Giải bài toán bằng cách lập phương trình lớp 8 Toán năng suất Giải bài toán bằng cách lập phương trình

29 Đánh giá

Bài tập Toán 8: Giải bài toán bằng cách lập phương trình

A. Giải bài toán bằng cách lập phương trình - Toán năng suất
B. Các dạng giải bài toán bằng cách lập phương trình

Giải bài toán bằng cách lập phương trình dạng năng suất được biên soạn bao gồm đáp án chi tiết cho từng bài tập giúp các bạn học sinh có thể luyện tập thêm các dạng bài tập cơ bản nhất để biết được cách giải các bài toán bằng cách lập phương trình. Đây là tài liệu tham khảo hay dành cho quý thầy cô và các vị phụ huynh lên kế hoạch ôn tập học kì môn Toán lớp 8. Chúc các bạn học tập tốt!

A. Giải bài toán bằng cách lập phương trình - Toán năng suất

1, Phương pháp giải bài toán năng suất

Năng suất: khả năng hoàn thành công việc trong một đơn vị thời gian.

Nghĩa là: Trong một đơn vị thời gian hoàn thành được bao nhiêu phần công việc.

Công thức:

- Thời gian hoàn thành một công việc:

$t = \frac{1}{N}$ (N là năng suất)

- Số công việc hoàn thành trong một đơn vị thời gian T:

Công việc = N . T

Khối lượng công việc = Năng suất lao động x Thời gian

2. Cách giải bài toán bằng cách lập phương trình

Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình:

Bước 1: Lập phương trình:

+ Đặt ẩn và tìm điều kiện của ẩn (nếu có).

+ Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.

+ Lập phương trình biểu diễn tương quan giữa các đại lượng.

Bước 2: Giải phương trình.

Bước 3: So sánh với điều kiện và kết luận.

3. Bài tập ví dụ giải bài toán bằng cách lập phương trình năng suất

Ví dụ 1: Một phân xưởng được giao nhiệm vụ sản xuất một số lượng sản phẩm trong thời gian 10 ngày. Do cải tiến máy móc kĩ thuật nên mỗi ngày phân xưởng sản xuất nhiều hơn so với dự định là 20 sản phẩm nên không những hoàn thành kế hoạch sớm hơn 2 ngày mà còn làm vượt mức 40 sản phẩm. Tính năng suất dự định của phân xưởng.

Hướng dẫn giải

Gọi năng suất dự định của phân xưởng là x (sản phẩm) (x ∈ N*)

Số sản phẩm dự định sản xuất là 10x (sản phẩm)

Năng suất thực tế của phân xưởng là x + 20 (sản phẩm)

Thời gian sản xuất thực tế là 10 − 2 = 8 (ngày)

Số sản phẩm thực tế sản xuất là 8 . (x + 20) (sản phẩm)

Do thực tế phân xưởng hoàn thành sớm và vượt mức 40 sản phẩm, nên ta có phương trình:

10x + 40 = 8 . (x + 20)

10x + 40 = 8x + 160

2x = 120

x = 60 (thỏa mãn điều kiện)

Vậy một ngày phân xưởng sản xuất được 60 sản phẩm.

Ví dụ 2: Hai người cùng làm chung một công việc hết 15 ngày. Năng suất trong 1 ngày của người thứ 2 bằng $\frac{2}{3}$ năng suất của người thứ nhất. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi người phải làm trong bao lâu mới làm xong công việc.

Hướng dẫn giải

Gọi thời gian làm việc một mình của người thứ nhất là x (ngày) (x > 0)

Năng suất làm việc trong một ngày của người thứ nhất là: $\frac{1}{x}$ (công việc)

Năng suất trong 1 ngày của người thứ 2 là: $\frac{2}{{3x}}$ (công việc)

Do hai người cùng làm chung công việc trong 15 ngày thì xong công việc. Ta có phương trình:

$\begin{matrix} 15.\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{2}{{3x}}} \right) = 1 \hfill \\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{x} + \dfrac{2}{{3x}} = \dfrac{1}{{15}} \hfill \\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{x}\left( {1 + \dfrac{2}{3}} \right) = \dfrac{1}{{15}} \hfill \\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{x}.\dfrac{5}{3} = \dfrac{1}{{15}} \hfill \\ \Leftrightarrow x = 25\left( {tm} \right) \hfill \\ \end{matrix}$

Vậy người thứ nhất làm một mình xong công việc trong 25 ngày, người thứ hai làm một mình xong công việc trong $\frac{{50}}{3}$ ngày.

Ví dụ 3: Một lớp học tham gia trồng cây ở một lâm trường trong một thời gian dự định về năng suất 300 cây/ngày. Nhưng thực tế trồng được nhiều hơn dự định 100 cây/ngày. Do đó khi hoàn thành kế hoạch lớp đó trồng được thêm là 600 cây và hoàn thành trước kế hoạch một ngày. Tính số cây dự định trồng?

Hướng dẫn giải

Gọi số cây dự định trồng là x (cây) (x ∈ N*)

Thời gian dự định trồng là: $\frac{x}{{300}}$ (ngày)

Thực tế số cây trồng 1 ngày là: 300 + 100 = 400 (cây)

Số cây thực tế trồng được là: x + 600 (cây)

Thời gian thực tế trồng là: $\frac{{x + 600}}{{400}}$ (cây)

Do lớp học đó hoàn thành trước kế hoạch 1 ngày nên ta có phương trình:

$\frac{x}{{300}} - \frac{{x + 600}}{{400}} = 1$

400x − 300(x + 600) = 120 000

400x − 300x − 180 000 = 120 000

100x = 300 000

x = 3 000

Vậy số cây dự định trồng ban đầu là 3 000 cây.

4. Bài tập vận dụng giải bài toán bằng cách lập phương trình năng suất

Bài 1: Một xí nghiệp dự định hoàn thành 2 400 sản phẩm được giao với năng xuất dự kiến. Sau khi làm được 6 ngày với năng suất đó, nhờ cải tiến kĩ thuật nên năng suất tăng 5 sản phẩm/ngày, vì vậy họ đã hoàn thành công việc sớm hơn dự định 6 ngày. Tính năng suất dự kiến ban đầu.

Xem lời giải chi tiết

Bài 2: Theo kế hoạch, một đội sản xuất phải làm 1 số sản phẩm, dự kiến mỗi ngày làm được 15 sản phẩm. Đội đã làm được 8 ngày với năng suất đó. Sau đó do được cải tiến kĩ thuật, mỗi đội làm được 18 sản phẩm. Vì vậy đội đã hoàn thành công việc trước 2 ngày so với kế hoạch. Hỏi theo kế hoạch đội đó phải làm bao nhiêu sản phẩm?

Xem lời giải chi tiết

Bài 3: Một đội công nhân khai thác gỗ theo kế hoạch phải khai thác 216 m³ gỗ trong một thời gian quy định. Trong 3 ngày đầu họ làm việc với đúng năng suất theo kế hoạch. Sau đó mỗi ngày họ khai thác thêm được 8 m³ nữa, vì thế họ không những hoàn thành sớm công việc 1 ngày mà còn khai thác thêm được 16 m³ nữa. Hỏi thời gian trong kế hoạch phải khai thác bao nhiêu ngày.

Xem lời giải chi tiết

Bài 4: Một xí nghiệp kia hợp đồng dệt 1 số vải đen trong 20 ngày do cải cách kĩ thuật năng suất của xí nghiệp đã tăng 20%. Bởi vậy chỉ trong 18 ngày không những xí nghiệp đã hoàn thành số thảm mà còn dệt 24 tấm nữa. Tính số thảm đen mà xí nghiệp phải dệt theo hợp đồng.

Bài 5: Một đội sản xuất cần sản xuất một số sản phẩm trong một thời gian nhất định. Nhưng khi thực hiện người trực tiếp sản xuất giảm 1 người. Do vậy để hoàn thành kế hoạch, mỗi người còn lại phải tăng năng suất 25%. Tính số người lúc đầu?

Bài 6: Một công ty dự định điều động một số xe để chuyển 180 tấn hàng từ cảng Dung Quất vào thành phố Hồ Chí Minh, mỗi xe chở khối lượng hàng như nhau. Nhưng do nhu cầu thực tế cần chuyển thêm 28 tấn hàng nên công ty đó phải điều động thêm một xe cùng loại và mỗi xe bây giờ phải chở thêm 1 tần hàng mới đáp ứng được nhu cầu đặt ra. Hỏi theo dự định công ty đó cần điều động bao nhiêu xe? Biết rằng mỗi xe chở không quá 15 tấn.

Bài 7: Một công nhân theo kế hoạch phải làm 85 sản phẩm trong một khoảng thời gian dự định. Nhưng do yêu cầu đột xuất, người công nhân đó phải làm 96 sản phẩm. Do người công nhân mỗi giờ đã làm tăng thêm 3 sản phẩm nên người đó đã hoàn thành công việc sớm hơn so với thời gian dự định là 20 phút. Tính xem theo dự định mỗi giờ người đó phải làm bao nhiêu sản phẩm, biết rằng mỗi giờ chỉ được làm không quá 20 sản phẩm.

Bài 8: Để hoàn thành một công việc, nếu hai tổ cùng làm chung thì hết 6 giờ. Sau 2 giờ làm chung thì tổ hai được điều đi làm việc khác, tổ một tiếp tục làm và đã hoàn thành công việc còn lại trong 10 giờ. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi tổ sẽ hoàn thành công việc này trong thời gian bao nhiêu?

Bài 9: Hưởng ứng phong trào: "Vì biển đảo Trường Sa" một đôi tàu dự định chở 280 tấn hàng ra đảo. Nhưng khi chuẩn bị khởi hành thì một số hàng hóa đã tăng thêm 6 tấn so với quy định. Vì vậy đội tàu phải bổ sung thêm 1 tàu và mỗi tàu chở ít hơn dự định 2 tấn hàng. Hỏi khi dự định đội tàu có bao nhiêu chiếc tau, biết rằng các tàu chở số tấn hàng bằng nhau.

Bài 10: Một tổ công nhân phải làm 144 dụng cụ. Do 3 công nhân chuyển đi làm việc khác nên mỗi người phải làm thêm 4 dụng cụ. Tính số công nhân của tổ (biết năng suất mỗi người như nhau).

Bài 11: Một đội sản xuất dự định mỗi ngày làm được 48 chi tiết máy. Khi thực hiện mỗi ngày đội làm được 60 chi tiết máy. Vì vậy đội không những đã hoàn thành xong trước kế hoạch 2 ngày mà còn làm thêm được 25 chi tiết máy. Tính số chi tiết máy mà đội phải sản xuất theo kế hoạch?

Xem lời giải chi tiết