Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp hệ số bất định Bài tập toán

13 Đánh giá

Phân tích đa thức thành nhân tử

Phân tích đa thức thành nhân tử

Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp hệ số bất định là một trong những phần kiến thức quan trọng của Toán 8. Tài liệu bao gồm các phương pháp, các bài tập ví dụ minh họa có lời giải và bài tập rèn luyện giúp các bạn bao quát nhiều dạng bài khó thường xuất hiện trong chương trình thi HSG Toán 8. Chúc các bạn học tập hiệu quả!

1.Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp hệ số bất định

Phương pháp đồng nhất hệ số (phương pháp hệ số bất định) có cơ sở như sau: Hai đa thức (dạng thu gọn) là đồng nhất khi và chỉ khi mọi hệ số của các đơn thức đồng dạng trong hai đa thức phải bằng nhau

2. Bài tập phân tích đa thức thành nhân tử

Phân tích đa thức thành nhân tử:

a) x⁴ − 6x³ + 12x² − 14x + 3

b) 12x² + 5x − 12y² + 12y − 10xy − 3

c) 2x⁴ − 3x² − 7x² + 6x + 8

d) x⁴ − 7x³ + 14x² − 7x + 1

Hướng dẫn giải

a) x⁴ − 6x³ + 12x² − 14x + 3

Các số ± 1; ± 3 không là nghiệm của đa thức, đa thức không có nghiệm nguyên cũng không có nghiệm hữu tỷ

Ta có

$\begin{array}{l} \left( {{x^2} + \,a\,x + b} \right)\left( {{x^2} + \,c\,x + d} \right)\\ = {x^4} + \left( {a + c} \right){x^3} + \left( {ac + b + d} \right){x^2} + \left( {ad + bc} \right)x + bd \end{array}$

Ta cần đồng nhất đa thức này:

$\left\{ \begin{array}{l} a + c = - 6\\ ac + b + d = 12\\ ad + bc = - 14\\ bd = 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} bd = 3\\ a + 3c = - 14\\ ac = - 8\\ c = - 6 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = - 2\\ b = 3\\ c = - 4\\ d = 1 \end{array} \right.$

Vậy x⁴ − 6x³ + 12x² − 14x + 3 = (x² − 4x + 1)(x² − 2x + 3)

b) 12x² + 5x − 12y² + 12y − 10xy − 3

Theo bài ra ta có :

$\begin{array}{l} \,\,\,12{x^2} + 5x - 12{y^2} + 12y - 10xy - 3\\ = \left( {a\,x + by + 3} \right)\left( {cx + dy - 1} \right)\\ = ac{x^2} + bd{y^2} + \left( {3c - a} \right)x + \left( {bc + ad} \right)xy - 3 + \left( {3d - b} \right)y\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}ac = 12\\bd = - 12\\3c - a = 5\\3d - b = 12\\bc + ad = - 10\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 4\\b = - 6\\c = 3\\d = 2\end{array} \right.\end{array}$

$12{x^2} + 5x - 12{y^2} + 12y - 10xy - 3 = \left( {4x - 6y + 3} \right)\left( {3x + 2y - 1} \right)$

c) 2x⁴ − 3x² − 7x² + 6x + 8

Đa thức có nghiệm nên $x = 2$ có thừa số là $x - 2$ . Ta có:

$\begin{array}{l} 2{x^4} - 3{x^3} - 7{x^2} + 6x + 8 = \left( {x - 2} \right)\left( {2{x^3} + a\,{x^2} + bx + c} \right)\\ = 2{x^4} + \left( {a - 4} \right){x^3} + \left( {b - 2a} \right){x^2} + \left( {c - 2b} \right)x - 2c\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} a - 4 = - 3\\ b - 2a = - 7\\ c - 2b = 6\\ - 2c = 8 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = 1\\ b = - 5\\ c = - 4 \end{array} \right. \end{array}$

Vậy $2{x^4} - 3{x^3} - 7{x^2} + 6x + 8 = \left( {x - 2} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {2{x^3} + {x^2} - 5x - 4} \right)$

d) x⁴ − 7x³ + 14x² − 7x + 1

Nhận thấy $\pm 1$ không phải là nghiệm của đa thức nên đa thức không cps nghiệm hữu tỉ, do đó khi phân tích thành nhân tử sẽ có dạng:

$\begin{array}{l} \left( {{x^2} + a\,x + b} \right)\left( {{x^2} + m\,x + n} \right)\\ = {x^4} + \left( {m + a} \right){x^3} + \left( {n + b + am} \right){x^2} + \left( {an + bm} \right)x + bn\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m + a = - 7\\ n + b + ma = 14\\ an + bm = - 7\\ bn = 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} b = 1\\ n = 1\\ a = - 4\\ m = - 3 \end{array} \right. \end{array}$

${x^4} - 7{x^3} + 14{x^2} - 7x + 1 = \left( {{x^2} - 4x + 1} \right)\left( {{x^2} - 3x + 1} \right)$

3.Bài tập vân dụng phân tích đa thức thành nhân tử

$\begin{array}{l} a)\,4{x^4} + 4{x^3} + 5{x^2} + 2x + 1\\ b)\,3{x^2} + 22xy + 11x + 37y + 7{y^2} + 10\\ c)\,27{x^3} - 27{x^2} + 18x - 4\\ d)\,{a^6} + {a^4} + {a^2}{b^2} + {b^4} - {b^6}\\ e)\,{x^8} + 3{x^4} + 4\\ f)\,64{x^4} + {y^4}\\ g)\,{x^3} - 6{x^2} - x + 30\\ i)\,{x^3} - 9{x^2} + 6x + 16 \end{array}$

4. Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

------------------------------------------------------------------

10.726 lượt xem

Chia sẻ bởi:

Lê Thị Thùy

Tìm thêm: Toán 8 Bài tập Toán 8

1 Bình luận

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Gia Hưng Dương
em tìm nãy h mới thấy một trang ưng ý á ad
😊
Thích Phản hồi 2 05/02/23

Chủ đề liên quan

Lý thuyết Toán 8

Toán 1

Toán 2

Toán 3

Toán 4

Toán 5

Toán 6

Toán 7

Toán 8

Toán 9

Toán 10

Toán 11

Toán 12

Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp hệ số bất định Bài tập toán