Giaitoan.com Toán 8 Lý thuyết Toán 8 Luyện tập Toán 8

Tính a² + b² Những hằng đẳng thức đáng nhớ

Nội dung
  • 47 Đánh giá

Hằng đẳng thức

Hằng đẳng thức đáng nhớ đưa ra phương pháp và các ví dụ cụ thể, giúp các bạn học sinh lớp 8 ôn tập và củng cố kiến thức về dạng toán về những hằng đẳng thức đáng nhớ. Tài liệu bao gồm công thức hằng đẳng thức, các bài tập ví dụ minh họa có lời giải và bài tập rèn luyện giúp các bạn bao quát nhiều dạng bài chuyên đề hằng đẳng thức Toán lớp 8. Chúc các bạn học tập hiệu quả!

A. a² + b² = ?

Vận dụng hằng đẳng thức:

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a - b)2 = a2 - 2ab + b2

Khi đó:

a2 + b2 = (a + b)2 - 2ab

hoặc

a2 + b2 = (a - b)2 + 2ab

B. Bài tập ví dụ

Ví dụ 1: Tính a2 + b2 biết a + b = 5 và ab = 1

Hướng dẫn giải

Ta có: a2 + b2 = (a + b)2 - 2ab

= 52 – 2 . 1 = 25 – 2 = 23

Vậy a2 + b2 = 23 khi a + b = 5 và ab = 1

Ví dụ 2: Cho 2 . (a2 + b2) = (a + b)2. Chứng minh rằng a = b

Hướng dẫn giải

Ta có: 2 . (a2 + b2) = (a + b)2

2a2 + 2b2 = a2 + 2ab + b2

2a2 - a2 - 2ab + 2b2 - b2 = 0

a2 - 2ab + b2 = 0

(a - b)2 = 0

a - b = 0

a = b (điều phải chứng minh)

Ví dụ 3: Chứng minh rằng \frac{{{a^2} + {b^2}}}{2} \geqslant ab với mọi số dương a và b

Hướng dẫn giải

Ta có: \frac{{{a^2} + {b^2}}}{2} \geqslant ab

a2 + b2 ≥ 2ab

a2 - 2ab + b2 ≥ 0

(a - b)2 ≥ 0 (luôn đúng)

Vậy với mọi số dương a và b ta luôn có \frac{{{a^2} + {b^2}}}{2} \geqslant ab.

Ví dụ 4: Phân tích đa thức thành nhân tử đa thức a2 + b2 + 2a - 2b - 2ab

Hướng dẫn giải

Ta có: a2 + b2 + 2a - 2b - 2ab

= (a2 - 2ab + b2) + (2a - 2b)

= (a - b)2 + 2(a - b)

= (a - b)(a - b + 2)

Vậy a2 + b2 + 2a - 2b - 2ab = (a - b)(a - b + 2)

Ví dụ 5: Cho a và b là hai số bất kì. Chứng minh rằng: a2 + b2 + 9 ≥ ab - 3(a + b)

Hướng dẫn giải

Ta có: a2 + b2 + 9 ≥ ab - 3(a + b)

2a2 + 2b2 + 18 ≥ 2ab - 6(a + b) (Nhân hai vế của bất phương trình với 2)

a2 + b2 - 2ab + a2 + 6a + 9 + b2 + 6b + 9 ≥ 0

(a - b)2 + (a + 3)2 + (b + 3)2 ≥ 0 (luôn đúng với mọi giá trị a và b)

Vậy với các số a và b bất kì ta luôn có a2 + b2 + 9 ≥ ab - 3(a + b)

Ví dụ 6: Tìm các giá trị x và y biết:

a) x2 - 2x + 5 + y2 – 4y = 0

b) 4x2 + y2 – 20x – 2y + 26 = 0

Hướng dẫn giải

a) x2 - 2x + 5 + y2 – 4y = 0

(x2 – 2x + 1) + (y2 – 4y + 4) = 0

(x – 1)2 + (y – 2)2 = 0

Do đó (x - 1)2 = 0 và (y – 2)2 = 0 (vì (x – 1)2 ≥ 0; (y – 2)2 ≥ 0 với mọi x, y)

Suy ra x - 1 = 0 và y - 2 = 0

Vậy x = 1; y = 2

b) 4x2 + y2 – 20x – 2y + 26 = 0

(4x2 – 20x + 25) + (y2 – 2y + 1) = 0

(2x – 5)2 + (y – 1)2 = 0

(2x – 5)2 = 0 và (y – 1)2 = 0 (Vì (2x – 5)2 ≥ 0; (y – 1)2 ≥ 0 với mọi x, y)

Vậy x = 5/2; y = 1

Ví dụ 7: Chứng minh không tồn tại x; y thỏa mãn:

a) x2 + 4y2 + 4x – 4y + 10 = 0

b) 3x2 + y2 + 10x – 2xy + 29 = 0

c) 4x2 + 2y2 + 2y – 4xy + 5 = 0

Hướng dẫn giải

a) x2 + 4y2 + 4x – 4y + 10 = 0

x2 + 4x + 4 + 4y2– 4y + 1 + 5 = 0

(x + 2)2 + (2y – 1)2 + 5 = 0

Vì (x + 2)2 + (2y – 1)2 + 5 ≥ 5 > 0

Suy ra không có x; y thỏa mãn đề bài

b) 3x2 + y2 + 10x – 2xy + 29 = 0

x2 – 2xy + y2 + 2x2 + 10x + 29 = 0

(x – y)2 + 2(x + 2,5)2 + 16,5 = 0

Do (x – y)2 + 2(x + 2,5)2 + 16,5 ≥ 16,5 > 0

Suy ra không có x; y thỏa mãn đề bài

c) 4x2 + 2y2 + 2y – 4xy + 5 = 0

(4x2 – 4xy + y2) + (y2 + 2y + 1) + 4 = 0

(2x – y)2 + (y + 1)2 + 4 = 0

Do (2x – y)2 + (y + 1)2 + 4 ≥ 4 > 0

Suy ra không có x; y thỏa mãn đề bài.

C. Bài tập tự luyện

Viết các biểu thức sau dưới dạng tổng hai bình phương.

a) x2 + 10x + 26 + y2 + 2y

b) z2 - 6z + 13 + t2 + 4t

c) x2 - 2xy + 2y2 + 2y + 1

d) 4x2 + 2z2 - 4xz - 2z + 1

e) 4x2 - 12x - y2 + 2y + 8

f) 4x2 + 2z2 - 4zx - 2z + 1

-------------------------------------------

  • 128.771 lượt xem
Chia sẻ bởi: Thùy Chi
Tìm thêm: Toán 8 Chuyên đề Toán 8
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi

    Xem thêm bài viết khác

    Xem thêm Hằng Đẳng Thức

    Chủ đề liên quan

    Lý thuyết Toán 8