Giaitoan.com Toán 8 Luyện tập Toán 8

Đường trung bình của tam giác của hình thang Bài tập Toán 8

Nội dung
  • 2 Đánh giá

Chuyên đề Toán 8: Đường trung bình

Đường trung bình của tam giác, đường trung bình của hình thang lớp 8 được GiaiToan.com biên soạn bao gồm đáp án chi tiết cho từng bài tập giúp các bạn học sinh ngoài bài tập trong sách giáo khoa (sgk) có thể luyện tập thêm các dạng bài tập cơ bản và nâng cao để biết được cách giải các bài toán đường trung bình. Đây là tài liệu tham khảo hay dành cho quý thầy cô và các vị phụ huynh lên kế hoạch ôn tập học kì môn Toán 8. Mời các bạn học sinh và quý thầy cô cùng tham khảo tài liệu chi tiết!

A. Đường trung bình của tam giác

a) Đường trung bình của tam giác là gì?

- Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối hai trung điểm hai cạnh của tam giác đó.

b) Định lý đường trung bình của tam giác

- Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và có độ dài bằng một nửa cạnh ấy.

Cho tam giác ABC, M và N lần lượt là trung điểm của AN và AC.

Đường trung bình của tam giác của hình thang

Kết luận:

MN // BC

MN = \frac{1}{2}BC

B. Đường trung bình của hình thang

a) Đường trung bình của hình thang là gì?

- Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh bên của hình thang và song song với hai đáy thì đi qua trung điểm cạnh bên còn lại.

b) Định lý đường trung bình của hình thang

- Đường trung bình của hình thang thì song song với hai đáy và có độ dài bằng một nửa tổng độ dài hai đáy.

Cho hình thang ABCD, M và N lần lượt là trung điểm của AN và AC.

Đường trung bình của tam giác của hình thang

Kết luận:

MN // BC

MN = \frac{{AB + BC}}{2}

C. Bài tập đường trung bình của tam giác, của hình thang

Ví dụ 1: Cho tứ giác ABCD trong đó CD > AB. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của BD và AC. Chứng minh rằng nếu ABCD là hình thang thì EF = \frac{{CD - AB}}{2}.

Hướng dẫn giải

Đường trung bình của tam giác của hình thang

Gọi H là trung điểm của AD.

Ta có:

EH // AB, EH = \frac{{AB}}{2}

FH // CD, FH = \frac{{CD}}{2}

Qua điểm H ta có EH // AB, FH // CD // AB

=> Ba điểm H, E, F thẳng hàng

=> EF = FI – EI = \frac{{AB}}{2} - \frac{{CD}}{2}

Hay EF = \frac{{CD - AB}}{2}

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có các trung tuyến BD và CE. Trên cạnh BC lấy điểm M và N sao cho BM = MN = NC. Gọi I là giao điểm của AM và BD, K là giao điểm của AN và CE. Chứng minh rằng:

a) BCDE là hình thang

b) K là trung điểm của EC

c) BC = 4IK

Hướng dẫn giải

Đường trung bình của tam giác của hình thang

a) Ta có DE là đường trung bình của tam giác ABC

=> DE // BC

=> BCDE là hình thang

b) Gọi G là giao điểm của AN và DE.

Ta có:

E là trung điểm của AB và ED và ED // BN

=> G là trung điểm của AN

=> EG là đường trung bình của tam giác ANB

=> EG = \frac{1}{2}BN = \frac{1}{3}BC

Ta lại có: ED = \frac{1}{2}BC \Rightarrow EG = \frac{2}{3}ED

=> G là trọng tâm tam giác ACE

=> AK là trung tuyến của tam giác ACE

DK = \frac{1}{2}AE = \frac{1}{4}AB = \frac{1}{2}DF => K là trung điểm của EC

c) Chứng minh tương tự ta có I là trung điểm của EF.

Gọi F là trung điểm của BC, ta có: DF // AB và DJK // AB

=> D, K, F thẳng hàng

=> K là trung điểm của DF.

=> IK là đường trung bình của tam giác DEF

=> IK = \frac{1}{2}DE

Mà DE = \frac{1}{2}BC \Rightarrow IK = \frac{1}{4}BC => BC = 4IK

Ví dụ 3: Cho hình thang cân ABCD có góc D bằng 600, BD là phân giác của góc D. Biết chu vi hình thang bằng 20cm. Tính độ dài các cạnh hình thang.

Hướng dẫn giải

Đường trung bình của tam giác của hình thang

Vì ABCD là hình thang cân nên \widehat C = \widehat D = {60^0} và \widehat A = \widehat B = {180^0} - {60^0} = {120^0}

Ta có: \widehat {ADB} = \widehat {CDB} (vì BD là tia phân giác góc D)

Mà \widehat {CDB} = \widehat {ABD} (góc so le trong)

=> \widehat {ABD} = \widehat {CDB} = \widehat {ADB} = {30^0}

=> Tam giác ABD cân tại A

=> AB = AD = BC

Gọi I là giao điểm của AD và BC, dễ dàng chứng minh tam giác ICD đều (do có hai góc 600) và B là trung điểm IC (vì DB là đường phân giác góc D, cũng là đường trung tuyến trong tam giác IDC)

=> CD = IC = 2BC

Đặt AB = a => BC = AD = AB = a, CD = 2a

Chu vi hình thang ABCD:

AB + BC + CD + AD = 5a = 20cm

=> a = 4cm

=> AB = BC = AD = 4cm và CD = 8cm

D. Bài tập tự luyện

Bài tập 1: Cho hình thang ABCD (AB //CD), tia phân giác của góc C đi qua trung điểm M của cạnh bên AD. Chứng minh rằng:

a) Góc BMC vuông

b) BC = AB + CD

Bài tập 2: Cho hình thang ABCD (AB // CD) có E là trung điểm của BC, góc AED = 900. Gọi K là giao điểm của AE và CD. Chứng minh rằng:

a) Tam giác ABE và tam giác KEC bằng nhau.

b) DE là tia phân giác của góc D.

Bài tập 3: Cho hình thang ABCD có góc A và góc D vuông, AB = 2AD = 2CD. Kẻ CH vuông góc với AB tại H.

a) Tính số đo các góc của hình thang ABCD.

b) Chứng minh rằng tam giác ABC vuông cân

c) Tính chu vi hình thang nếu AB = 6cm.

d) Gọi O là giao điểm của AC và DH, O’ là giao điểm của BD và CH. Chứng minh rằng AB = 4OO’.

Bài tập 4: Cho tam giác đều ABC. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D và trên tia đối của tia AC ta lấy điểm E sao cho AD = AE. Gọi M, N, P, Q theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng BE, AD, AC, AB.

a) Chứng minh tứ giác BCDE là hình thang cân.

b) Chứng minh rằng tứ giác CNEQ là hình thang.

c) Trên tia đối của tia MN lấy N’ sao cho N’M = MN. Chứng minh rằng BN’ vuông góc với BD, EB = 2MN.

d) Tam giác MNP là tam giác đều.

-------------------------------------------------------------

Hy vọng tài liệu Chuyên đề Toán 8: Định lý đường trung bình giúp sẽ giúp ích cho các bạn học sinh học nắm chắc cách chứng minh hình học đồng thời học tốt môn Toán lớp 8. Chúc các bạn học tốt, mời các bạn tham khảo! Mời thầy cô và bạn đọc tham khảo thêm một số tài liệu liên quan: Hỏi đáp Toán 8, Lý thuyết Toán 8, Giải Toán 8, Luyện tập Toán 8, ...

Chia sẻ bởi: Bơ
Mời bạn đánh giá!
  • Lượt xem: 1.741
Tìm thêm: Chuyên đề Toán 8 Toán 8
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi

    Chủ đề liên quan

    Mới nhất trong tuần