^2} - 2A + 1 \leqslant \dfrac{4}{3} \Leftrightarrow {\left( {A - 1} \right)^2} \leqslant \dfrac{4}{3} \Rightarrow A \in \left\{ {1;2} \right\}\left( {{\text{Do A}} \in \mathbb{Z}{\text{,A > 0}}} \right) \hfill \\ \end{matrix}$

Với A = 1 => x = 1 (loại)

Với A = 2 $A = 2 \Rightarrow \frac{{\sqrt x + 2}}{{x + \sqrt x + 1}} = 2 \Leftrightarrow x = 0\left( L \right)$

Ví dụ 2: Cho biểu thức: $A = \frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x }};B = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x - 3}} - \frac{{7\sqrt x - 9}}{{x - 9}};\left( {x > 0;x \ne 9} \right)$ với $x \geqslant 0;x \ne 25$

a) Rút gọn biểu thức B

b) Tính giá trị của A khi $x = \frac{1}{{\sqrt 2 - 1}} - \frac{1}{{\sqrt 2 + 1}}$

c) Cho biểu thức $P = \frac{A}{B}$ . Hãy tìm các giá trị của m để x thỏa mãn P = m

Hướng dẫn giải

a) $B = \frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 3}}$

b) $x = \frac{1}{{\sqrt 2 - 1}} - \frac{1}{{\sqrt 2 + 1}} = \frac{{\sqrt 2 + 1}}{{\sqrt 2 - 1}} - \frac{{\sqrt 2 - 1}}{{\sqrt 2 + 1}} = 2$

Thay x = 2 vào biểu thức A ta được kết quả: $A = \frac{{\sqrt 2 - 2}}{2}$

c) Ta có:

$\begin{matrix} P = \dfrac{A}{B} = \dfrac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x }};\left( {x > 0;x \ne 4;x \ne 9} \right) \hfill \\ TH1:m = 1 \Rightarrow \sqrt x = \dfrac{3}{{m - 1}} \hfill \\ TH2:m \ne 1 \Rightarrow \sqrt x = \dfrac{3}{{n - 1}} \hfill \\ \end{matrix}$

Do $x > 0;x \ne 4;x \ne 9 \Rightarrow \sqrt x > 0,\sqrt x \ne 2,\sqrt x \ne 3$

Để x thỏa mãn P = m $\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{3}{{m - 1}} > 0} \\ {\dfrac{3}{{m - 1}} \ne 2} \\ {\dfrac{3}{{m - 1}} \ne 3} \end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m > 1} \\ {m \ne \dfrac{5}{2}} \\ {m \ne 2} \end{array}} \right.} \right.$

Vậy $m > 1;m \ne \frac{5}{2};m \ne 2$

C. Bài tập Rút gọn biểu thức chứa căn

Bài 1: Cho biểu thức: $E = \left( {\frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}} - \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}} - \frac{{3x - 3}}{{x - 9}}} \right):\left( {\frac{{2\sqrt x - 2}}{{\sqrt x - 3}} - 1} \right)$

a) Tìm điều kiện xác định của E

b) Rút gọn biểu thức E

c) Tính giá trị của x để biểu thức E < -0,5

Bài 2: Cho biểu thức: $A = \frac{{{x^2} - \sqrt x }}{{x + \sqrt x + 1}} - \frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x }} + \frac{{2\left( {x + 1} \right)}}{{\sqrt x - 1}}$

a) Rút gọn biểu thức A.

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A.

c) Tìm x để biểu thức $B = \frac{{2\sqrt x }}{A}$ nhận giá trị là số nguyên.

Bài 3: Cho biểu thức: $B = \left( {\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}} - \frac{3}{{2 - \sqrt x }} + \frac{{3\sqrt x + 2}}{{x - 4}}} \right):\left( {\frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 2}} + \frac{{2\sqrt x }}{{2\sqrt x - x}}} \right)$

a) Rút gọn biểu thức B

b) Tính giá trị của biểu thức B biết $x = 9 - 4\sqrt 5$

c) Tìm giá trị của x sao cho $B.\left( {x - 1} \right) = 3\sqrt x$

Bài 4: Cho biểu thức: $A = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}};B = \left( {\frac{1}{{\sqrt x - 1}} + \frac{{\sqrt x }}{{x - 1}}} \right).\frac{{x - \sqrt x }}{{2\sqrt x + 1}}$

a) Rút gọn biểu thức B.

b) Tính giá trị của A khi $x = 5 + 2\sqrt 6$

c) Với $x \in \mathbb{N},x \ne 1$ . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = A.B

Bài 5: Cho biểu thức:

$B = \left( {\frac{{2x + 1}}{{x\sqrt x - 1}} - \frac{{\sqrt x }}{{x + \sqrt x + 1}}} \right)\left( {\frac{{1 + x\sqrt x }}{{1 + \sqrt x }} - \sqrt x } \right) + \frac{{2 - 2\sqrt x }}{{\sqrt x }};\left( {x > 0,x \ne 1} \right)$