Tính a² + b² Những hằng đẳng thức đáng nhớ

Nội dung
  • 50 Đánh giá

Hằng đẳng thức đáng nhớ đưa ra phương pháp và các ví dụ cụ thể, giúp các bạn học sinh lớp 8 ôn tập và củng cố kiến thức về dạng toán về những hằng đẳng thức đáng nhớ Toán lớp 8. Chúc các bạn học tập hiệu quả!

A. a² + b² = ?

Vận dụng hằng đẳng thức:

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a − b)2 = a2 − 2ab + b2

Khi đó:

a2 + b2 = (a + b)2 − 2ab

hoặc

a2 + b2 = (a − b)2 + 2ab

B. Bài tập ví dụ

Ví dụ 1: Tính a2 + b2 biết a + b = 5 và ab = 1

Hướng dẫn giải

Ta có: a2 + b2 = (a + b)2 − 2ab

= 52 – 2 . 1 = 25 – 2 = 23

Vậy a2 + b2 = 23 khi a + b = 5 và ab = 1

Ví dụ 2: Cho 2 . (a2 + b2) = (a + b)2. Chứng minh rằng a = b

Hướng dẫn giải

Ta có: 2 . (a2 + b2) = (a + b)2

2a2 + 2b2 = a2 + 2ab + b2

2a2 − a2 − 2ab + 2b2 − b2 = 0

a2 − 2ab + b2 = 0

(a − b)2 = 0

a − b = 0

a = b (điều phải chứng minh)

Ví dụ 3: Chứng minh rằng \frac{{{a^2} + {b^2}}}{2} \geqslant ab với mọi số dương a và b.

Hướng dẫn giải

Ta có: \frac{{{a^2} + {b^2}}}{2} \geqslant ab

a2 + b2 ≥ 2ab

a2 − 2ab + b2 ≥ 0

(a − b)2 ≥ 0 (luôn đúng)

Vậy với mọi số dương a và b ta luôn có \frac{{{a^2} + {b^2}}}{2} \geqslant ab.

Ví dụ 4: Phân tích đa thức thành nhân tử đa thức a2 + b2 + 2a − 2b − 2ab.

Hướng dẫn giải

Ta có: a2 + b2 + 2a − 2b − 2ab

= (a2 − 2ab + b2) + (2a − 2b)

= (a − b)2 + 2(a − b)

= (a − b)(a − b + 2)

Vậy a2 + b2 + 2a − 2b − 2ab = (a − b)(a − b + 2)

Ví dụ 5: Cho a và b là hai số bất kì. Chứng minh rằng: a2 + b2 + 9 ≥ ab − 3(a + b)

Hướng dẫn giải

Ta có: a2 + b2 + 9 ≥ ab − 3(a + b)

2a2 + 2b2 + 18 ≥ 2ab − 6(a + b) (Nhân hai vế của bất phương trình với 2)

a2 + b2 − 2ab + a2 + 6a + 9 + b2 + 6b + 9 ≥ 0

(a − b)2 + (a + 3)2 + (b + 3)2 ≥ 0 (luôn đúng với mọi giá trị a và b)

Vậy với các số a và b bất kì ta luôn có a2 + b2 + 9 ≥ ab − 3(a + b)

Ví dụ 6: Tìm các giá trị x và y biết:

a) x2 − 2x + 5 + y2 – 4y = 0

b) 4x2 + y2 – 20x – 2y + 26 = 0

Hướng dẫn giải

a) x2 − 2x + 5 + y2 – 4y = 0

(x2 – 2x + 1) + (y2 – 4y + 4) = 0

(x – 1)2 + (y – 2)2 = 0

Do đó (x − 1)2 = 0 và (y – 2)2 = 0 (vì (x – 1)2 ≥ 0; (y – 2)2 ≥ 0 với mọi x, y)

Suy ra x − 1 = 0 và y − 2 = 0

Vậy x = 1; y = 2

b) 4x2 + y2 – 20x – 2y + 26 = 0

(4x2 – 20x + 25) + (y2 – 2y + 1) = 0

(2x – 5)2 + (y – 1)2 = 0

(2x – 5)2 = 0 và (y – 1)2 = 0 (Vì (2x – 5)2 ≥ 0; (y – 1)2 ≥ 0 với mọi x, y)

Vậy x = 5/2; y = 1

Ví dụ 7: Chứng minh không tồn tại x; y thỏa mãn:

a) x2 + 4y2 + 4x – 4y + 10 = 0

b) 3x2 + y2 + 10x – 2xy + 29 = 0

c) 4x2 + 2y2 + 2y – 4xy + 5 = 0

Hướng dẫn giải

a) x2 + 4y2 + 4x – 4y + 10 = 0

x2 + 4x + 4 + 4y2 – 4y + 1 + 5 = 0

(x + 2)2 + (2y – 1)2 + 5 = 0

Vì (x + 2)2 + (2y – 1)2 + 5 ≥ 5 > 0

Suy ra không tồn tại x, y thỏa mãn đề bài.

b) 3x2 + y2 + 10x – 2xy + 29 = 0

x2 – 2xy + y2 + 2x2 + 10x + 29 = 0

(x – y)2 + 2(x + 2,5)2 + 16,5 = 0

Do (x – y)2 + 2(x + 2,5)2 + 16,5 ≥ 16,5 > 0

Suy ra không tồn tại x, y thỏa mãn đề bài.

c) 4x2 + 2y2 + 2y – 4xy + 5 = 0

(4x2 – 4xy + y2) + (y2 + 2y + 1) + 4 = 0

(2x – y)2 + (y + 1)2 + 4 = 0

Do (2x – y)2 + (y + 1)2 + 4 ≥ 4 > 0

Suy ra không tồn tại x, y thỏa mãn đề bài.

C. Bài tập tự luyện

Viết các biểu thức sau dưới dạng tổng hai bình phương.

a) x2 + 10x + 26 + y2 + 2y

Đáp số: (x + 5)2 + (y + 1)2

b) z2 − 6z + 13 + t2 + 4t

Đáp số: (z − 3)2 + (t + 2)2

c) x2 − 2xy + 2y2 + 2y + 1

Đáp số: (x − y)2 + (y + 1)2

d) 4x2 + 2z2 − 4xz − 2z + 1

Đáp số: (2x − z)2 + (z − 1)2 

e) 4x2 − 12x − y2 + 2y + 8

Đáp số: (2x − 3)2 − (y − 1)2 

f) 4x2 + 2z2 − 4zx − 2z + 1

Đáp số: (2x − z)2 + (z − 1)2 

-------------------------------------------

  • 166.768 lượt xem
Chia sẻ bởi: Thùy Chi
Sắp xếp theo