Tính a^2+b^2 Những hằng đẳng thức đáng nhớ

41 Đánh giá

Hằng đẳng thức

A. a^2+b^2=?
- a2 + b2 = (a + b)2 - 2ab
- a2 + b2 = (a - b)2 + 2ab
B. Bài tập ví dụ minh họa bài toán a^2 + b^2

Hằng đẳng thức đáng nhớ đưa ra phương pháp và các ví dụ cụ thể, giúp các bạn học sinh lớp 8 ôn tập và củng cố kiến thức về dạng toán về những hằng đẳng thức đáng nhớ. Tài liệu bao gồm công thức hằng đẳng thức, các bài tập ví dụ minh họa có lời giải và bài tập rèn luyện giúp các bạn bao quát nhiều dạng bài chuyên đề hằng đẳng thức Toán lớp 8. Chúc các bạn học tập hiệu quả!

A. a^2+b^2=?

Hằng đẳng thức:

(a + b)² = a² + 2ab + b² khi đó:

a² + b² = (a + b)² - 2ab

(a - b)² = a² - 2ab + b² khi đó:

a² + b² = (a - b)² + 2ab

B. Bài tập ví dụ minh họa bài toán a^2 + b^2

Ví dụ 1: Tính a² + b² biết a + b = 5 và ab = 1

Hướng dẫn giải

Ta có:

a² + b²

= (a + b)² - 2ab

= 5² – 2.1 = 25 – 2 = 23

Vậy a² + b² = 23 khi a + b = 5 và ab = 1

Ví dụ 2: Cho 2.(a² + b²) = (a + b)². Chứng minh rằng a = b

Hướng dẫn giải

$\begin{matrix} 2.\left( {{a^2} + {b^2}} \right) = {(a + b)^2} \hfill \\ \Rightarrow 2{a^2} + 2{b^2} = {a^2} + 2ab + {b^2} \hfill \\ \Rightarrow 2{a^2} - {a^2} + 2{b^2} - {b^2} - 2ab = 0 \hfill \\ \Rightarrow {a^2} + {b^2} - 2ab = 0 \hfill \\ \Rightarrow {a^2} - 2ab + {b^2} = 0 \hfill \\ \Rightarrow {(a - b)^2} = 0 \hfill \end{matrix}$

=> a - b = 0

=> a = b (điều phải chứng minh)

Ví dụ 3: Chứng minh rằng $\frac{{{a^2} + {b^2}}}{2} \geqslant ab$ với mọi số dương a và b

Hướng dẫn giải

$\frac{{{a^2} + {b^2}}}{2} \geqslant ab$

=> a² + b² ≥ 2ab

=> a² + b² - 2ab ≥ 0

=> (a - b)² ≥ 0 (luôn đúng)

Vậy với mọi số dương a và b ta luôn có $\frac{{{a^2} + {b^2}}}{2} \geqslant ab$ .

Ví dụ 4: Phân tích đa thức thành nhân tử đa thức a² + b² + 2a - 2b - 2ab

Hướng dẫn giải

Thực hiện phân tích đa thức thành nhân tử ta có:

a² + b² + 2a - 2b - 2ab

= a² - 2ab + b² + 2a - 2b

= (a - b)²+ 2(a - b)

= (a - b)(a - b + 2)

Vậy a² + b² + 2a - 2b - 2ab = (a - b)(a - b + 2)

Ví dụ 5: Cho a và b là hai số bất kì. Chứng minh rằng: a² + b² + 9 ≥ ab - 3(a + b)

Hướng dẫn giải

Ta có: a² + b² + 9 ≥ ab - 3(a + b)

=> 2a² + 2b² + 18 ≥ 2ab - 6(a + b)

=> a² + b² - 2ab + a² +6a + 9 + b² + 6b + 9 ≥ 0

=> (a - b)²+ (a + 3)² + (b + 3)² ≥ 0 (luôn đúng với mọi giá trị a và b)

Vậy với các số a và b bất kì ta luôn có a² + b² + 9 ≥ ab - 3(a + b)

Ví dụ 6: Tìm các giá trị x và y biết:

a) x² - 2x + 5 + y² – 4y = 0

b) 4x² + y² – 20x – 2y + 26 = 0

Hướng dẫn giải

a) x² - 2x + 5 + y² – 4y = 0

=> (x² – 2x + 1) + (y² – 4y + 4) = 0

=> (x – 1)² + (y – 2)² = 0

=> (x - 1)² = 0

(y – 2)² = 0 (vì (x – 1)²; (y – 2)² ≥ 0)

=> x = 1; y = 2

Vậy x = 1; y = 2

b) 4x² + y² – 20x – 2y + 26 = 0

=> (4x² – 20x + 25) + (y² – 2y + 1) = 0

=> (2x – 5)² + (y – 1)² = 0

=> (2x – 5)² = 0 và (y – 1)² = 0

Vì (2x – 5)² ; (y – 1)² ≥ 0

=> x = 2/3; y = -1/2

Ví dụ 7: Chứng minh không tồn tại x; y thỏa mãn:

a) x² + 4y² + 4x – 4y + 10 = 0

b) 3x² + y² + 10x – 2xy + 29 = 0

c) 4x² + 2y² + 2y – 4xy + 5 = 0

Hướng dẫn giải

a) x² + 4y² + 4x – 4y + 10 = 0

=> x² + 4x + 4 + 4y²– 4y + 1 + 5 = 0

=> (x + 2)² + (2y – 1)² + 5 = 0

Mà (x + 2)² + (2y – 1)² + 5 ≥ 5 > 0

Suy ra không có x; y thỏa mãn đề bài

b) 3x² + y² + 10x – 2xy + 29 = 0

=> x² – 2xy + y² + 2x² + 10x + 29 = 0

=> (x – y)² + 2(x + 2,5)² + 16,5 = 0

Mà (x – y)² + 2(x + 2,5)² + 16,5 ≥ 16,5 > 0

Suy ra không có x; y thỏa mãn đề bài

c) 4x² + 2y² + 2y – 4xy + 5 = 0

=> (4x² – 4xy + y²) + (y² + 2y + 1) + 4 = 0

=> (2x – y)² + (y + 1)² + 4 = 0

Mà (2x – y)² + (y + 1)² + 4 ≥ 4 > 0

Suy ra không có x; y thỏa mãn đề bài

----------------------------------------------------

Hi vọng Chuyên đề Bảy hằng đẳng thức đáng nhớ là tài liệu hữu ích cho các bạn ôn tập kiểm tra năng lực, bổ trợ cho quá trình học tập trong chương trình lớp 8 cũng như ôn luyện cho các kì thi sắp tới. Mời thầy cô và bạn đọc tham khảo thêm một số tài liệu liên quan: Hỏi đáp Toán 8, Lý thuyết Toán 8, Giải Toán 8, Luyện tập Toán 8, ... Chúc các bạn học tốt!

Tài liệu liên quan: