Giaitoan.com Toán 8 Lý thuyết Toán 8

Phân tích đa thức bậc cao thành nhân tử Bài tập toán

Nội dung
  • 1 Đánh giá

Phân tích đa thức thành nhân tử

Phân tích đa thức bậc cao thành nhân là một trong những phần kiến thức khó trong chương trình Toán 8 . Tài liệu bao gồm các phương pháp, các bài tập ví dụ minh họa có lời giải và bài tập rèn luyện giúp các bạn bao quát nhiều dạng bài khó thường xuất hiện trong chương trình thi HSG Toán 8. Chúc các bạn học tập hiệu quả!

1.Phân tích đa thức bậc cao thành nhân tử

Phương pháp

Đối với đa thực bậc cao có dạng luôn có nhân tử chung là bình phương thiếu của tổng hoặc hiệu, nên ta thêm bớt để làm xuất hiện bình phương thiếu của tổng hoặc hiệu

2. Bài tập phân tích đa thức bậc cao thành nhân tử

Phân tích đa thức thành nhân tử

a)\,\,\,{x^4}\left( {y - z} \right) + {y^4}\left( {z - x} \right) + {z^4}\left( {x - y} \right)

b)\,\,\left( {a + b + c} \right)\left( {ab + bc + ca} \right) - abc

c)\,\,\,{\left( {a + b + c} \right)^3} - {\left( {a + b - c} \right)^3} - {\left( {b + c - a} \right)^3} - {\left( {c + a - b} \right)^3}

d)\,\,\,\left( {x - y} \right){z^3} + \left( {y - z} \right){x^3} + \left( {z - x} \right){y^3}

e)\,\,4{a^2}{b^2}\left( {2a + b} \right) + {b^2}{c^2}\left( {c - b} \right) - 4{c^2}{a^2}\left( {2a + c} \right)

Hướng dẫn giải

\begin{array}{l} = \left( {y - z} \right)\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)\left( {{x^2} + {y^2}} \right) - \left( {x - y} \right)\left( {y - z} \right)\left( {y + z} \right)\left( {{y^2} + {z^2}} \right)\\ = \left( {x - y} \right)\left( {y - z} \right)\left[ {\left( {y + x} \right)\left( {{y^2} + {x^2}} \right) - \left( {y + z} \right)\left( {{y^2} + {z^2}} \right)} \right]\\ = \left( {x - y} \right)\left( {y - z} \right)\left( {{x^3} + x{y^2} + {x^2}y + {y^3} - {y^3} - y{z^2} - {y^2}z - {z^3}} \right) \end{array}

\begin{array}{l} = \left( {y - z} \right)\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)\left( {{x^2} + {y^2}} \right) - \left( {x - y} \right)\left( {y - z} \right)\left( {y + z} \right)\left( {{y^2} + {z^2}} \right)\\ = \left( {x - y} \right)\left( {y - z} \right)\left[ {\left( {y + x} \right)\left( {{y^2} + {x^2}} \right) - \left( {y + z} \right)\left( {{y^2} + {z^2}} \right)} \right]\\ = \left( {x - y} \right)\left( {y - z} \right)\left( {{x^3} + x{y^2} + {x^2}y + {y^3} - {y^3} - y{z^2} - {y^2}z - {z^3}} \right) \end{array}

\begin{array}{l} = \left( {x - y} \right)\left( {y - z} \right)\left( {{x^3} - {z^3} + y{\,^2}\left( {x - z} \right) + y\left( {{x^2} - {z^2}} \right)} \right)\\ = \left( {x - y} \right)\left( {y - z} \right)\left[ {\left( {x - z} \right)\left( {{x^2} + xz + {z^2}} \right) + y{\,^2}\left( {x - z} \right) + y\left( {x - z} \right)\left( {x + z} \right)} \right]\\ = \left( {x - y} \right)\left( {y - z} \right)\left( {x - z} \right)\left( {{x^2} + xz + {z^2} + {y^2} + xy + yz} \right) \end{array}\begin{array}{l} b)\,\,\left( {a + b + c} \right)\left( {ab + bc + ca} \right) - abc\\ = {a^2}b + abc + {a^2}c + a{b^2} + {b^2}c + abc + abc + b{c^2} + a{c^2} - abc\\ = \left( {{a^2}b + abc + a{b^2}} \right) + \left( {{b^2}c + abc + b{c^2}} \right) + a{c^2} + {a^2}c\\ = ab\left( {a + b + c} \right) + bc\left( {a + b + c} \right) + ac\left( {a + c} \right)\\ = b\left( {a + b + c} \right)\left( {a + c} \right) + ac\left( {a + c} \right)\\ = b\left( {a + b + c} \right)\left( {a + c} \right) + ac\left( {a + c} \right)\\ = \left( {a + c} \right)\left( {ab + {b^2} + bc + ac} \right) = \left( {a + c} \right)\left( {b + c} \right)\left( {a + b} \right) \end{array}

\begin{array}{l} c)\,\,\,{\left( {a + b + c} \right)^3} - {\left( {a + b - c} \right)^3} - {\left( {b + c - a} \right)^3} - {\left( {c + a - b} \right)^3}\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = a + b - c\\ y = b + c - a\\ z = c + a - b \end{array} \right.\,\, \Rightarrow \,x + y + z = a + b + c\\ = {\left( {x + y + z} \right)^3} - \left( {{x^3} + {y^3} + {z^3}} \right)\\ = {x^3} + {y^3} + {z^3} + 3\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)\left( {z + x} \right) - {x^3} - {y^3} - {z^3}\\ = 3\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)\left( {z + x} \right) = 3.2a.2b.2c = 24abc \end{array}

\begin{array}{l} d)\,\,\,\left( {x - y} \right){z^3} + \left( {y - z} \right){x^3} + \left( {z - x} \right){y^3}\\ = \left( {x - y} \right){z^3} + {x^3}\left( {\left[ { - \left( {x - y} \right) - \left( {z - x} \right)} \right]} \right) + \left( {z - x} \right){y^3}\\ = {z^3}\left( {x - y} \right) - {x^3}\left( {x - y} \right) + {y^3}\left( {z - x} \right) - {x^3}\left( {z - x} \right)\\ = \left( {x - y} \right)\left( {{z^3} - {x^3}} \right) + \left( {z - x} \right)\left( {{y^3} - {x^3}} \right)\\ = \left( {x - y} \right)\left( {z - x} \right)\left( {{z^2} + zx + {x^2}} \right) + \left( {z - x} \right)\left( {y - x} \right)\left( {{y^2} + xy + {x^2}} \right)\\ = \left( {x - y} \right)\left( {z - x} \right)\left( {{z^2} + zx + {x^2} - {y^2} - xy - {x^2}} \right)\\ = \left( {x - y} \right)\left( {z - x} \right)\left( {z - y} \right)\left( {z + y - x} \right) \end{array}

\begin{array}{l} e)\,\,4{a^2}{b^2}\left( {2a + b} \right) + {b^2}{c^2}\left( {c - b} \right) - 4{c^2}{a^2}\left( {2a + c} \right)\\ = 4{a^2}{b^2}\left( {2a + b} \right) + {b^2}{c^2}\left[ {\left( {2a + c} \right) - \left( {2a + b} \right)} \right] - 4{c^2}{a^2}\left( {2a + c} \right)\\ = 4{a^2}{b^2}\left( {2a + b} \right) + {b^2}{c^2}\left( {2a + c} \right) - {b^2}{c^2}\left( {2a + b} \right) - 4{c^2}{a^2}\left( {2a + c} \right)\\ = {b^2}\left( {2a + b} \right)\left( {4{a^2} - {c^2}} \right) + {c^2}\left( {2a + c} \right)\left( {2a - b} \right)\left( {2a + b} \right)\\ = \left( {2a + c} \right)\left( {2a{b^2} - {b^2}c - 2a{c^2} + b{c^2}} \right)\left( {2a + b} \right)\\ = \left( {2a + c} \right)\left( {2ab + 2ac - bc} \right)\left( {2a + b} \right)\left( {b - c} \right) \end{array}

3. Bài tập phân tích đa thức thành nhân tử

\begin{array}{l} a)\,\,bc\left( {a + d} \right)\left( {b - c} \right) - ac\left( {b + d} \right)\left( {a - c} \right) + ab\left( {c + d} \right)\left( {a - b} \right)\\ b)\,\,\left( {a - x} \right){y^3} - \left( {a - y} \right){x^3} + \left( {x - y} \right){a^3}\\ c)\,\,a{\left( {b + c} \right)^2} + b{\left( {a + c} \right)^2} + c\left( {{a^2} + {b^2}} \right) + 2abc\\ d)\,\,{a^3}\left( {b - c} \right) + {b^3}\left( {c - a} \right) + {c^3}\left( {a - b} \right)\\ e)\,abc - \left( {ab + bc + ca} \right) + \left( {a + b + c - 1} \right) \end{array}

4. Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử:

  1. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt ẩn phụ
  2. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp tách biến
  3. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp hệ số bất định
  4. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương pháp 

------------------------------------------------------------------

Hi vọng Phân tích đa thức thành nhân tử là tài liệu hữu ích cho các bạn ôn tập kiểm tra năng lực, bổ trợ cho quá trình học tập trong chương trình lớp 8 cũng như ôn luyện cho các kì thi HSG, thi cuối kì 1, thi cuối kì 2,.... sắp tới. Mời thầy cô và bạn đọc tham khảo thêm một số tài liệu liên quan: Hỏi đáp Toán 8, Lý thuyết Toán 8, Giải Toán 8, Luyện tập Toán 8, ... Chúc các bạn học tốt!

Chia sẻ bởi: Lê Thị Thùy
Mời bạn đánh giá!
  • Lượt xem: 910
Tìm thêm: Toán 8 Bài tập toán 8
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi

    Chủ đề liên quan

    Mới nhất trong tuần