Giải phương trình bậc 2 Nghiệm của phương trình bậc 2

1 Đánh giá

Bài tập Toán 9: Giải phương trình

A. Cách giải phương trình bậc hai
B. Giải phương trình bậc hai

Cách giải phương trình là một dạng toán khó thường gặp trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán. Tài liệu được GiaiToan.com biên soạn và giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô tham khảo. Nội dung tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh học tốt môn Toán lớp 9 hiệu quả hơn. Mời các bạn tham khảo.

A. Cách giải phương trình bậc hai

Phương pháp: Áp dụng một trong các cách sau:

a) Công thức nghiệm

Phương trình ax² + bx + c = 0; (a ≠ 0) có:

∆ = b²– 4ac

Nếu ∆ < 0 thì phương trình vô nghiệm

Nếu ∆ = 0 thì phương trình có nghiệm kép: ${x_1} = {x_2} = \frac{{ - b}}{{2a}}$

Nếu ∆ > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

${x_1} = \frac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}};{x_2} = \frac{{ - b - \sqrt \Delta }}{{2a}}$

∆’ = b’²– 4ac ;(với b = 2b’)

Nếu ∆’ < 0 thì phương trình vô nghiệm

Nếu ∆’ = 0 thì phương trình có nghiệm kép: ${x_1} = {x_2} = \frac{{ - b'}}{a}$

Nếu ∆’ > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

${x_1} = \frac{{ - b' + \sqrt {\Delta '} }}{{2a}};{x_2} = \frac{{ - b' - \sqrt {\Delta '} }}{{2a}}$

b) Cách nhẩm nghiệm phương trình bậc hai

+ Nếu phương trình $a{x^2} + bx + c = 0;\left( {a \ne 0} \right)$ có a + b + c = 0 thì phương trình có nghiệm là: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1} = 1} \\ {{x_2} = \dfrac{c}{a}} \end{array}} \right.$

+ Nếu phương trình $a{x^2} + bx + c = 0;\left( {a \ne 0} \right)$ có a - b + c = 0 thì phương trình có nghiệm là: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1} = - 1} \\ {{x_2} = \dfrac{{ - c}}{a}} \end{array}} \right.$

c) Sử dụng các ứng dụng của Vi – et

d) Đặt ẩn phụ

B. Giải phương trình bậc hai

Ví dụ 1: Giải phương trình:

a) ${x^2} - 49x - 50 = 0$

b) $\left( {2 - \sqrt 3 } \right){x^2} + 2\sqrt 3 x - 2 - \sqrt 3 = 0$

Hướng dẫn giải

a) ${x^2} - 49x - 50 = 0$

Cách 1: Dùng công thức nghiệm (a = 1; b = -49; c = -50)

$\begin{matrix} \Delta = {\left( { - 49} \right)^2} - 4.1.\left( { - 50} \right) = 2601 \hfill \\ \Rightarrow \sqrt \Delta = 51 \hfill \\ \end{matrix}$

Do ∆ > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1} = \dfrac{{ - \left( { - 49} \right) - 51}}{2} = - 1} \\ {{x_2} = \dfrac{{ - \left( { - 49} \right) + 51}}{2} = 50} \end{array}} \right.$

Cách 2: Nhẩm nghiệm

Do a – b + c = -1 – (-49) + (-50) = 0

Nên phương trình có hai nghiệm $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1} = - 1} \\ {{x_2} = 50} \end{array}} \right.$

Cách 3:

Theo định lí Vi – et ta có:

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {S = {x_1} + {x_2} = 49 = \left( { - 1} \right) + 50} \\ {P = {x_1}.{x_2} = - 50 = \left( { - 1} \right).50} \end{array}} \right.$

Vậy phương trình có hai nghiệm: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1} = - 1} \\ {{x_2} = - \dfrac{{ - 50}}{1} = 50} \end{array}} \right.$

b) $\left( {2 - \sqrt 3 } \right){x^2} + 2\sqrt 3 x - 2 - \sqrt 3 = 0$

Cách 1: Dùng công thức nghiệm $\left( {a = 2 - \sqrt 3 ;b = 2\sqrt 3 ;c = - 2 - \sqrt 3 } \right)$

Ta có:

$\begin{matrix} \Delta = {\left( {2\sqrt 3 } \right)^2} - 4\left( {2 - \sqrt 3 } \right)\left( { - 2 - \sqrt 3 } \right) = 16 \hfill \\ \Rightarrow \sqrt \Delta = \sqrt {16} = 4 \hfill \\ \end{matrix}$

Do ∆ > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1} = \dfrac{{ - 2\sqrt 3 + 4}}{{2\left( {2 - \sqrt 3 } \right)}} = 1} \\ {{x_2} = \dfrac{{ - 2\sqrt 3 - 4}}{{2\left( {2 - \sqrt 3 } \right)}} = - \left( {7 + 4\sqrt 3 } \right)} \end{array}} \right.$

Cách 2: Nhẩm nghiệm

Do $a + b + c = 2 - \sqrt 3 + 2\sqrt 3 + \left( { - 2 - \sqrt 3 } \right) = 0$ nên phương trình có hai nghiệm

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1} = 1} \\ {{x_2} = - \dfrac{{ - 2 - \sqrt 3 }}{{2 - \sqrt 3 }} = - \left( {7 + 4\sqrt 3 } \right)} \end{array}} \right.$

Cách 3: Dùng công thức nghiệm thu gọn $\left( {a = 2 - \sqrt 3 ;b' = \sqrt 3 ;c = - 2 - \sqrt 3 } \right)$

Ta có:

$\begin{matrix} \Delta = {\left( {\sqrt 3 } \right)^2} - \left( {2 - \sqrt 3 } \right)\left( { - 2 - \sqrt 3 } \right) = 4 \hfill \\ \Rightarrow \sqrt \Delta = \sqrt 4 = 2 \hfill \\ \end{matrix}$

Do ∆’ > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1} = \dfrac{{ - \sqrt 3 + 2}}{{2 - \sqrt 3 }} = 1} \\ {{x_2} = \dfrac{{ - \sqrt 3 - 2}}{{2 - \sqrt 3 }} = - \left( {7 + 4\sqrt 3 } \right)} \end{array}} \right.$

Ví dụ 2: Giải phương trình bậc hai: ${x^4} - 12{x^2} + 16 = 0\left( * \right)$

Hướng dẫn giải

Đặt ${x^2} = t;\left( {t \geqslant 0} \right)$

Phương trình (*) trở thành ${t^2} - 12t + 16 = 0\left( {**} \right)$

Với a = 1; b = -12; c = 16 ta có:

$\begin{matrix} \Delta ' = {\left( { - 6} \right)^2} - 1.16 = 36 - 16 = 20 \hfill \\ \Rightarrow \sqrt {\Delta '} = \sqrt {20} = 2\sqrt 5 \hfill \\ \end{matrix}$

Vậy phương trình (**) có hai nghiệm phân biệt: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{t_1} = 6 + 2\sqrt 5 } \\ {{t_2} = 6 - 2\sqrt 5 } \end{array}\left( {tm} \right)} \right.$

Vậy phương trình (*) có 4 nghiệm phân biệt

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1} = \sqrt {6 + 2\sqrt 5 } = \sqrt 5 + 1} \\ {{x_2} = - \sqrt {6 + 2\sqrt 5 } = - \left( {\sqrt 5 + 1} \right)} \\ {{x_3} = \sqrt {6 - 2\sqrt 5 } = \sqrt 5 - 1} \\ {{x_4} = - \sqrt {6 - 2\sqrt 5 } = - \left( {\sqrt 5 - 1} \right)} \end{array}} \right.$

Vậy phương trình có tập nghiệm là $S = \left\{ {\sqrt 5 + 1; - \left( {\sqrt 5 + 1} \right);\sqrt 5 - 1; - \left( {\sqrt 5 - 1} \right)} \right\}$

Tài liệu liên quan:

Cách giải phương trình bậc hai
Trục căn thức ở mẫu Toán 9
Rút gọn biểu thức chứa căn Toán 9
Tìm x để biểu thức đạt giá trị nguyên

-----------------------------------------------------

Hy vọng tài liệu Cách giải pt bậc 2 sẽ giúp ích cho các bạn học sinh học nắm chắc các cách biến đổi biểu thức chứa căn đồng thời học tốt môn Toán lớp 9. Chúc các bạn học tốt, mời các bạn tham khảo!

Ngoài ra mời quý thầy cô và học sinh tham khảo thêm một số nội dung:

Chia sẻ bởi: