Lập phương của một tổng (a + b)³ Hằng đẳng thức số 4
7 hằng đẳng thức đáng nhớ
Hằng đẳng thức đáng nhớ đưa ra phương pháp và các ví dụ cụ thể, giúp các bạn học sinh lớp 8 ôn tập và củng cố kiến thức về dạng toán về những hằng đẳng thức đáng nhớ. Tài liệu bao gồm công thức hằng đẳng thức, các bài tập ví dụ minh họa có lời giải và bài tập rèn luyện giúp các bạn bao quát nhiều dạng bài chuyên đề hằng đẳng thức Toán lớp 8. Chúc các bạn học tập hiệu quả!
A. Hằng đẳng thức
Nếu hai biểu thức (đại số) A và B luôn cùng nhận giá trị bằng nhau với mọi giá trị của biến thì ta nói A = B là một đồng nhất thức hay là một hằng đẳng thức.
Ví dụ 1:
a . (a + b) = a2 + ab
B. Lập phương của một tổng
Với A, B là hai biểu thức tùy ý, ta có:
(A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3
Ví dụ 2:
(x + 3)3 = x3 + 3 x2 . 3 + 3 . x . 32 + 33
= x3 + 9x2 + 27x + 27
C. Bài tập hằng đẳng thức
Ví dụ 1: a) Khai triển hằng đẳng thức (2x + 3y)3
b) Viết biểu thức 8 + 12x + 6x2 + x3 dưới dạng lập phương của một tổng.
Hướng dẫn giải
a) Khai triển hằng đẳng thức (2x + 3y)3 ta được:
(2x + 3y)3
= (2x)3 + 3.(2x)2(3y) + 3(2x).(3y)2 + (3y)3
= 8x3 + 36x2y + 54xy2 + 27y3
b) Viết biểu thức 8 + 12x + 6x2 + x3 dưới dạng lập phương của một tổng ta được:
8 + 12x + 6x2 + x3
= 23 + 3 . 22 . x + 3 . 2 . x2 + x3
= (2 + x)3
Ví dụ 2: Tính giá trị của biểu thức:
a) A = x3 + 3x2 + 3x + 2 tại x = – 1
b) B = x3 + 9x2 + 27x + 27 tại x = 17
Hướng dẫn giải
a) Ta có: A = x3 + 3x2 + 3x + 2
A = x3 + 3x2 + 3x + 1 + 1
A = (x + 1)3 + 1
Thay x = – 1 vào biểu thức ra có:
A = (– 1 + 1)3 + 1
A = 03 + 1
A = 1
Vậy A = 1
b) Ta có: B = x3 + 9x2 + 27x + 27
B = x3 + 3 . x2 . 3 + 3 . x . 32 + 33
B = (x + 3)3
Thay x = 17 vào biểu thức ta có:
B = (17 + 3)3 = 203 = 8 000
Vậy B = 8 000.
Ví dụ 3: Phân tích đa thức thành nhân tử K = a3 + b3 + c3 – 3abc
Hướng dẫn giải
K = a3 + b3 + c3 – 3abc
K = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 – 3abc – 3a2b – 3ab2
K = (a + b)3 + c3 – 3abc – 3a2b – 3ab2
K = (a + b + c)[[(a + b)2 – c(a + b) + c2] – 3ab(c + a + b)
K = (a + b + c)[(a + b)2 – c(a + b) + c2 – 3ab]
K = (a + b + c)[a2 + 2ab + b2 – ca – cb + c2 – 3ab]
K = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ca – cb – ab)
Ví dụ 4: Phân tích đa thức sau thành nhân tử M = (x – y)3 + (y – z)3 + (z – x)3
Hướng dẫn giải
M = (x – y)3 + (y – z)3 + (z – x)3
M = x3 – 3x2y + 3xy2 – y3 + y3 – 3y2z + 3yz2 – z3 + z3 – 3z2z + 3zx2 – x3
M = – 3x2y + 3xy2 – 3y2z + 3yz2 – 3z2x + 3zx2
M = 3[– xy(x – y) – z2(x – y) + z(x – y)(x + y)]
M = 3(x – y)(– xy – z2 + zx + zy)
M = 3(x – y)[y(z – x) – z(z – x)]
M = 3(x – y)(z – x)(y – z)
Ví dụ 5: Phân tích đa thức thành nhân tử: (n + 1)3 + (n – 2)3
Hướng dẫn giải
(n + 1)3 + (n – 2)3
= (n + 1 + n – 2)[(n + 1)3 – (n + 1)(n – 2) + (n – 2)3]
= (2n – 1)[(n + 1)2 – (n2 + 2n + n – 2) + n2 – 4n + 4]
= (2n – 1)[[n2 + 2n + 1 – n2 + n + 2 + n2 – 4n + 4]
= (2n – 1)(n2 – n + 7)
D. Bài tập tự luyện hằng đẳng thức
Bài 1: Triển khai các biểu thức sau theo hằng đẳng thức:
1) (x + 4)3
2) (2x + 1)3
3) (x + 3y)3
4) (3y + 4)3
Bài 2: Viết gọn các biểu thức sau dưới dạng lập phương của một tổng:
1) x3 + 3x2 + 3x + 1
2) x3 + 6x2 + 12x + 8
3) x3 + 3x2y + 3xy2 + y3
Bài 3: Rút gọn các biểu thức sau:
1) (3x + 1)3 – 27x2(x – 1)
2) (2x + 1)3 – 8x(x – 1)2
3) (x + 1)3 – (x – 4)(x + 4) – x3
4) (x + 2)3 – x(x + 3)(x – 3) – 12x2 – 8
5) – (x + 2y)3 + x(2y – x)(x + 2y)
Bài 4: Tính giá trị của biểu thức:
1) A = x3 + 9x2 + 27x + 2 027 tại x = – 23
2) B = x3 + 6x2y + 12xy2 + 8y3 tại x = – 2y
-----------------------------
Đội Trưởng Mỹ 
