Giaitoan.com Toán 9 Chuyên đề Toán 9 thi vào 10

Tìm m để khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d lớn nhất Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng

Nội dung
  • 2 Đánh giá

Công thức tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng

Tìm m để khoảng cách từ điểm đến đường thẳng lớn nhất là một dạng toán khó thường gặp trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán. Tài liệu được GiaiToan.com biên soạn và giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô tham khảo. Nội dung tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh học tốt môn Toán lớp 9 hiệu quả hơn. Mời các bạn tham khảo.

A. Công thức tính khoảng cách

Cho điểm M(x0; y0­) và đường thẳng ax + by + c = 0. Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng là:

d = \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}

B. Bài tập tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Ví dụ 1: Cho đường thẳng mx + \left( {2 - 3m} \right)y + m - 1 = 0{\text{ }}\left( d \right)

a) Tìm điểm cố định mà đường thẳng (d) luôn đi qua.

b) Tìm m để khoảng cách từ gốc O đến đường thẳng (d) là lớn nhất.

Hướng dẫn giải

a) Gọi I(x0; y0) là điểm cố định mà đường thẳng (d) luôn đi qua với điểm m khi đó ta có:

\begin{matrix} m{x_0} + \left( {2 - 3m} \right){y_0} + m - 1 = 0;\forall m \hfill \\ \Leftrightarrow m\left( {{x_0} - 3{y_0} + 1} \right) + 2{y_0} - 1 = 0;\forall m \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_0} - 3{y_0} + 1 = 0} \\ {2{y_0} - 1 = 0} \end{array} \Leftrightarrow } \right.\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_0} = \dfrac{1}{2}} \\ {{y_0} = \dfrac{1}{2}} \end{array}} \right. \Leftrightarrow I\left( {\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}} \right) \hfill \\ \end{matrix}

b) Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên đường thẳng (d). Ta có: OH ≤ OI suy ra OH lớn nhất bằng OI khi và chỉ khi H trùng với I ⇔ OI ⊥ (d). Đường thẳng qua O có phương trình: u = ax do

I\left( {\frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right) \in OI \Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{1}{2}a \Leftrightarrow a = 1 \Rightarrow OI:y = x

Đường thẳng (d) được viết lại như sau:

mx + \left( {2 - 3m} \right)y + m - 1 = 0 \Leftrightarrow \left( {2 - 3m} \right)y = - mx + 1 - m

+ Nếu m = \frac{2}{3} thì đường thẳng (d): x - \frac{1}{2} = 0 song song với trục Oy nên khoảng cách từ O đến (d) là \frac{1}{2}

+ Nếu m \ne \frac{2}{3} đường thẳng (d) có thể viết lại: y = \frac{m}{{3m - 2}}x + \frac{{m - 1}}{{3m - 2}}. Điều kiện để (d) vuông góc với OI là: \frac{m}{{3m - 2}}.1 = - 1 \Leftrightarrow m = 2 - 3m \Leftrightarrow m = \frac{1}{2}

Khi đó khoảng cách OI = \sqrt {{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}

Vậy m = \frac{1}{2} là giá trị cần tìm.

Ví dụ 2: Cho hai đường thẳng

\left( {{d_1}} \right):mx + \left( {m - 1} \right)y - 2m + 1 = 0;\left( {{d_2}} \right):\left( {1 - m} \right)x + my - 4m + 1 = 0

a) Tìm các điểm cố định mà (d1); (d2) luôn đi qua.

b) Tìm m để khoảng cách tứ điểm P(0; 4) đến đường thẳng (d1) là lớn nhất.

Hướng dẫn giải

a) Ta viết lại:

\left( {{d_1}} \right):m\left( {x + y - 2} \right) + 1 - y = 0

Từ đó dễ dàng suy ra đường thẳng d1 luôn đi qua điểm cố định A(1; 1).

Tương tự viết lại đường thẳng d2

\left( {{d_2}} \right):m\left( {y - x - 4} \right) + 1 + x = 0

Từ đó dễ dàng suy ra đường thẳng d2 luôn đi qua điểm cố định B(-1; 3).

b) Dễ thấy đường thẳng d1 luôn đu qua điểm cố định A(1; 1). Gọi H là hình chiếu vuông góc của P lên d1 thì khoảng cách từ A đến d1 là PH ≤ PA. Suy ra khoảng cách lớn nhất là PA khi:

P \equiv H \Leftrightarrow PH \bot \left( {{d_1}} \right). Gọi y = ax + b là phương trình đường thẳng đi qua điểm P(0; 4); A(1; 1) ta có hệ phương trình \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a.0 + b = 4} \\ {a.1 + b = 1} \end{array} \Leftrightarrow } \right.\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {b = 4} \\ {a = - 3} \end{array}} \right.. Suy ra phương trình đường thẳng PA: y = -3x + 4

Xét đường thẳng \left( {{d_1}} \right):mx + \left( {m - 1} \right)y - 2m + 1 = 0

+ Nếu m = 1 thì d1: x – 1 = 0 không thỏa mãn điều kiện.

+ Khi m ≠ 1 thì \left( {{d_1}} \right):y = \frac{m}{{1 - m}}x + \frac{{2m - 1}}{{m - 1}}. Điều kiện để \left( {{d_1}} \right) \bot PA là \frac{m}{{1 - m}}.\left( { - 3} \right) = - 1 \Leftrightarrow m = \frac{1}{4}

------------------------------------------------

Hy vọng tài liệu Tìm giá trị của m khoảng cách từ M đến đường thẳng d lớn nhất sẽ giúp ích cho các bạn học sinh học nắm chắc kiến thức về tương giao đồ thị, hàm số bậc hai đồng thời học tốt môn Toán lớp 9. Chúc các bạn học tốt, mời các bạn tham khảo!

Ngoài ra mời quý thầy cô và học sinh tham khảo thêm một số nội dung:

Chia sẻ bởi: Kim Ngưu
Mời bạn đánh giá!
  • Lượt xem: 17.620
Tìm thêm: Toán 9 Chuyên đề Toán 9
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi

    Tài liệu tham khảo khác

    Chủ đề liên quan

    Mới nhất trong tuần