Hằng đẳng thức: a³ – b³ Hằng đẳng thức đáng nhớ

Bảy hằng đẳng thức đáng nhớ đưa ra phương pháp và các ví dụ cụ thể, giúp các bạn học sinh lớp 8 ôn tập và củng cố kiến thức về dạng toán về những hằng đẳng thức đáng nhớ. Tài liệu bao gồm công thức hằng đẳng thức, các bài tập ví dụ minh họa có lời giải và bài tập rèn luyện giúp các bạn bao quát nhiều dạng bài chuyên đề hằng đẳng thức Toán lớp 8. Chúc các bạn học tập hiệu quả!

1. Hằng đẳng thức số 7

- Hiệu của lập phương hai biểu thức bằng tích của hiệu hai biểu thức và bình phương thiếu của tổng hai biểu thức đó.

2. Hằng đẳng thức đáng nhớ

A³ - B³ = (A – B)(A² + AB + B²)

Chứng minh hằng đẳng thức

A³ - B³ = (A – B)(A² + AB + B²)

Xét vế phải của hằng đẳng thức

VP = (A – B)(A² + AB + B²)

VP = A³ + A²B + AB² – A²B – AB² – B³

VP = A³ + (A²B – A²B) +( AB² – AB²)– B³

VP = A³– B³ = VT

=> điều phải chứng minh

Hướng dẫn giải

a) Ta có: y³ - 64

= y³ - 4³

= (y - 4)(y² + 4y + 4²)

= (y - 4)(y² + 4y +16)

b) Ta có: 8 - a³

= 2³ - a³

= (2 - a)(2² + 2a + a²)

= (2 - a)(4 + 2a + a²)

Ví dụ 2: Viết biểu thức dưới dạng hiệu hai lập phương:

a) (x - 5)(x2 + 10x + 25)

b)

Hướng dẫn giải

a) (x - 5)(x2 + 10x + 25) = x³ - 5³ = x³ - 125

b)

Hướng dẫn giải

Ta có: (x + 1)³ + (x – 2)³

= (x + 1 + x – 2) . [(x + 1)² – (x + 1)(x – 2) + (x – 2)²]

= (2x – 1) . [x² + 2x + 1 – (x² - x – 2) + x² - 4x + 4]

= (2x – 1) . [2x² - 2x + 5 – x² + x + 2]

= (2x – 1) . (x² – x + 7)

Hướng dẫn giải

P = x³ + y³ + z³ – 3xyz

P = x³ + 3x²y + 3xy² + y³ – 3xyz – 3x²y – 3xy² + z³

P = (x + y)³ + z³ – 3xyz – 3x²y – 3xy²

P = (x + y + z) . [(x + y)² – z(x + y) + z²] – 3xy(z + x + y)

P = (x + y + z) . [(x + y)² – z(x + y) + z² – 3xy]

P = (x + y + z) . [x² + 2xy + y² – zx – zy + z² – 3xy]

P = (x + y + z) . (x² + y² + z² – zx – zy – xy)

Hướng dẫn giải

B = (x – y)³ + (y – z)³ + (z – x)³

B = (x³ - 3x²y + 3xy² – y³) + (y³ – 3y²z + 3yz² – z³) + (z³ – 3z²z + 3zx² – x³)

B = - 3x²y + 3xy² – 3y²z + 3yz² – 3z²x + 3zx²

B = 3 . [- xy(x – y) – z²(x – y) + z(x - y)(x + y)]

B = 3 . (x – y)(- xy – z² + zx + zy)

B = 3(x – y)[y(z – x) – z(z – x)]

B = 3(x – y)(z – x)(y – z)

3. Bài tập

Bài 1: Viết các biểu thức sau thành tích của hai đa thức khác:

a) 8y³ - 27

b) 27x³ - 64y³

c) x³ - (x - y)³

d) - 8x³ + 27

Bài 2: Tính:

a) (x - 3)(x² + 3x + 9)

b) (4 - 3x)(9x² + 12x + 16)

c) (2x - 3)(4x² + 6x + 9)

d) (5 - y)(25 + 5y + y²)

e) (2y - 1)(4y² + 2y + 1) + (3 - y)(9 + 3y + y²) + y(2 - 7y²)

Bài 3: Tìm x, biết:

a) (x - 5)(x² + 5x + 25) - (x + 3)(x² - 3x + 9) = 2 - 3x

b) x³ - (x - 2)(x² + 2x + 4) + 3x = 0

Bài 4: Chứng minh các biểu thức sau có giá trị không phụ thuộc vào giá trị của biến:

a) A = x³ + 27 - (x - 2)(x² + 2x + 4)

b) B = (1 - 3x)(1 + 3x + 9x²) + 27(x - 1)(x² + x + 1)

c) C = 2(4 - x)(x² + 4x + 16) + 2(x + 1)(x² - x + 1)

4. Các hằng đẳng thức đáng nhớ

• Tính a² + b² 

• Tính a³ + b³

• a² + b² + c² =?

----------------------------------------------------

Tham khảo thêm:

• Một xe máy dự định đi từ A đến B với vận tốc 35km/h. Nhưng khi đi được nửa đường AB thì xe bị hỏng nên dừng lại sửa 15 phút, để kịp B đúng giờ người đó tăng vận tốc 5km/h trên quãng đường còn lại. Tính độ dài quãng đường AB.
• Một người đi xe máy từ A đến B với vận tốc 30 km/h. Đến B người đó làm việc trong một giờ rồi quay về A với vận tốc 24 km/h. Biết thời gian tổng cộng hết 5 giờ 30 phút. Tính quãng đường AB.
• Quãng đường AB dài 45 km. Một người đi xe đạp từ A đến B trong khoảng thời gian nhất định, do đường khó đi nên người đi xe đạp đã đi với vận tốc bé hơn vận tốc dự định 5 km/h và tới B muộn hơn dự định 1h30p. Tìm vận tốc dự định của xe.
• Một người đi xe đạp từ A đến B cách nhau 24km. Khi đi từ B trở về A người đó tăng vận tốc thêm 4km/h so với lúc đi, nên thời gian về ít hơn thời gian đi là 30 phút. Tính vận tốc của xe đạp khi đi từ A đến B.