Giaitoan.com Toán 9 Chuyên đề Toán 9 thi vào 10

Cho phương trình x² - (2m + 1)x + m² + m - 1 = 0. Tìm m sao cho A = (2x1 – x2)(2x2 – x1) nhỏ nhất Chuyên đề Toán 9 thi vào 10

Nội dung
  • 1 Đánh giá

Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m là một dạng toán thường gặp trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán. Tài liệu được GiaiToan.com biên soạn giúp các bạn học sinh học tốt môn Toán lớp 9 hiệu quả hơn. Mời các bạn cùng quý thầy cô tham khảo.

Đề bài: Cho phương trình x2 - (2m + 1)x + m2 + m - 1 = 0 (m là tham số)

a) Chứng minh rằng phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m.

b) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình. Tìm m sao cho A = (2x1 – x2)(2x2 – x1) đạt giá trị nhỏ nhất và tính giá trị nhỏ nhất đó.

Lời giải chi tiết:

Xét phương trình x2 - (2m + 1)x + m2 + m - 1 = 0 (m là tham số)

a) Ta có: ∆ = (2m + 1)2 - 4(m2 + m - 1)

= 4m2 + 4m + 1 - 4m2 - 4m + 4 = 5

Do ∆ = 5 > 0 nên phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

b) Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có:

\begin{cases} x_1 + x_2 = - \frac{b}{a} = 2m + 1 \\x_1 . x_2= \frac{c}{a} = m^2 +m-1 \end{cases}

Ta có: A = (2x1 – x2)(2x2 – x1)

= 4x1x2 - 2x12 - 2x22 + x1x2

= 5x1x2 - 2(x12 + x22)

= 5x1x2 - 2[(x1 + x2)2 - 2x1x2]

= 9x1x2 - 2(x1 + x2)2

= 9(m2 + m - 1) - 2(2m + 1)2

= 9m2 + 9m - 9 - 8m2 - 8m - 2

= m2 + m - 11

= \left(m+\frac{1}{2}\right)^2-\frac{45}{4}

Do \left(m+\frac{1}{2}\right)^2 \ge 0 với mọi m

⇔ \left(m+\frac{1}{2}\right)^2-\frac{45}{4} \ge -\frac{45}{4} với mọi m

⇔ A \ge -\frac{45}{4} với mọi m

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi m=-\frac{1}{2}.

Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng -\frac{45}{4} khi và chỉ khi m=-\frac{1}{2}.

Cách chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi m

Bước 1: Tính Delta

Bước 2: Biến đổi biểu thức Delta, chứng minh Delta luôn dương thì phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m.

Bước 3: Kết luận.

Cách tìm GTLN hoặc GTNN của biểu thức nghiệm

+ Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có hai nghiệm x1 và x2 (thường là a ≠ 0 và ∆ ≥ 0)

+ Áp dụng hệ thức Vi-ét để biến đổi biểu thức nghiệm đã cho theo m

+ Một số bất đẳng thức thường dùng:

- Với mọi A \ge 0:{A^2} \ge 0;\sqrt A \ge 0

- Bất đẳng thức Cauchy (Cô - Si): với a, b là các số dương ta có: a + b \ge 2\sqrt {ab}

Chia sẻ bởi: Cự Giải
Mời bạn đánh giá!
  • Lượt xem: 190
Tìm thêm: Toán 9 chuyên đề toán 9
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi

    Chủ đề liên quan

    Mới nhất trong tuần