Giaitoan.com Toán 8 Lý thuyết Toán 8

Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp hệ số bất định Bài tập toán

Nội dung
  • 4 Đánh giá

Phân tích đa thức thành nhân tử

Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp hệ số bất định là một trong những phần kiến thức quan trọng của Toán 8 . Tài liệu bao gồm các phương pháp, các bài tập ví dụ minh họa có lời giải và bài tập rèn luyện giúp các bạn bao quát nhiều dạng bài khó thường xuất hiện trong chương trình thi HSG Toán 8. Chúc các bạn học tập hiệu quả!

1.Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp hệ số bất định

Phương pháp đồng nhất hệ số (phương pháp hệ số bất định) có cơ sở như sau:
Hai đa thức (dạng thu gọn ) là đồng nhất khi và chỉ khi mọi hệ số của các đơn thức đồng dạng trong hai đa thức phải bằng nhau

2. Bài tập phân tích đa thức thành nhân tử

Phân tích đa thức thành nhân tử:

\begin{array}{l}a)\,\,\,{x^4} - 6{x^3} + 12{x^2} - 14x + 3\\b)\,\,\,12{x^2} + 5x - 12{y^2} + 12y - 10xy - 3\\c)\,\,\,2{x^4} - 3{x^3} - 7{x^2} + 6x + 8\end{array}

d)\,\,{x^4} - 7{x^3} + 14{x^2} - 7x + 1

Hướng dẫn giải

a)\,\,\,{x^4} - 6{x^3} + 12{x^2} - 14x + 3

Các số \pm 1,\,\, \pm 3 không là nghiệm của đa thức, đa thức không có nghiệm nguyên cũng không có nghiệm hữu tỷ

Ta có

\begin{array}{l} \left( {{x^2} + \,a\,x + b} \right)\left( {{x^2} + \,c\,x + d} \right)\\ = {x^4} + \left( {a + c} \right){x^3} + \left( {ac + b + d} \right){x^2} + \left( {ad + bc} \right)x + bd \end{array}

Ta cần đồng nhất đa thức này:

\left\{ \begin{array}{l} a + c = - 6\\ ac + b + d = 12\\ ad + bc = - 14\\ bd = 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} bd = 3\\ a + 3c = - 14\\ ac = - 8\\ c = - 6 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = - 2\\ b = 3\\ c = - 4\\ d = 1 \end{array} \right.

Vậy {x^4} - 6{x^3} + 12{x^2} - 14x + 3 = \left( {{x^2} - 4x + 1} \right)\left( {{x^2} - 2x + 3} \right)

b)\,\,\,12{x^2} + 5x - 12{y^2} + 12y - 10xy - 3

Theo bài ra ta có :

\begin{array}{l} b)\,\,\,12{x^2} + 5x - 12{y^2} + 12y - 10xy - 3\\ = \left( {a\,x + by + 3} \right)\left( {cx + dy - 1} \right)\\ = ac{x^2} + bd{y^2} + \left( {3c - a} \right)x + \left( {bc + ad} \right)xy - 3 + \left( {3d - b} \right)y\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} ac = 12\\ bd = - 12\\ 3c - a = 5\\ 3d - b = 12\\ bc + ad = - 10 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = 4\\ b = - 6\\ c = 3\\ d = 2 \end{array} \right. \end{array}

12{x^2} + 5x - 12{y^2} + 12y - 10xy - 3 = \left( {4x - 6y + 3} \right)\left( {3x + 2y - 1} \right)

c)\,\,\,2{x^4} - 3{x^3} - 7{x^2} + 6x + 8

Đa thức có nghiệm nên x = 2 có thừa số là x - 2 . Ta có:

\begin{array}{l} 2{x^4} - 3{x^3} - 7{x^2} + 6x + 8 = \left( {x - 2} \right)\left( {2{x^3} + a\,{x^2} + bx + c} \right)\\ = 2{x^4} + \left( {a - 4} \right){x^3} + \left( {b - 2a} \right){x^2} + \left( {c - 2b} \right)x - 2c\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} a - 4 = - 3\\ b - 2a = - 7\\ c - 2b = 6\\ - 2c = 8 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = 1\\ b = - 5\\ c = - 4 \end{array} \right. \end{array}

Vậy 2{x^4} - 3{x^3} - 7{x^2} + 6x + 8 = \left( {x - 2} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {2{x^3} + {x^2} - 5x - 4} \right)

d)\,\,{x^4} - 7{x^3} + 14{x^2} - 7x + 1

Nhận thấy \pm 1  không phải là nghiệm của đa thức nên đa thức không cps nghiệm hữu tỉ, do đó khi phân tích thành nhân tử sẽ có dạng:

\begin{array}{l} \left( {{x^2} + a\,x + b} \right)\left( {{x^2} + m\,x + n} \right)\\ = {x^4} + \left( {m + a} \right){x^3} + \left( {n + b + am} \right){x^2} + \left( {an + bm} \right)x + bn\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m + a = - 7\\ n + b + ma = 14\\ an + bm = - 7\\ bn = 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} b = 1\\ n = 1\\ a = - 4\\ m = - 3 \end{array} \right. \end{array}

{x^4} - 7{x^3} + 14{x^2} - 7x + 1 = \left( {{x^2} - 4x + 1} \right)\left( {{x^2} - 3x + 1} \right)

3.Bài tập vân dụng phân tích đa thức thành nhân tử

\begin{array}{l} a)\,4{x^4} + 4{x^3} + 5{x^2} + 2x + 1\\ b)\,3{x^2} + 22xy + 11x + 37y + 7{y^2} + 10\\ c)\,27{x^3} - 27{x^2} + 18x - 4\\ d)\,{a^6} + {a^4} + {a^2}{b^2} + {b^4} - {b^6}\\ e)\,{x^8} + 3{x^4} + 4\\ f)\,64{x^4} + {y^4}\\ g)\,{x^3} - 6{x^2} - x + 30\\ i)\,{x^3} - 9{x^2} + 6x + 16 \end{array}

4. Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

  1. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt ẩn phụ
  2. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp tách biến
  3. Phân tích đa thức bâc cao thành nhân tử 
  4. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương pháp

------------------------------------------------------------------

Hi vọng Phân tích đa thức thành nhân tử là tài liệu hữu ích cho các bạn ôn tập kiểm tra năng lực, bổ trợ cho quá trình học tập trong chương trình lớp 8 cũng như ôn luyện các kì thisắp tới. Mời thầy cô và bạn đọc tham khảo thêm một số tài liệu liên quan: Hỏi đáp Toán 8, Lý thuyết Toán 8, Giải Toán 8, Luyện tập Toán 8, ... Chúc các bạn học tốt!

  • 5.970 lượt xem
Chia sẻ bởi: Lê Thị Thùy
Tìm thêm: Toán 8 Bài tập Toán 8
1 Bình luận
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
  • Gia Hưng Dương
    Gia Hưng Dương

    em tìm nãy h mới thấy một trang ưng ý á ad

    😊

    Thích Phản hồi 05/02/23

    Chủ đề liên quan

    Lý thuyết Toán 8