Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử Phân tích đa thức thành nhân tử

22 Đánh giá

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

A. Cách phân tích đa thức thành nhân tử
- Phương pháp nhóm hạng tử
B. Bài tập phân tích đa thức thành nhân tử
2. Luyện tập phân tích đa thức thành nhân tử

Bài tập Toán 8: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử là tài liệu ôn tập với các bài tập Toán 8 phân tích đa thức thành nhân tử, giúp các bạn học sinh học tốt Toán 8 và luyện tập các dạng Toán lớp 8 đạt kết quả tốt nhất, góp phần củng cố thêm kiến thức của các bạn học sinh.

A. Cách phân tích đa thức thành nhân tử

Phương pháp nhóm hạng tử

Bước 1: Chọn và nhóm 2 hoặc 3 ... hạng tử thành một nhóm sao cho mỗi nhóm sau khi phân tích thành nhân tử thì các nhóm này có thừa số chung, hoặc liên hệ các nhóm là hằng đẳng thức.

Bước 2:

+ Nếu các nhóm có thừa số chung. Đặt thừa số chung của các nhóm làm nhân tử chung ra ngoài ngoặc khi đó trong ngoặc là tổng các thừa số còn lại của các nhóm.

Chú ý:

+ Nhiều khi để làm xuất hiện thừa số chung (nhân tử chung) ta cần đồi dấu các hạng tử.

+ Tính chất đổi dấu hạng tử A = -( - A)

+ Nếu liên hệ các nhóm tạo thành hằng đẳng thức thì vận dụng hằng đẳng thức.

B. Bài tập phân tích đa thức thành nhân tử

- Áp dụng tính chất giao hoán, kết hợp của phép cộng các đa thức, ta kết hợp những hạng tử của đa thức thành từng nhóm thích hợp rồi dùng các phương pháp khác phân tích đa thức thành nhân tử theo từng nhóm nhỏ cuối cùng rồi phân tích chung đối với các nhóm.

Chú ý: Quy tắc dấu ngoặc

- Khi bỏ dấu ngoặc có dấu "−" đứng trước, ta phải đối dấu tất cả các số hạng trong dấu ngoặc: dấu "−“ thành dấu "+" và dấu "+” thành dấu "−". Khi bỏ dấu ngoặc có dấu "+" đứng trước thì dấu các số hạng trong ngoặc vẫn giữ nguyên.

Ví dụ 1: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử:

a. ${x^2} - 3x + xy - 3y$	b. ${a^2} - {b^2} + 2a + 2b$
c. $ax + bx + ay + by$	d. ${x^2}y + x{y^2} - 5x - 5y$

Hướng dẫn giải

a. Ta có:

$\begin{matrix} ax + bx + ay + by \hfill \\ = \left( {ax + ay} \right) + \left( {by + bx} \right) \hfill \\ = a\left( {x + y} \right) + b\left( {y + x} \right) \hfill \\ = \left( {a + b} \right)\left( {x + y} \right) \hfill \\ \end{matrix}$ $\begin{matrix} {x^2} - 3x + xy - 3y \hfill \\ = \left( {{x^2} + xy} \right) + \left( { - 3x - 3y} \right) \hfill \\ = x\left( {x + y} \right) - 3\left( {x + y} \right) \hfill \\ = \left( {x + y} \right)\left( {x - 3} \right) \hfill \\ \end{matrix}$

b. Ta có:

$\begin{matrix} {a^2} - {b^2} + 2a + 2b \hfill \\ = \left( {{a^2} - {b^2}} \right) + \left( {2a + 2b} \right) \hfill \\ = \left( {a - b} \right)\left( {a + b} \right) + 2\left( {a + b} \right) \hfill \\ = \left( {a - b + 2} \right)\left( {a + b} \right) \hfill \\ \end{matrix}$

c. Ta có:

d. Ta có:

$\begin{matrix} {x^2}y + x{y^2} - 5x - 5y \hfill \\ = \left( {{x^2}y + x{y^2}} \right) + \left( { - 5x - 5y} \right) \hfill \\ = xy\left( {x + y} \right) - 5\left( {x + y} \right) \hfill \\ = \left( {xy - 5} \right)\left( {x + y} \right) \hfill \\ \end{matrix}$

Ví dụ 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử:

a. ${x^3} + 2{x^2}y - x - 2y$	b. $3{x^2} - 3{y^2} - 2{\left( {x - y} \right)^2}$
c. ${x^3} - 4{x^2} - 9x + 36$	d. ${x^2} - {y^2} - 2x - 2y$

Hướng dẫn giải

a. Ta có:

$\begin{matrix} {x^3} + 2{x^2}y - x - 2y \hfill \\ = \left( {{x^3} - x} \right) + \left( {2{x^2}y - 2y} \right) \hfill \\ = x\left( {{x^2} - 1} \right) + 2y\left( {{x^2} - 1} \right) \hfill \\ = \left( {x + 2y} \right)\left( {{x^2} - 1} \right) \hfill \\ = \left( {x + 2y} \right)\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) \hfill \\ \end{matrix}$

b. Ta có:

$\begin{matrix} 3{x^2} - 3{y^2} - 2{\left( {x - y} \right)^2} \hfill \\ = \left( {3{x^2} - 3{y^2}} \right) - 2{\left( {x - y} \right)^2} \hfill \\ = 3\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right) - 2{\left( {x - y} \right)^2} \hfill \\ = \left( {x - y} \right)\left[ {3\left( {x + y} \right) - 2\left( {x - y} \right)} \right] \hfill \\ = \left( {x - y} \right)\left[ {3x + 3y - 2x + 2y} \right] \hfill \\ = \left( {x - y} \right)\left[ {x + 5y} \right] \hfill \\ \end{matrix}$

c. Ta có:

$\begin{matrix} {x^3} - 4{x^2} - 9x + 36 \hfill \\ = \left( {{x^3} - 4{x^2}} \right) + \left( { - 9x + 36} \right) \hfill \\ = {x^2}\left( {x - 4} \right) - 9\left( {x - 4} \right) \hfill \\ = \left( {{x^2} - 9} \right)\left( {x - 4} \right) \hfill \\ = \left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)\left( {x - 4} \right) \hfill \\ \end{matrix}$

d. Ta có:

$\begin{matrix} {x^2} - {y^2} - 2x - 2y \hfill \\ = \left( {{x^2} - {y^2}} \right) + \left( { - 2x - 2y} \right) \hfill \\ = \left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right) - 2\left( {x + y} \right) \hfill \\ = \left( {x - y - 2} \right)\left( {x + y} \right) \hfill \\ \end{matrix}$

Ví dụ 3: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) x² + y² – z² + 2xy – 2z - 1	b) x² – y² + z² – 2xz + 2y - 1
c) x⁶ – 2x⁴ – x³y³ + 2xy³	d) (x + y + z)(xy + yz + zx) - xyz
e) x² + 2xy + y² – x – y - 12	f) x²y + xy² + yz² + x²z + y²z + 2xyz

Hướng dẫn giải

a) x² + y² – z² + 2xy – 2z – 1

= (x² + 2xy + y²) + (– z² – 2z – 1)

= (x² + 2xy + y²) - ( z² + 2z + 1)

= (x + y)² – (z + 1)²

= (x + y + z + 1)(x + y – z – 1)

b) x² – y² + z² – 2xz + 2y – 1

= (x² + z² – 2xz) + (– y²+ 2y – 1)

= (x² + z² – 2xz) - (y² - 2y + 1)

= (x – z)² – (y – 1)²

= (x – z + y – 1)(x – z – y + 1)

c) x⁶ – 2x⁴ – x³y³ + 2xy³

= x(x⁵ – 2x³ – x²y³ + 2y³)

= x[x³(x² – 2) – y³(x² – 2)

= x(x³ – y³)(x² – 2)

= x(x – y)(x² – 2)(x² + xy + y²)

d) (x + y + z)(xy + yz + zx) – xyz

= x²y + xyz + x²z + xy² + y²z + xyz + yz² + xz² – xyz

= (x²y + xy²+ xyz) + (y²z + yz² + xyz) + x²z + zx²

= xy(x + y + z) + yz (x + y+ z) + xz(x + z)

= y(x+ +y + z)(x + z) + zx(x + z)

= (x + z)(xy + y² + yz + xz) = (x + z)(y+x)(x+y)

e) x² + 2xy + y² – x – y – 12

= (x + y)² – (x – y) – 12

= (x + y + 3)(x + y + 4)

f) x²y + xy² + yz² + x²z + y²z + 2xyz

= xy(x + y) + z²(x + y)²

= (x + y)(xy + z² + xz + yz)

= (x + y)(y + z)(z + x)

2. Luyện tập phân tích đa thức thành nhân tử

Bài tập 1: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung:

a. ${x^2} - {y^2} - 2x + 2y$	b. $2x + 2y - {x^2} - xy$
c. $3{a^2} - 6ab + 3{b^2} - 12{c^2}$	d. ${x^2} - 25 + {y^2} + 2xy$
e. ${a^2} + 2ab + {b^2} - ac - bc$	f. ${x^2} - 2x - 4{y^2} - 4y$
g. ${x^2}y - {x^3} - 9y + 9x$	h. ${x^2}\left( {x - 1} \right) + 16\left( {1 - x} \right)$

Bài tập 2: Phân tích đa thức thành nhân tử (bằng phương pháp đặt nhân tử chung)

a. ${x^2} - x - {y^2} - y$	b. ${x^2} - 2xy + {y^2} - {z^2}$
c. $5x - 5y + ax - ay$	d. ${a^3} - {a^2}x + xy - ay$
e. $4{x^2} - {y^2} + 4x + 1$

Bài tập 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

a. $x\left( {{y^2} - {z^2}} \right) + y\left( {{z^2} - {x^2}} \right) + z\left( {{x^2} - {y^2}} \right)$

b. $xy\left( {x - y} \right) + yz\left( {y - z} \right) + zx\left( {z - x} \right)$

-------------------------------------------------

GiaiToan.com đã gửi tới các bạn tài liệu Chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử . Ngoài ra, các em học sinh có thể tham khảo thêm các tài liệu khác như Giải Toán 8, Giải Bài tập Toán 8, Luyện tập Toán 8, để học tốt môn Toán hơn và chuẩn bị cho các bài thi đạt kết quả cao. Chúc các em học tập tốt!